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- 2021-06-19 发布
洛阳市2017-2018学年高中三年级期中考试
数学试卷（理）
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2. 设复数满足（是虚数单位），则的共轭复数（ ）
A． B． C． D．
3.下列说法中正确的个数是（ ）
①“为真命题”是“为真命题”的必要不充分条件；
②命题“”的否定是“”；
③若一个命题的逆命题为真，则它的否命题一定为真．
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
4. 函数的大致图象是（ ）
A． B．
C. D．
5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ）
A． B． C. D．
6. 等比数列中，，函数，则（ ）
A． B． C. D．
7. 将函数的图象沿轴向左平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则的取值不可能是（ ）
A． B． C. D．
8. 向量均为非零向量，，则的夹角为（ ）
A． B． C. D．
9. 已知数列的首项，则（ ）
A．99 B．101 C. 399 D．401
10.在三棱锥中，底面是直角三角形，其斜边平面，且，则此三棱锥的外接球的表面积为（ ）
A． B． C. D．
11.已知函数，若关于的方程有8个不等的实数根，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C. D．
12. 用表示不超过的最大整数（如）．数列满足，若，则的所有可能值的个数为（ ）
A． ４ B． ３ C. ２ D．１
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题：本大题共4小题,每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13.设变量满足约束条件：，则的最大值是 ．
14.若定义在上的函数，则 ．
15.设均为正数，且，则的最小值为 ．
16.已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为 ．
三、解答题 ：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知向量．
（1）若，求的值；
（2）令，把函数的图象上每一点的横坐标都缩小为原来的一半（纵坐标不变），再把所有图象沿轴向左平移个单位，得到函数的图象，求函数的单调增区间及图象的对称中心．
18.已知数列满足，设．
（1）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
（2）设，数列的前项和为，求证：．
19.在中，分别是角的对边，且．
（1）求的大小；
（2）若为的中点，且，求面积的最大值．
20. 已知函数，其导函数的两个零点为-3和0．
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数的单调区间；
（3）求函数在区间上的最值．
21. 如图，四棱锥中，底面为梯形，底面，．
（1）求证：平面平面；
（2）设为上一点，满足，若直线与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值．
22. 已知函数．
（1）若在其定义域内单调递增，求实数的取值范围；
（2）若，且有两个极值点，求取值范围．
试卷答案
一、选择题
1-5:CABBD 6-10: DBACA 11、12：CB
二、填空题
13. 8 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）∵，
即，∴，
∴．
（2）由（1）得，从而．
解得，
∴的单调增区间是，
由得，即函数图象的对称中心为．
18.（1）由已知易得，由，
得，即；
∴，
又，
∴是以为首项，以为公比的等比数列．
从而，
即，整理得，
即数列的通项公式为．
（2）∵，
∴，
∴，
．
19.（1）由，得，
∴，∴，
∴，
又，∴．
（2）在中由余弦定理得，
在中由余弦定理得，
二式相加得，
整理得，
∵，∴，
所以的面积．
当且仅当时“=”成立，
∴面积的最大值为．
20.（1）∵，
∴，
由知，解得，
从而，∴，
所以，∴，
曲线在点处的切线方程为，
即．
（2）由于，当变化时，的变化情况如下表：
-3
0
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故的单调增区间是，，单调减区间是，
（3）由于，，
所以函数在区间上的最大值为，最小值为-1．
21.（1）由，可得，
又，∴，
从而，∵底面，∴．
∵，∴平面，所以平面平面．
（2）由（1）可知为与底面所成的角．
所以，所以，
又，及，可得，
以点为坐标原点，分别轴建立空间直角坐标系，
则．
设平面的法向量为，
则由得，取，
同理平面的法向量为．
所以，
又二面角为锐角，
所以二面角余弦值为．
22.（1）的定义域为，在定义域内单调递增，
，即在上恒成立，
由于，所以，实数的取值范围是．
（2）由（1）知，当时有两个极值点，此时，， ∴，
因为，解得，
由于，于是
，
令，则，
∴在上单调递减，
，
即，
故的取值范围为．