江苏省苏南四校2013届高三第二次（12月）考试数学试题 8页

苏南四校2013届高三年级12月考试 数学试卷 四校：辅仁高中　宜兴一中　镇江中学　江阴高中 一、填空题 ‎1． ‎ ‎2、不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－∞，-2)∪(-1，＋∞)，则a∶b∶c＝__________.‎ ‎3、设复数为纯虚数,则= ．‎ ‎4、函数的定义域为 ‎ ‎5、已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件．（填充分必要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分又不必要条件之一）‎ ‎6、200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在的汽车大约有 辆．‎ ‎7、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 ．‎ ‎0.04‎ ‎0.02‎ ‎0.01‎ ‎0‎ ‎40 50 60 70 80 时速 频率 组距 开始 输出 结束 否 是 第5图 第6图 ‎8．设是等比数列的前项的和，若，则的值是 ．‎ ‎9、函数的图象向左平移个单位后，与的图象重合，则实数的最小值为 .‎ ‎10. 一个质地均匀的正四面体（侧棱长与底面边长相等的正三棱锥）骰子四个面上分别标有1，2，3，4这四个数字，抛掷这颗正四面体骰子，观察抛掷后能看到的数字．若连续抛掷两次，两次朝下面上的数字之积大于6的概率是 .‎ ‎11．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系o-xyz中，经过点A(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面的方程为____________ ．‎ ‎（化简后用关于x，y，z的一般式方程表示） ‎ ‎12.数列的通项，其前项和为，则为 .‎ ‎13．设正实数满足，则的最小值为 ．‎ ‎14．对任意x∈R，函数f(x)的导数存在，则的大小关系为：‎ 二、解答题 ‎15、已知向量 ‎（1）当时，求的值；‎ ‎（2）设函数，求的单调增区间；‎ ‎（3）已知在锐角中，分别为角的对边，，对于（2）中的函数，求的取值范围。‎ ‎16、已知函数在点处的切线方程为 ‎(1)求函数的解析式；‎ ‎(2)若对于区间[－2,2]上任意两个自变量的值都有求实数c的最小值．‎ ‎17、建造一条防洪堤，其断面为等腰梯形，腰与底边成角为（如图），考虑到防洪堤坚固性及石块用料等因素，设计其断面面积为平方米，为了使堤的上面与两侧面的水泥用料最省，则断面的外周长（梯形的上底线段与两腰长的和）要最小．‎ A D B C ‎60‎ h ‎（１）求外周长的最小值，并求外周长最小时防洪堤高h为多少米？‎ ‎（２）如防洪堤的高限制在的范围内，外周长最小为多少米？‎ ‎ ‎ ‎18、设二次函数满足下列条件：‎ ‎ ①当时, 的最小值为0，且恒成立；‎ ‎ ②当时，恒成立．‎ ‎ （I）求的值；‎ ‎ （Ⅱ）求的解析式；‎ ‎ （Ⅲ）求最大的实数m（m>1），使得存在实数t，只要当时，就有成立 ‎19. 已知⊙和点.‎ ‎(Ⅰ)过点向⊙引切线，求直线的方程；‎ ‎(Ⅱ)求以点为圆心，且被直线截得的弦长为 ‎4的⊙的方程；‎ M x y o ‎·‎ 第19题 ‎(Ⅲ)设为（Ⅱ）中⊙上任一点，过点向⊙引切 线，切点为. 试探究：平面内是否存在一定点，‎ 使得为定值？若存在，请举出一例，并指出相应 的定值；若不存在，请说明理由.‎ ‎20、设数列满足：是整数，且是关于x的方程 的根．‎ ‎（1）若且n≥2时，求数列{an}的前100项和S100；‎ ‎（2）若且求数列的通项公式．‎ 参考答案 ‎1、{-1} 2、 1:3:2 3、1 4、 5、必要不充分条件 6、 60 7、 5 8、 9、 10 、 . 11、 x＋2y－z－2＝0 12、‎ ‎13、 14、 <‎ ‎15、解：（1）由，可得3sinx=-cosx，于是tanx=． …………………2分 ‎∴ ． …………………………4分 ‎（2）∵ =‎ ‎=(sinx+cosx，2)·(sinx，-1)‎ ‎=sin2x+sinxcosx-2‎ ‎=‎ ‎=， …………………………6分 ‎ …………………………8分 ‎（无扣1分）‎ ‎（3）∵在△ABC中，A+B=-C，于是,‎ 由正弦定理知：，‎ ‎∴，可解得． ………………………………………………10分 又△ABC为锐角三角形，于是，‎ ‎∴ ．‎ ‎ 由得，‎ ‎∴ 00),∵f(1)=2,∴a=‎ ‎∴f(x)= (x+1)2 ………………………8分 ‎ (3)假设存在t∈R,只需x∈[1,m],就有f(x+t)≤2x.‎ f(x+t)≤2x(x+t+1)2≤2xx2+(2t-2)x+t2+2t+1≤0.‎ 令g(x)=x2+(2t-2)x+t2+2t+1,g(x)≤0,x∈[1,m].‎ ‎∴m≤1－t+2≤1－(－4)+2=9‎ t=-4时,对任意的x∈[1,9]‎ 恒有g(x)≤0, ∴m的最大值为9. …………………… 16分 ‎（画图用数形结合视解答情况给分）‎ ‎19、解:(Ⅰ)设切线方程为 ，易得，解得……4分 ‎ ∴切线方程为 ……………………………………6分 ‎（Ⅱ）圆心到直线的距离为,设圆的半径为，则,‎ ‎∴⊙的方程为………………………………… 10分 ‎（Ⅲ）假设存在这样的点，点的坐标为，相应的定值为，‎ 根据题意可得，∴,‎ 即 （*），‎ 又点在圆上∴，即，代入（*）式得：‎ ‎ ‎ 若系数对应相等，则等式恒成立，∴，‎ 解得………………………………14分 ‎∴可以找到这样的定点，使得为定值. 如点的坐标为时，比值为；‎ 点的坐标为时，比值为………………………16分 ‎20（1）由an+1－an是关于x的方程x2＋( an+1－2)x－2an+1＝0的根，‎ 可得：，‎ 所以对一切的正整数，或， …………………………4分 若a1＝4，且n≥2时，4≤an≤8，则数列｛an｝为：‎ 所以，数列{an}的前100项和；…………………………8分 ‎（2）若a1＝－8，根据an（n∈N*）是整数，an＜an＋1（n∈N*），且或 可知，数列的前6项是：或或或或 因为a6＝1，所以数列的前6项只能是且时， …………………………12分 所以，数列{an}的通项公式是：…………………………16分 ‎ ‎