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- 2021-06-19 发布
2017-2018学年山东省临沂市兰山区高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，则a﹣|b|的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣3，1） C．（﹣3，3） D．（﹣3，3]
2．（3分）在△ABC中，B=45°，C=30°，c=1，则b=（ ）
A． B． C． D．
3．（3分）已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（ ）
A． B． C． D．
4．（3分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
6．（3分）在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，7] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，7] D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）
7．（3分）已知△ABC中，sinA：sinB：sinC=1：1：，则此三角形的最大内角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
8．（3分）已知数列{an}满足：a1=2，an+1=3an+2，则{an}的通项公式为（ ）
A．an=2n﹣1 B．an=3n﹣1 C．an=22n﹣1 D．an=6n﹣4
9．（3分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
10．（3分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
11．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=4，A=，则该三角形面积的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
12．（3分）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，则w=a﹣2b的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．（﹣，0） C．（0，） D．（﹣，）
二、填空题（将答案填在题中的横线上）
13．（3分）函数y=2﹣x﹣（x＞0）的值域为 ．
14．（3分）已知数列{an}满足条件a1=1，an﹣1﹣an=anan﹣1，则a10= ．
15．（3分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 海里/小时．
16．（3分）若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 ．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0
（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．
18．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csinA．
（1）确定角C的大小；
（2）若c=，且△ABC的面积为，求a、b的值．
19．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品的搭载实验，计划搭载A，B两种新产品，该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如下表：
产品A/件
产品B/件
研制成本搭载费用之和/万元•件﹣1
20
30
计划最大投资金额300万元
产品质量/千克•件﹣1
10
5
最大搭载质量110千克
预计收益/万元•件﹣1
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数，才能使总预计收益达到最大？最大收益是多少？
20．设数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
21．如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．
22．已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．
（Ⅰ）设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设Cn=，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn＜
对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．
2017-2018学年山东省临沂市兰山区高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）若1＜a＜3，﹣4＜b＜2，则a﹣|b|的取值范围是（ ）
A．（﹣1，3） B．（﹣3，1） C．（﹣3，3） D．（﹣3，3]
【分析】利用不等式的基本性质即可得出．
【解答】解：∵﹣4＜b＜2，∴0≤|b|≤4，∴﹣4≤﹣|b|≤0．
又∵1＜a＜3．
∴﹣3＜a﹣|b|＜3．
∴a﹣|b|的取值范围是（﹣3，3）．
故选：C．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
2．（3分）在△ABC中，B=45°，C=30°，c=1，则b=（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据已知利用正弦定理，特殊角的三角函数值即可求值得解．
【解答】解：∵B=45°，C=30°，c=1，
∴由正弦定理可得：b===．
故选：A．
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，属于基础题．
3．（3分）已知{an}是等差数列，a10=10，其前10项和S10=70，则其公差d=（ ）
A． B． C． D．
【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式，结合已知条件列出关于a1，d的方程组，解方程即可．
【解答】解：设{an}的公差为d，首项为a1，由题意得
，解得，
故选D．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，熟练应用公式是解题的关键．
4．（3分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则sinA=（ ）
A． B． C． D．
【分析】由已知，结合勾股定理和余弦定理，求出AB，AC，再由三角形面积公式，可得sinA．
【解答】解：∵在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，
∴AB=BC，
由余弦定理得：AC===BC，
故BC•BC=AB•AC•sinA=•BC•BC•sinA，
∴sinA=，
故选：D
【点评】本题考查的知识点是三角形中的几何计算，熟练掌握正弦定理和余弦定理，是解答的关键．
5．（3分）设a＞0，b＞0．若是3a与3b的等比中项，则的最小值为（ ）
A．8 B．4 C．1 D．
【分析】由题设条件中的等比关系得出a+b=1，代入中，将其变为2+，利用基本不等式就可得出其最小值
【解答】解：因为3a•3b=3，所以a+b=1，
，
当且仅当即时“=”成立，
故选择B．
【点评】本小题考查指数式和对数式的互化，以及均值不等式求最值的运用，考查了变通能力．
6．（3分）在R上定义运算⊕：x⊗y=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣1，7] B．（﹣∞，3] C．（﹣∞，7] D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）
【分析】由x⊗y=x（1﹣y），把（x﹣a）⊗x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，由任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，知a≤．令f（x）=，x＞2，则a≤[f（x）]min，x＜2．由此能求出结果．
【解答】解：∵x⊗y=x（1﹣y），
∴（x﹣a）⊗x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，
∴﹣x2+x+ax﹣a≤a+2，
a（x﹣2）≤x2﹣x+2，
∵任意x＞2，不等式（x﹣a）⊗x≤a+2都成立，
∴a≤．
令f（x）=，x＞2，
则a≤[f（x）]min，x＞2
而f（x）==
=（x﹣2）++3
≥2+3=7，
当且仅当x=4时，取最小值．
∴a≤7．
故选：C．
【点评】本题考查了在新定义下对函数恒成立问题的应用．关于新定义型的题，关键是理解定义，并会用定义来解题．
7．（3分）已知△ABC中，sinA：sinB：sinC=1：1：，则此三角形的最大内角的度数是（ ）
A．60° B．90° C．120° D．135°
【分析】已知比例式利用正弦定理化简求出三边之比，再利用余弦定理即可求出三角形最大内角度数．
【解答】解：∵△ABC中，sinA：sinB：sinC=1：1：，
∴a：b：c=1：1：，
∴cosC===﹣，
则C=120°．
故选：C．
【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握定理是解本题的关键．
8．（3分）已知数列{an}满足：a1=2，an+1=3an+2，则{an}的通项公式为（ ）
A．an=2n﹣1 B．an=3n﹣1 C．an=22n﹣1 D．an=6n﹣4
【分析】由a1的值确定出a2的值，依此类推得出一般性规律，写出通项公式即可．
【解答】解：∵数列{an}满足：a1=2，an+1=3an+2，
∴a2=6+2=8=32﹣1，a3=24+2=26=33﹣1，a4=78+2=80=34﹣1，…，an=3n﹣1，
则{an}的通项公式为an=3n﹣1，
故选：B．
【点评】此题考查了数列递推式，根据递推公式推导数列的通项公式是解本题的关键．
9．（3分）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（ ）
A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
则A（2，0），B（1，1），
若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，
此时，目标函数为z=2x+y，
即y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，
若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，
此时，目标函数为z=3x+y，
即y=﹣3x+z，
平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，
故a=2，
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．
10．（3分）设{an}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）
A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0
C．若0＜a1＜a2，则a2 D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0
【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
【解答】解：若a1+a2＞0，则2a1+d＞0，a2+a3=2a1+3d＞2d，d＞0时，结论成立，即A不正确；
若a1+a3＜0，则a1+a2=2a1+d＜0，a2+a3=2a1+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B不正确；
{an}是等差数列，0＜a1＜a2，2a2=a1+a3＞2，∴a2＞，即C正确；
若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）=﹣d2≤0，即D不正确．
故选：C．
【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．
11．（3分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若a=4，A=，则该三角形面积的最大值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．4
【分析】
由余弦定理列出关系式，把a，cosA的值代入并利用基本不等式求出bc的最大值，利用三角形面积公式求出三角形ABC面积的最大值即可．
【解答】解：由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即16=b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc=bc，
∴bc≤16，
∴S△ABC=bcsinA≤4，
则△ABC面积的最大值为4．
故选：C
【点评】此题考查了余弦定理，三角形面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握公式及定理是解本题的关键．
12．（3分）已知点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，则w=a﹣2b的取值范围是（ ）
A．[﹣，] B．（﹣，0） C．（0，） D．（﹣，）
【分析】点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，那么把这两个点代入2x+3y﹣1，它们的符号相反，结合a＞0，b＞0，画出可行域，则w=a﹣2b的取值范围．
【解答】解：点P（a，b）与点Q（1，0）在直线2x+3y﹣1=0的两侧，且a＞0，b＞0，
可得：，可行域如图：w=a﹣2b经过可行域的A与B时分别取得最大值与最小值．
∵A（），B（），
∴wA=，wB=，∴w∈（﹣，）．
故选：D．
【点评】本题考查了线性规划问题、直线的斜率计算公式及其单调性，考查了问题的转化能力和推理能力，属于中档题．
二、填空题（将答案填在题中的横线上）
13．（3分）函数y=2﹣x﹣（x＞0）的值域为 （﹣∞，﹣2] ．
【分析】利用基本不等式求出值域．
【解答】解：∵x＞0，∴x+≥2=4，当且仅当x=即x=2时取等号，
∴2﹣x﹣=2﹣（x+）≤2﹣4=﹣2．
∴y=2﹣x﹣（x＞0）的值域为（﹣∞，﹣2]．
故答案为：（﹣∞，﹣2]．
【点评】本题考查了基本不等式在求函数值域中的应用，属于基础题．
14．（3分）已知数列{an}满足条件a1=1，an﹣1﹣an=anan﹣1，则a10= ．
【分析】由条件可得﹣=1，故数列{}是等差数列，公差等于1，根据等差数列的通项公式求出，即可求得a10的值．
【解答】解：∵数列{an}满足an﹣1﹣an=anan﹣1，a1=1，
∴﹣=1，
故数列{}是等差数列，公差等于1，首项为1，
∴=1+9=10，
∴a10=，
故答案为：．
【点评】本题主要考查等差关系的确定，等差数列的通项公式，属于基础题．
15．（3分）一船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔64海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为 8 海里/小时．
【分析】根据题意可求得∠MPN和，∠PNM进而利用正弦定理求得MN的值，进而求得船航行的时间，最后利用里程除以时间即可求得问题的答案．
【解答】解：如图所示，∠MPN=75°+45°=120°，∠PNM=45°．
在△PMN中，=，
∴MN==32，
∴v==8（海里/小时）．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了解三角形的实际应用．解答关键是利用正弦定理建立边角关系，考查了学生分析问题和解决问题的能力．
16．（3分）若x，y满足约束条件目标函数z=ax+2y仅在点（1，0）处取得最小值，则a的取值范围是 （﹣4，2） ．
【分析】先根据约束条件画出可行域，设z=ax+2y，再利用z的几何意义求最值，只需利用直线之间的斜率间的关系，求出何时直线z=ax+2y过可行域内的点（1，0）处取得最小值，从而得到a的取值范围即可．
【解答】解：可行域为△ABC，如图，
当a=0时，显然成立．
当a＞0时，直线ax+2y﹣z=0的斜率k=﹣＞kAC=﹣1，a＜2．
当a＜0时，k=﹣＜kAB=2
a＞﹣4．
综合得﹣4＜a＜2，
故答案为：（﹣4，2）．
【点评】借助于平面区域特性，用几何方法处理代数问题，体现了数形结合思想、化归思想．线性规划中的最优解，通常是利用平移直线法确定．
三、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．若不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}．
（1）解不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0
（2）b为何值时，ax2+bx+3≥0的解集为R．
【分析】（1）由不等式（1﹣a）x2﹣4x+6＞0的解集是{x|﹣3＜x＜1}，利用根与系数关系列式求出a的值，把a代入不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0后直接利用因式分解法求解；
（2）代入a得值后，由不等式对应的方程的判别式小于等于0列式求解b的取值范围．
【解答】解：（1）由题意知，1﹣a＜0，且﹣3和1是方程（1﹣a）x2﹣4x+6=0的两根，
∴，解得a=3．
∴不等式2x2+（2﹣a）x﹣a＞0即为2x2﹣x﹣3＞0，解得x＜﹣1或x＞．
∴所求不等式的解集为{x|x＜﹣1或x＞}；
（2）ax2+bx+3≥0即为3x2+bx+3≥0，
若此不等式的解集为R，则b2﹣4×3×3≤0，∴﹣6≤b≤6．
【点评】本题考查了一元二次不等式的解法，考查了一元二次方程的根与系数的关系，是基础的运算题．
18．在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，且a=2csinA．
（1）确定角C的大小；
（2）若c=，且△ABC的面积为，求a、b的值．
【分析】（1）根据正弦定理化简即可求出角C的大小；
（2）△ABC的面积为，即absinC=，可得ab，利用余弦定理即可求解a、b的值．
【解答】解：（1）∵a=2csinA．
由正弦定理．可得sinA=2sinCsinA
∵，
∴2sinC=，即sinC=
∵，
∴C=．
（2））△ABC的面积为，即absinC=，
可得ab=6…①
余弦定理，可得：c2=a2+b2﹣2abcosC，即a2+b2=13…②
由①②解得：或．
【点评】本题考查了正余弦定理的运用和计算能力，属于基础题．
19．某研究所计划利用宇宙飞船进行新产品的搭载实验，计划搭载A，B两种新产品，该研究所要根据该产品的研制成本、产品质量、搭载实验费用和预计产生收益来决定具体安排，通过调查，有关数据如下表：
产品A/件
产品B/件
研制成本搭载费用之和/万元•件﹣1
20
30
计划最大投资金额300万元
产品质量/千克•件﹣1
10
5
最大搭载质量110千克
预计收益/万元•件﹣1
80
60
试问：如何安排这两种产品的件数，才能使总预计收益达到最大？最大收益是多少？
【分析】利用已知条件列出约束条件的不等式组，通过目标函数的几何意义求解最值即可．
【解答】解：设搭载A产品x件，B产品y件，预计收益z=80x+60y（万元），
则x，y均为整数，
作出可行域，如图所示．
由解得
即M（9，4）．由图易得，当直线z=80x+60y经过M点时，z取得最大值，所以zmax=80×9+60×4=960（万元）．
【点评】
本题考查线性规划的简单应用，注意目标函数的最值的求法，考查数形结合以及计算能力．
20．设数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，求数列{bn}的前n项和Sn．
【分析】（1）由数列递推式求得数列首项，且，与原递推式联立可得数列{an}的通项公式；
（2）把数列{an}的通项公式代入，利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Sn．
【解答】解：（1）∵，①
∴．
，②
①﹣②，得，
化简得．
显然也满足上式，故；
（2）由，得，
于是，③
，④
③﹣④得，
即，
∴．
【点评】本题考查数列递推式，训练了错位相减法求数列的前n项和，是中档题．
21．如图，某广场要划定一矩形区域ABCD，并在该区域内开辟出三块形状大小相同的矩形绿化区，这三块绿化区四周和绿化区之间设有1米宽的走道．已知三块绿化区的总面积为800平方米，求该矩形区域ABCD占地面积的最小值．
【分析】设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，推出3xy=800，从而得到试验田ABCD的面积S=（3x+4）（y+2），然后利用基本不等式，由此能够求出结果．
【解答】解：设绿化区域小矩形的一边长为x，另一边长为y，则3xy=800，
∴y=．
即矩形区域ABCD的面积
S=（3x+4）（y+2）=（3x+4）（+2）=800+6x++8≥808+2=968．
当且仅当6x=，即x=时取“=”，
∴矩形区域ABCD的面积的最小值为968平方米．
【点评】本题考查函数问题在生产生活中的实际应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．
22．已知数列{an}满足a1=1，an+1=1﹣，其中n∈N*．
（Ⅰ）设bn=，求证：数列{bn}是等差数列，并求出{an}的通项公式an；
（Ⅱ）设Cn=，数列{CnCn+2}的前n项和为Tn，是否存在正整数m，使得Tn＜对于n∈N*恒成立，若存在，求出m的最小值，若不存在，请说明理由．
【分析】（Ⅰ）利用递推公式即可得出bn+1﹣bn为一个常数，从而证明数列{bn}是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得到bn，进而得到an；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结论，利用“裂项求和”即可得到Tn，要使得Tn＜
对于n∈N*恒成立，只要，即，解出即可．
【解答】（Ⅰ）证明：∵bn+1﹣bn==
==2，
∴数列{bn}是公差为2的等差数列，
又=2，∴bn=2+（n﹣1）×2=2n．
∴2n=，解得．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得，
∴cncn+2==，
∴数列{CnCn+2}的前n项和为Tn=…+
=2＜3．
要使得Tn＜对于n∈N*恒成立，只要，即，
解得m≥3或m≤﹣4，
而m＞0，故最小值为3．
【点评】正确理解递推公式的含义，熟练掌握等差数列的通项公式、“裂项求和”、等价转化等方法是解题的关键．