2021高考数学一轮复习课后限时集训56双曲线理北师大版 6页

课后限时集训56‎ 双曲线 建议用时：45分钟 一、选择题 ‎1．(2019·浙江高考)渐进线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(　　)‎ A.　 B．‎1　‎　　‎ C.　 D．2‎ C　[根据渐进线方程为x±y＝0的双曲线，可得a＝b，所以c＝a 则该双曲线的离心率为e＝＝，故选C.]‎ ‎2．若实数k满足0＜k＜9，则曲线－＝1与曲线－＝1的(　　)‎ A．离心率相等 B．虚半轴长相等 C．实半轴长相等 D．焦距相等 D　[由0＜k＜9，易知两曲线均为双曲线且焦点都在x轴上，由＝，得两双曲线的焦距相等．]‎ ‎3．(2019·天津高考)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l.若l与双曲线－＝1(a>0，b>0)的两条渐近线分别交于点A和点B，且|AB|＝4|OF|(O为原点)，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． ‎ C．2 D． D　[l的方程为x＝－1，双曲线的渐近线方程为y＝±x，故得A，B，‎ 所以＝，＝4，b＝‎2a，所以e＝＝＝，故选D.]‎ ‎4．已知点A(－1,0)，B(1,0)为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右顶点，点M在双曲线上，△ABM为等腰三角形，且顶角为120°，则该双曲线的标准方程为(　　)‎ A．x2－＝1 B．x2－＝1‎ C．x2－＝1 D．x2－y2＝1‎ 6‎ D　[由题意知a＝1.不妨设点M在第一象限，则由题意有|AB|＝|BM|＝2，∠ABM＝120°.过点M作MN⊥x轴于点N，则|BN|＝1，|MN|＝，所以M(2，)，代入双曲线方程得4－＝1，解得b＝1，所以双曲线的方程为x2－y2＝1，故选D.]‎ ‎5．已知△ABC的顶点A(－5,0)，B(5,0)，△ABC内切圆的圆心在直线x＝2上，则顶点C的轨迹方程是(　　)‎ A.－＝1(x＞2) B．－＝1(y＞2)‎ C.－＝1 D．－＝1‎ A　[如图，△ABC与内切圆的切点分别为G，E，F.‎ ‎|AG|＝|AE|＝7，|BF|＝|BG|＝3，|CE|＝|CF|，所以|CA|－|CB|＝7－3＝4.‎ 根据双曲线定义，所求轨迹是以A，B为焦点，实轴长为4的双曲线的右支，方程为－＝1(x＞2)．]‎ ‎6．(2019·福州模拟)过双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别作双曲线的两条渐近线的平行线，若这4条直线所围成的四边形的周长为8b，则该双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±2x A　[由双曲线的对称性得该四边形为菱形，因为该四边形的周长为8b，所以菱形的边长为2b，由勾股定理得4条直线与y轴的交点到x轴的距离为＝，又4条直线分别与两条渐近线平行，所以＝，解得a＝b，所以该双曲线的渐近线的斜率为±1，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A.]‎ ‎7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，左、右焦点分别为F1，F2，点A在双曲线C上，若△AF‎1F2的周长为‎10a，则△AF‎1F2的面积为(　　)‎ A．‎2‎a2 B．a2‎ C．‎30a2 D．‎15a2‎ B　[由双曲线的对称性不妨设A在双曲线的右支上，由e＝＝2，得c＝‎2a，∴△AF‎1F2的周长为|AF1|＋|AF2|＋|F‎1F2|＝|AF1|＋|AF2|＋‎4a，又△AF‎1F2的周长为‎10a，∴|AF1|＋|AF2|＝‎6a，又∵|AF1|－|AF2|＝‎2a，‎ ‎∴|AF1|＝‎4a，|AF2|＝‎2a，在△AF‎1F2中，|F‎1F2|＝‎4a，‎ 6‎ ‎∴cos ∠F1AF2＝ ‎＝＝.‎ 又0<∠F1AF<π，∴sin ∠F1AF2＝，‎ ‎∴S△AF‎1F2＝|AF1|·|AF2|·sin ∠F1AF2‎ ‎＝×‎4a×‎2a×＝a2.]‎ 二、填空题 ‎8．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝________；b＝________.‎ ‎1　2　[由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.‎ 又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.]‎ ‎9．若双曲线中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点(4，－)，则该双曲线的标准方程为________．‎ －＝1　[依题意，e＝⇒a＝b.设方程为－＝1，则－＝1，解得m＝6.∴－＝1.]‎ ‎10．设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．‎ ‎(2，8)　[如图，由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F‎1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，‎ 设|PF2|＝m，则|PF1|＝m＋‎2a＝m＋2，‎ 由于△PF‎1F2为锐角三角形，‎ 结合实际意义需满足 解得－1＋0，b>0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得40，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若 S△OMF2＝16，则双曲线的实轴长是________．‎ ‎16　[由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F‎2M|＝＝b 6‎ ‎，所以|OM|＝＝a.由S△OMF2＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.]‎ ‎1．已知椭圆M：＋＝1(a>b>0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．‎ －1　2　[设椭圆的右焦点为F(c,0)，双曲线N的渐近线与椭圆M在第一象限内的交点为A，由题意可知A，由点A在椭圆M上得，＋＝1，∴b‎2c2＋‎3a2c2＝‎4a2b2，∵b2＝a2－c2，‎ ‎∴(a2－c2)c2＋‎3a2c2＝‎4a2(a2－c2)，∴‎4a4－‎8a2c2＋c4＝0，∴e－8e＋4＝0，∴e＝4±2，∴e椭＝＋1(舍去)‎ 或e椭＝－1，‎ ‎∴椭圆M的离心率为－1.‎ ‎∵双曲线的渐近线过点A，∴渐近线方程为y＝x，∴＝，故双曲线的离心率e双＝＝2.]‎ ‎2．已知椭圆＋＝1与双曲线x2－＝1的离心率分别为e1，e2，且有公共的焦点F1，F2，则4e－e＝________，若P为两曲线的一个交点，则|PF1|·|PF2|＝________.‎ ‎0　3　[由题意得椭圆的半焦距满足c＝4－m，双曲线的半焦距满足c＝1＋n，‎ 又因为两曲线有相同的焦点，‎ 所以4－m＝1＋n，‎ 即m＋n＝3，‎ 则4e－e＝4×－(1＋n)＝3－(m＋n)＝0.‎ 不妨设F1，F2分别为两曲线的左、右焦点，点P为两曲线在第一象限的交点，‎ 则 ‎ 6‎ 解得 ‎ 则|PF1|·|PF2|＝3.]‎ 6‎