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- 2021-06-18 发布
2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（上）期中数学试卷（文科）
一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A．（，0）（﹣，0） B．（0，），（0，﹣） C．（0，3）（0，﹣3） D．（3，0），（﹣3，0）
2．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且其右焦点为（5，0），则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
3．在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
4．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（ ）
A．任意实数a方程表示椭圆 B．存在实数a方程表示椭圆
C．任意实数a方程表示双曲线 D．存在实数a方程表示抛物线
5．双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于（ ）
A．4 B． C．2 D．4
6．已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为（2，），则点A到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
7．已知a，b＞0，若圆x2+y2=b2与双曲线﹣=1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．（1，] C．（1，） D．（，2）
8．直线y=2x+1的参数方程是（ ）
A．（t为参数） B．（t为参数）
C．（t为参数） D．（θ为参数）
9．已知点P的极坐标是（1，π），则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是（ ）
A．ρ=1 B．ρ=cosθ C．ρ=﹣ D．ρ=
10．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF与BF的长分别为m，n，则的值为（ ）
A．2a B．4a C． D．
11．极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
12．已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．
二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
14．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为 ．
15．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是 ．
16．已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为 ．
三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）
17．根据下列条件，求曲线的标准方程
（1）a=2，一个焦点为（4，0）的双曲线的标准方程
（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上的抛物线的标准方程．
18．已知点P（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，
（1）求直线l的方程
（2）求直线l被椭圆截得的弦长．
19．椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
20．（1）在极坐标系中，求过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程
（2）在极坐标系中，求圆心在，半径为3的圆的极坐标方程
（3）曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ﹣4sinθ，求曲线C的直角坐标方程．
21．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程是
（Ⅱ）设l与圆ρ=2相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积是 ．
22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
2016-2017学年黑龙江省双鸭山市友谊县红兴隆管理局一中高二（上）期中数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（本答题共12个小题，每小题5分，共60分）
1．已知椭圆标准方程x2+=1，则椭圆的焦点坐标为（ ）
A．（，0）（﹣，0） B．（0，），（0，﹣） C．（0，3）（0，﹣3） D．（3，0），（﹣3，0）
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】根据题意，由椭圆标准方程分析可得该椭圆的焦点在y轴上，进而可得c的值，由椭圆的焦点坐标公式可得答案．
【解答】解：根据题意，椭圆标准方程x2+=1，
则其焦点在y轴上，且c==3，
则椭圆的焦点坐标为（0，3）和（0，﹣3），
故选：C．
2．已知双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，且其右焦点为（5，0），则双曲线C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】利用已知条件列出方程，求解即可．
【解答】解：双曲线C：﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，
可得=；其右焦点为（5，0），可得c=5，又c2=a2+b2，
解得a=4，b=3，
则双曲线C的方程为：．
故选：B．
3．在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【考点】极坐标系．
【分析】直接利用对称知识，求出对称点的极角，即可得到选项．
【解答】解：在极坐标系中，与点关于极点对称的点的坐标是：
如图，
故选D．
4．若方程x2+=1（a是常数），则下列结论正确的是（ ）
A．任意实数a方程表示椭圆 B．存在实数a方程表示椭圆
C．任意实数a方程表示双曲线 D．存在实数a方程表示抛物线
【考点】曲线与方程．
【分析】根据三种圆锥曲线的定义，结合举例可得选项．
【解答】解：对于a=1，方程x2+=1表示圆，选项A错误；
当a＞0且a≠1时，方程x2+=1表示椭圆，B正确；
当a＜0时，方程x2+=1表示双曲线，C错误；
对于任意实数a，方程x2+=1不是抛物线，D错误．
故选：B．
5．双曲线E的中心在原点，离心率等于2，若它的一个顶点恰好是抛物线y2=8x的焦点，则双曲线E的虚轴长等于（ ）
A．4 B． C．2 D．4
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出抛物线的y2=8x的焦点，确定双曲线的几何量，即可求得双曲线E的虚轴长．
【解答】解：由题意，抛物线的y2=8x的焦点是（2，0），所以a=2
∵双曲线离心率等于2，
∴c=4
∴双曲线E的虚轴长2b=2=4．
故选D．
6．已知直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，点A的极坐标为（2，），则点A到直线l的距离为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】把极坐标方程转化为直角坐标方程，然后求出极坐标表示的直角坐标，利用点到直线的距离求解即可．
【解答】解：直线l的极坐标方程为2ρsin（θ﹣）=，对应的直角坐标方程为：y﹣x=1，
点A的极坐标为A（2，），它的直角坐标为（2，﹣2）．
点A到直线l的距离为： =．
故选D．
7．已知a，b＞0，若圆x2+y2=b2与双曲线﹣=1有公共点，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．[，+∞） B．（1，] C．（1，） D．（，2）
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由题意可得b≥a，由b2=c2﹣a2和离心率公式e=，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：由圆x2+y2=b2与双曲线﹣=1有公共点，可得
b≥a，即有b2≥a2，
即c2﹣a2≥a2，即有c2≥2a2，
由e=，可得e≥．
故选：A．
8．直线y=2x+1的参数方程是（ ）
A．（t为参数） B．（t为参数）
C．（t为参数） D．（θ为参数）
【考点】直线的参数方程．
【分析】由已知y=2x=1，可化为点斜式方程：y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，即可化为直线的参数方程．
【解答】解：∵y=2x+1，∴y+1=2（x+1），令x+1=t，则y+1=2t，可得，即为直线y=2x+1的参数方程．
故选：B．
9．已知点P的极坐标是（1，π），则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是（ ）
A．ρ=1 B．ρ=cosθ C．ρ=﹣ D．ρ=
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】利用点P的直角坐标是（﹣1，0），过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是 x=﹣1，化为极坐标方程，得到答案．
【解答】解：点P的直角坐标是（﹣1，0），则过点P且垂直极轴所在直线的直线方程是 x=﹣1，
化为极坐标方程为ρcosθ=﹣1，即，
故选C．
10．过抛物线y=ax2（a＞0）的焦点F作一直线交抛物线于A、B两点，若线段AF与BF的长分别为m，n，则的值为（ ）
A．2a B．4a C． D．
【考点】直线与抛物线的位置关系．
【分析】方法一：抛物线y=ax2（a＞0）转化成标准方程：x2=y，焦点F坐标（0，），AB直线方程为y=kx+，由，整理得 ax2﹣kx﹣=0．x1x2=，x1+x2=，y1y2
=（kx1+）（kx2+）=，y1+y2=k（x1+x2）+=，由抛物线的定义可知：m=y1+，n=y2+，则====4a；
方法二：不妨设PQ的斜率 k=0，由焦点F坐标（0，），准线方程为x=﹣，把直线方程 y= 代入抛物线方程y=ax2，解得 x=±，丨AF丨=丨BF丨=，即m=n=，即可求得的值．
【解答】解：方法一：抛物线y=ax2（a＞0）转化成标准方程：x2=y，
∴焦点F坐标（0，），准线方程为x=﹣，
设过F（0，）的AB直线方程为y=kx+，
∴，整理得 ax2﹣kx﹣=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2）
由韦达定理可知：x1x2=，x1+x2=，
∴y1+y2=k（x1+x2）+=，
y1y2=（kx1+）（kx2+）=，
根据抛物线性质可知，m=y1+，n=y2+，
====4a，
∴的值为4a，
故选B．
方法二：不妨设PQ的斜率 k=0，
抛物线y=ax2（a＞0）转化成标准方程：x2=y，
焦点F坐标（0，），准线方程为x=﹣，
把直线方程 y= 代入抛物线方程y=ax2，解得 x=±，
∴丨AF丨=丨BF丨=，即m=n=，
=2a+2a=4a，
故选B．
11．极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为（ ）
A．一条射线和一个圆 B．两条直线
C．一条直线和一个圆 D．一个圆
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】将极坐标方程化为直角坐标方程，就可以得出结论
【解答】解：极坐标方程ρcosθ=2sin2θ可化为：ρcosθ=4sinθcosθ
∴cosθ=0或ρ=4sinθ
∴或x2+y2﹣4y=0
∴极坐标方程ρcosθ=2sin2θ表示的曲线为一条直线和一个圆
故选C．
12．已知抛物线C：y2=4x上一点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，且|AF|＞2，则A点到原点的距离为（ ）
A．3 B． C．4 D．
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】设点A的坐标为（x1，y1），求出抛物线的准线方程，结合抛物线的定义建立方程关系进行求解即可．
【解答】解：设点A的坐标为（x1，y1），抛物线y2=4x的准线方程为x=﹣1，
根据抛物线的定义，点A到焦点的距离等于点A到准线的距离，
∵点A到焦点F的距离与其到对称轴的距离之比为5：4，
∴=，
∵y12=4x1，
∴解得x1=或x1=4，
∵|AF|＞2，
∴x1=4，
∴A点到原点的距离为=4，
故选：B．
二、填空题（本答题共4个小题，每小题5分，共20分）
13．直角坐标P（﹣1，1）的极坐标为（ρ＞0，0＜θ＜π） ．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】利用ρ=，tanθ=，且0＜θ＜π，即可得出点P的极坐标．
【解答】解：ρ==，tanθ==﹣1，且0＜θ＜π，∴θ=．
∴点P的极坐标为．
故答案为：．
14．若直线l的参数方程为（t为参数），则直线l倾斜角的余弦值为 ．
【考点】参数方程化成普通方程．
【分析】设直线l倾斜角为θ．直线l的参数方程为（t为参数）化为，可得tanθ=﹣，利用三角函数的定义即可得出．
【解答】解：设直线l倾斜角为θ．
直线l的参数方程为（t为参数）化为，
则tanθ=﹣，
∵θ∈（0，π），
∴=﹣．
故答案为：﹣．
15．在极坐标系中，点A的极坐标是（1，π），点P是曲线C：ρ=2sinθ上的一个动点，则|PA|的取值范围是 ．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，把y=ρsinθ，ρ2=x2+y2代入即可化为直角坐标方程．可得圆心C，半径r．即可得出|PA|的取值范围是[|CA|﹣r，|CA|+r]．
【解答】解：点A的极坐标是（1，π），化为直角坐标A（﹣1，0）．
曲线C：ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2y，配方为：x2+（y﹣1）2=1．可得圆心C（0，1），半径r=1．
则|CA|=．
则|PA|的取值范围是．
故答案为：．
16．已知双曲线x2﹣=1的左、右焦点分别为F1、F2，P为双曲线右支上一点，点Q的坐标为（﹣2，3），则|PQ|+|PF1|的最小值为 7 ．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】依题意，可求得F1（﹣4，0），F2（4，0），P在双曲线的右支上，利用双曲线的定义|PF1|﹣|PF2|=4，可求得|PF1|=|PF2|+4，从而可求得|PF1|+|PQ|的最小值．
【解答】解：由双曲线方程得a=1，c=2
∵P在双曲线的右支上，
∴|PF1|﹣|PF2|=2，
∴|PF1|=|PF2|+2，
又双曲线右焦点F2（2，0），
∴|PF1|+|PQ|=|PF2|+4+|PQ|≥|QF2|+2
=+2═5+2=7，（当且仅当Q、P、F2三点共线时取“=”）．
则|PQ|+|PF1|的最小值为7．
故答案为：7．
三、解答题（本大题共6个小题，17题10分，其它每小题10分，共70分）
17．根据下列条件，求曲线的标准方程
（1）a=2，一个焦点为（4，0）的双曲线的标准方程
（2）焦点F在直线l：3x﹣2y﹣6=0上的抛物线的标准方程．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】（1）求出a，b，即可得出双曲线的标准方程；
（2）分类讨论，求出p，即可求出抛物线的方程．
【解答】解：（1）由题意，a=2，c=4，b=2，
∴双曲线的标准方程是﹣=1；
（2）当对称轴为x轴，则焦点坐标为（2，0），即p=4．故抛物线方程为y2=8x．
当对称轴为y轴，则焦点坐标为（0，﹣3），即p=6．故抛物线方程为x2=﹣12y．
综上，所求抛物线的方程为y2=8x或x2=﹣12y．
18．已知点P（4，2）是直线l被椭圆所截得的线段的中点，
（1）求直线l的方程
（2）求直线l被椭圆截得的弦长．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1）设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣4），交点A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为关于x的一元二次方程，再利用根与系数的关系、中点坐标公式即可得出．
（2）利用弦长公式即可得出．
【解答】解：（1）设直线l的方程为：y﹣2=k（x﹣4），交点A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（1+4k2）x2+8k（2﹣4k）x+4（2﹣4k）2﹣36=0．（*）
∴x1+x2==8，解得k=﹣
∴直线l的方程为：x+2y﹣8=0．
（2）把k=﹣代入方程（*）可得：x2﹣8x+14=0，
∴x1+x2=8，x1x2=14．
∴|AB|===．
19．椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上．
（1）求椭圆C的方程；
（2）直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M．证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．
【分析】（1）利用椭圆的离心率，以及椭圆经过的点，求解椭圆的几何量，然后得到椭圆的方程．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），联立直线方程与椭圆方程，通过韦达定理求解KOM，然后推出直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
【解答】解：（1）椭圆C： =1，（a＞b＞0）的离心率，点（2，）在C上，可得，，解得a2=8，b2=4，所求椭圆C方程为：．
（2）设直线l：y=kx+b，（k≠0，b≠0），A（x1，y1），B（x2，y2），M（xM，yM），
把直线y=kx+b代入可得（2k2+1）x2+4kbx+2b2﹣8=0，
故xM==，yM=kxM+b=，
于是在OM的斜率为：KOM==，即KOM•k=．
∴直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值．
20．（1）在极坐标系中，求过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程
（2）在极坐标系中，求圆心在，半径为3的圆的极坐标方程
（3）曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ﹣4sinθ，求曲线C的直角坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为：（和也可以）．
（2）圆心在（即（0，3）），半径为3的圆的直角坐标方程为：x2+（y﹣3）2=9，展开利用互化公式即可得出极坐标方程．
（3）曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ﹣4sinθ，即ρ2=2ρ（cosθ﹣2sinθ），利用互化公式可得曲线C的直角坐标方程．
【解答】解：（1）过极点，倾斜角是的直线的极坐标方程为：（和也可以）．
（2）圆心在（即（0，3）），半径为3的圆的直角坐标方程为：x2+（y﹣3）2=9，
展开化为：x2+y2﹣6y=0，极坐标方程为ρ2﹣6ρsinθ=0，即ρ=6sinθ．
（3）曲线C的极坐标方程为：ρ=2cosθ﹣4sinθ，即ρ2=2ρ（cosθ﹣2sinθ），
可得曲线C的直角坐标方程：x2+y2=2x﹣4y，即（x﹣1）2+（y+2）2=5．
21．以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的单位长度．已知直线l经过点P（1，1），倾斜角．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程是 （t为参数），
（Ⅱ）设l与圆ρ=2相交于两点A、B，求点P到A、B两点的距离之积是 2 ．
【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆相交的性质；直线的参数方程．
【分析】（Ⅰ）设出直线l上任意一点Q，利用直线斜率的坐标公式可得到坐标的关系：（y﹣1）：（x﹣1）=1：，再令
x﹣1=t，以t为参数，可以得到直线l的参数方程；
（Ⅱ）将圆ρ=2化成普通方程，再与直线的参数方程联解，得到一个关于t的一元二次方程．再用一元二次方程根与系数的关系，结合两点的距离公式，可得出P到A、B两点的距离之积．
【解答】解：（Ⅰ）设直线l上任意一点Q（x，y）
∵直线l经过点P（1，1），倾斜角．
∴直线的斜率为k==
设x﹣1=t，则y﹣1=t
∴（t为参数），即为直线l的参数方程．
（Ⅱ）圆ρ=2化成直角坐标方程：x2+y2=4
将x=t+1，则y=t+1代入，得：（t+1）2+（t+1）2=4
∴2t2+（+1）t﹣1=0…（*）
∵l与圆ρ=2相交与两点A、B
∴A（t1+1，t1+1），B（t2+1，t2+1），其中t1、t2是方程（*）的两个实数根．
由根与系数的关系，得
P到A、B两点的距离分别为：
，
∴点P到A、B两点的距离之积为PA•PB=4|t1t2|=2
故答案为：（t为参数），2
22．在直角坐标系xOy中，直线l的方程为x﹣y+4=0，曲线C的参数方程为．
（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为，判断点P与直线l的位置关系；
（2）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程；直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程．
【分析】（1）由曲线C的参数方程为，知曲线C的普通方程是，由点P的极坐标为，知点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），由此能判断点P与直线l的位置关系．
（2）由Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°），知到直线l：x﹣y+4=0的距离=，（0°≤α＜360°），由此能求出Q到直线l的距离的最小值．
【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为，
∴曲线C的普通方程是，
∵点P的极坐标为，
∴点P的普通坐标为（4cos，4sin），即（0，4），
把（0，4）代入直线l：x﹣y+4=0，
得0﹣4+4=0，成立，
故点P在直线l上．
（2）∵Q在曲线C：上，（0°≤α＜360°）
∴到直线l：x﹣y+4=0的距离：
=，（0°≤α＜360°）
∴．