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- 2021-06-18 发布
第五节 椭 圆
[考纲传真] (教师用书独具)1.了解椭圆的实际背景,了解椭圆在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率).3.理解数形结合思想.4.了解椭圆的简单应用.
(对应学生用书第138页)
[基础知识填充]
1.椭圆的定义
把平面内到两个定点F1,F2的距离之和等于常数(大于|F1F2|)的点的集合叫作椭圆.这两个定点叫作椭圆的焦点,两焦点间的距离叫作椭圆的焦距.
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0,c>0,且a,c为常数:
(1)若a>c,则集合P为椭圆;
(2)若a=c,则集合P为线段;
(3)若a<c,则集合P为空集.
2.椭圆的标准方程和几何性质
标准方程
+=1(a>b>0)
+=1(a>b>0)
图形
性质
范围
-a≤x≤a
-b≤y≤b
-b≤x≤b
-a≤y≤a
对称性
对称轴:坐标轴;对称中心:原点
顶点
A1(-a,0),A2(a,0),B1(0,-b),B2(0,b)
A1(0,-a),A2(0,a),B1(-b,0),B2(b,0)
离心率
e=,且e∈(0,1)
a,b,c的关系
c2=a2-b2
[知识拓展] 1.点P(x0,y0)和椭圆的位置关系:(1)P(x0,y0)在椭圆内⇔+<1.(2)P(x0,y0)在椭圆上⇔+=1.(3)P(x0,y2)在椭圆外⇔+>1.
2.对于+=1(a>b>0)如图851.
图851
则:(1)S=b2tan .
(2)|PF1|=a+ex0,|PF2|=a-ex0.
(3)a-c≤|PF1|≤a+c.
(4)过P(x0,y0)点的切线方程为 +=1.
[基本能力自测]
1.(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆.( )
(2)椭圆上一点P与两焦点F1,F2构成△PF1F2的周长为2a+2c(其中a为椭圆的长半轴长,c为椭圆的半焦距).( )
(3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆.( )
(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.( )
(5)方程mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n)表示的曲线是椭圆.( )
(6)+=1(a>b>0)与+=1(a>b>0)的焦距相同.( )
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√ (5)√ (6)√
2.(2017·浙江高考)椭圆+=1的离心率是( )
A. B.
C. D.
B [∵椭圆方程为+=1,
∴a=3,c===.
∴e==.
故选B.]
3.(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离心率等于,则C的方程是( )
A.+=1 B.+=1
C.+=1 D.+=1
D [椭圆的焦点在x轴上,c=1.
又离心率为=,故a=2,b2=a2-c2=4-1=3,
故椭圆的方程为+=1.]
4.椭圆C:+=1的左右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交椭圆C于A、B两点,则△F1AB的周长为( )
A.12 B.16
C.20 D.24
C [△F1AB的周长为
|F1A|+|F1B|+|AB|
=|F1A|+|F2A|+|F1B|+|F2B|
=2a+2a=4a.
在椭圆+=1中,a2=25,a=5,
所以△F1AB的周长为4a=20,故选C.]
5.若方程+=1表示椭圆,则k的取值范围是________.
(3,4)∪(4,5) [由已知得解得3<k<5且k≠4.]
(对应学生用书第139页)
椭圆的定义及其应用
(1)已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为( )
A.-=1 B.+=1
C.-=1 D.+=1
(2)F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为( )
A.7 B.
C. D.
(1)D (2)C [(1)设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16,又|C1C2|=8<16,∴动圆圆心M的轨迹是以C1、C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,则a=8,c=4,∴b2=48,故所求的轨迹方程为+=1.
(2)由题意得a=3,b=,c=,
∴|F1F2|=2,|AF1|+|AF2|=6.
∵|AF2|2=|AF1|2+|F1F2|2-2|AF1|·|F1F2|cos 45°=|AF1|2-4|AF1|+8,
∴(6-|AF1|)2=|AF1|2-4|AF1|+8.
∴|AF1|=,∴S△AF1F2=××2×=.]
[规律方法]
1.椭圆定义的应用主要有两个方面:一是判定平面内动点的轨迹是否为椭圆;二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等.
2.椭圆的定义式必须满足2a>|F1F2|.
[跟踪训练] (1)设F1,F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左,右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点,|AF1|=3|F1B|,且|AB|=4,△ABF2的周长为16,则|AF2|=________.
【导学号:79140284】
(2)已知F1、F2是椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点,P为椭圆C上的一点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积为9,则b=__________.
(1)5 (2)3 [(1)由|AF1|=3|F1B|,|AB|=4,得|AF1|=3,
∵△ABF2的周长为16,∴4a=16,∴a=4.
则|AF1|+|AF2|=2a=8,
∴|AF2|=8-|AF1|=8-3=5.
(2)设|PF1|=r1,|PF2|=r2,
则
∴2r1r2=(r1+r2)2-(r+r)=4a2-4c2=4b2,
∴S=r1r2=b2=9,
∴b=3.]
椭圆的标准方程
(1)若直线x-2y
+2=0经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的标准方程为( )
A.+y2=1 B.+=1
C.+y2=1或+=1 D.以上答案都不对
(2)已知椭圆的中心在原点,离心率e=,且它的一个焦点与抛物线y2=-4x的焦点重合,则此椭圆方程为( )
A.+=1 B.+=1
C.+y2=1 D.+y2=1
(1)C (2)A [(1)直线与坐标轴的交点分别为(0,1),(-2,0),
由题意知当焦点在x轴上时,c=2,b=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+y2=1.
当焦点在y轴上时,b=2,c=1,所以a2=5,所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)依题意,可设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),由已知可得抛物线的焦点为(-1,0),所以c=1,又离心率e==,解得a=2,b2=a2-c2=3,所以椭圆方程为+=1.]
[规律方法] 求椭圆的标准方程的方法有定义法与待定系数法,但基本方法是待定系数法,具体过程是先定位,再定量,即首先确定焦点所在的位置,然后再根据条件建立关于a,b的方程组,若焦点位置不确定,可把椭圆方程设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B)的形式.
[跟踪训练] (1)(2017·湖南长沙一模)椭圆的焦点在x轴上,中心在原点,其上、下两个顶点和两个焦点恰为边长是2的正方形的顶点,则椭圆的标准方程为( )
A.+=1 B.+y2=1
C.+=1 D.+=1
(2)已知F1(-1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交C于A,B两点,且|AB|=3,则C的方程为__________.
【导学号:79140285】
(1)C (2)+=1 [(1)由条件可知b=c=,a=2,∴椭圆的标准方程为+=1.故选C.
(2)依题意,设椭圆C:+=1(a>b>0).
过点F2(1,0)且垂直于x轴的直线被曲线C截得弦长|AB|=3,
∴点A必在椭圆上,∴+=1. ①
又由c=1,得1+b2=a2. ②
由①②联立,得b2=3,a2=4.
故所求椭圆C的方程为+=1.]
椭圆的几何性质
◎角度1 求离心率的值或范围
(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为( )
A. B.
C. D.
A [由题意知以A1A2为直径的圆的圆心为(0,0),半径为a.
又直线bx-ay+2ab=0与圆相切,
∴圆心到直线的距离d==a,解得a=b,
∴=,
∴e=====.
故选A.]
◎角度2 根据椭圆的性质求参数
已知椭圆+=1的长轴在x轴上,焦距为4,则m等于( )
A.8 B.7
C.6 D.5
A [∵椭圆+=1的长轴在x轴上,
∴解得6<m<10.
∵焦距为4,
∴c2=m-2-10+m=4,解得m=8.]
[规律方法] (1)求椭圆离心率的方法
①直接求出a,c的值,利用离心率公式直接求解.
②列出含有a,b,c的齐次方程(或不等式),借助于b2=a2-c2消去b,转化为含有e的方程(或不等式)求解.
(2)利用椭圆几何性质求值或范围的思路
求解与椭圆几何性质有关的参数问题时,要结合图形进行分析,当涉及顶点、焦点、长轴、短轴等椭圆的基本量时,要理清它们之间的关系.建立关于a、b、c的方程或不等式.
[跟踪训练] (1)已知椭圆+=1的离心率为,则k的值为( )
A.-21 B.21
C.-或21 D.或-21
(2)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点,若椭圆C上存在点P,使得线段PF1的中垂线恰好经过焦点F2,则椭圆C离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
(1)D (2)C [(1)当9>4-k>0,即-5<k<4时,
a=3,c2=9-(4-k)=5+k,
∴=,解得k=.
当9<4-k,即k<-5时,
a=,c2=-k-5,
∴=,解得k=-21,
所以k的值为或-21.
(2)如图所示,
∵线段PF1的中垂线经过F2,
∴|PF2|=|F1F2|=2c,
即椭圆上存在一点P,
使得|PF2|=2c.
∴a-c≤2c≤a+c.∴e=∈.]
直线与椭圆的位置关系
(2018·东北三省四市模拟(一))已知椭圆E的一个顶点为A(0,-1),焦点在x轴上,若椭圆右焦点到椭圆E的中心的距离是.
(1)求椭圆E的方程;
(2)设直线l:y=kx+1(k≠0)与该椭圆交于不同的两点B,C,若坐标原点O到直线l的距离为,求△BOC的面积.
[解] (1)由题意b=1,c=,
∴a2=b2+c2=3,
又∵椭圆E的焦点在x轴上,
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)设B(x1,y1),C(x2,y2),将直线方程与椭圆联立整理得(3k2+1)x2+6kx=0,
由原点O到直线l的距离为=,得k2=,
又|BC|=
==2,
∴S△BOC=×|BC|×=,
∴△BOC的面积为.
[规律方法] 直线与椭圆的位置关系的解题策略
(1)解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决,往往会更简单.
(2)设直线与椭圆的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则|AB|=
=(k为直线斜率).
易错警示:利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽视判别式.
[跟踪训练] 已知曲线C的方程是mx2+ny2=1(m>0,n>0),且曲线过A,B两点,O为坐标原点.
(1)求曲线C的方程;
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2)是曲线C上两点,向量p=(x1,y1),q=(x2,y2),且p·q=0,若直线MN过点,求直线MN的斜率.
[解] (1)由题可知:
解得m=4,n=1.
∴曲线C的方程为y2+4x2=1.
(2)设直线MN的方程为y=kx+,
代入椭圆方程y2+4x2=1,得(k2+4)x2+kx-=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
∵p·q=(2x1,y1)·(2x2,y2)=4x1x2+y1y2=0,
∴+++=0,
即k2-2=0,k=±.
故直线MN的斜率为±.