江苏省扬州中学2020-2021高二数学10月月考试题（Word版带答案） 10页

江苏省扬州高二数学阶段考试 2020.10‎ 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．‎ ‎1.下列命题为真命题的是( )‎ A．，使 B．，有 C．，有 D．，有 ‎2.已知椭圆x‎2‎‎4‎‎+y‎2‎=1‎，则该椭圆的焦距为（ ）‎ A．‎3‎ B．‎2‎‎3‎ C．‎5‎ D．‎‎2‎‎5‎ ‎3.等差数列的前项和为，若 是方程的两实根.则（ ）‎ A．10 B．5 C．﹣5 D．﹣10‎ ‎4. 已知等比数列的公比为q，则“”是“”的（ ）‎ A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5. 等差数列的公差为2，若a‎2‎，，成等比数列，记bn‎=‎‎1‎anan‎+2‎，数列bn的前n项和Sn，则S‎4‎等于（ ）‎ A．‎1‎‎5‎ B．‎2‎‎5‎ C．‎3‎‎5‎ D．‎‎4‎‎5‎ ‎6. 九连环是我国从古至今广泛流传的一种益智游戏，它用九个圆环相连成串，以解开为胜．据明代杨慎《丹铅总录》记载：“两环互相贯为一，得其关捩，解之为二，又合面为一“．在某种玩法中，用an表示解下n（n≤9，n∈N*）个圆环所需的移动最少次数，若a‎1‎＝1．且an＝‎2an-1‎-1,‎n为偶数‎2an-1‎+2,‎n为奇数，则解下5个环所需的最少移动次数为（ ）‎ A．7 B．13 C．16 D．22‎ ‎7.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎8.棱长为2的正方体中，正方形所在平面内的动点到直线的距离之和为‎2‎2‎,∠APB=9‎‎0‎‎°‎，则点到直线的距离为（ ）‎ 10‎ A． B．1 C． D． ‎ 一、 多选题：（每题5分，全对得5分，选不全得3分，选错得0分，共20分）‎ ‎9.下列命题的中，是存在性命题且是真命题的是（ ）‎ A．至少有一个实数x，使 B．所有正方形都是矩形 C．‎∃x∈R,x‎2‎-x+‎1‎‎4‎≤0‎ D．‎ ‎10. 已知数列的前n项和为Sn，，若存在两项，，使得，则（ ）‎ A．数列为等差数列 B．数列为等比数列 C．a‎1‎‎2‎‎+a‎2‎‎2‎+⋯+‎an‎2‎=‎4‎n‎-1‎‎3‎ D．为定值 ‎11. 如图，正方体的棱长为1，是的中点，则( )‎ A．直线平面 ‎ B．‎ C．三棱锥的体积为 ‎ D．异面直线与所成的角为 ‎12．已知椭圆C:x‎2‎a‎2‎+y‎2‎b‎2‎=1‎a>b>0‎的左、右焦点分别为，且，‎ 点在椭圆内部，点在椭圆上，则以下说法正确的是（ ）‎ A．的最小值为 B．椭圆的短轴长可能为2‎ C．椭圆的离心率的取值范围为 D．若PF‎1‎‎=‎F‎1‎Q，则椭圆的长轴长为 三．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 命题“‎∀x∈(0,π‎2‎‎),sinx<1‎”的否定是“ ”．‎ ‎14. 将数列‎{2n+4}‎与‎{3n–2}‎的公共项从小到大排列得到数列‎{an}‎，则{an}的通项公式为an=‎ 10‎ ‎________．‎ ‎15．正方体的棱长为，，，，分别是，，，的中点，则过且与平行的平面截正方体所得截面的面积为______，和该截面所成角的正弦值为______．‎ ‎16.已知直线与椭圆x‎2‎a‎2‎‎+y‎2‎b‎2‎=1(a>b>0)‎相切于第一象限，且直线与轴、轴分别交于点、，当‎△AOB (为坐标原点)的面积最小时，(、是椭圆的两个焦点)，则该椭圆的离心率是__________．‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知命题：‎∃x∈R,x‎2‎+2x+m≤0‎，命题：方程x‎2‎m-t‎+y‎2‎t+1-m=1‎表示椭圆.‎ ‎（1）若命题为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求t的取值范围．‎ ‎18.在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是梯形，，，，是边长为2的正三角形，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角A-BE-C的余弦值．‎ ‎19. 在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.‎ 已知是公差不为的等差数列，其前项和为，且、、成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且，，求数列的前项和.‎ 10‎ ‎20.设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．‎ ‎21.正整数数列满足（p，q为常数），其中为数列的前n项和．‎ ‎(1)若，，求证：是等差数列；‎ ‎(2)若数列为等差数列，求p的值；‎ ‎(3)证明：a‎2020‎‎=2020‎a‎1‎的充要条件是．‎ ‎22．已知椭圆：，圆N是椭圆长轴和短轴四个端点连接而成的四边形的内切圆。‎ ‎（1）求圆N的方程；‎ ‎（2）过圆N上的任一点作圆N的切线交椭圆于，两点，求证AB‎·‎AC为定值。‎ 10‎ 江苏省扬州高二数学阶段考试 2020.10‎ 一．单项选择题： ‎ ‎1. B 2. B 3. C 4. D 5. A 6. C 7. A 8． B 二．多选题：9.AC 10.BD 11. ABD 12． ACD ‎12.填空题：13. ‎‎∈(0,π‎2‎‎),sinx≥1‎ ‎14.6n+4 15． ， 16 ‎ 详解：由题意，切线方程为，‎ ‎∵‎直线与轴分别相交于点，‎ ‎，，‎ ‎∵x‎0‎‎2‎a‎2‎+y‎0‎‎2‎b‎2‎=1≥‎‎2‎x‎0‎y‎0‎ab‎，，‎ ‎，当且仅当时，为坐标原点）的面积最小，‎ 设，由余弦定理可得，‎ ‎，‘‎ ‎，‎∴e=‎‎10‎‎5‎.‎ 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．已知命题：‎∃x∈R,x‎2‎+2x+m≤0‎，命题：方程x‎2‎m-t‎+y‎2‎t+1-m=1‎表示椭圆.‎ ‎（1）若命题为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的必要不充分条件，求t的取值范围．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）∵命题为真，Δ≥0⇒‎. （2）‎t≤0‎ ‎18.在四棱锥E-ABCD中，四边形ABCD是梯形，，，‎ 10‎ ‎，是边长为2的正三角形，．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角A-BE-C的余弦值．‎ ‎（1）四边形ABCD是直角梯形，，，‎ 是边长为2的正三角形，‎ 所以．‎ 而，，‎ 所以，，‎ 又由，所以平面BDE，‎ 又因为平面BDE，所以；‎ ‎（2）因为，所以，BE⊥面ABC,‎ ‎∠ABC 是平面角，cos∠ABC=-‎‎2‎‎2‎‎,所以二面角的余弦值为‎-‎‎2‎‎2‎．‎ ‎19.在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并作答.‎ 已知是公差不为的等差数列，其前项和为，且、、成等比数列.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且，，求数列的前项和.‎ ‎【解析】（1）设数列的公差为.‎ 因为，，成等比数列，则，‎ 故，化简得.‎ 因为，所以，所以.‎ 若选①，则，即，则；‎ 若选②，则，即，则；‎ 若选③，则，即，则；‎ 10‎ ‎（2）因为数列是各项均为正数的等比数列，且，，‎ 设数列的公比为，则.‎ 若选①，则，故，，‎ 所以，由，得.‎ 又，则，所以，‎ 所以.‎ 若选②，则，故，，‎ 所以，由，得.又，则，所以，‎ 所以.‎ 若选③，则，故，，‎ 所以，由，得.‎ 又，则，所以，‎ 则.‎ ‎20.设椭圆的左焦点为，上顶点为．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点为直线与轴的交点，点在轴的负半轴上．若（为原点），且，求直线的斜率．‎ 10‎ ‎【详解】(1) 设椭圆的半焦距为，依题意，，又，可得，b=2，c=1.所以，椭圆方程为.‎ ‎(2)由题意，设.设直线的斜率为，‎ 又，则直线的方程为，与椭圆方程联立，‎ 整理得，可得，‎ 代入得，‎ 进而直线的斜率，在中，令，得.‎ 由题意得，所以直线的斜率为.由，得，化简得，从而.‎ 所以，直线的斜率为或.‎ ‎21.正整数数列满足（p，q为常数），其中为数列的前n项和．(1)若，，求证：是等差数列；‎ ‎(2)若数列为等差数列，求p的值；‎ ‎(3)证明：a‎2020‎‎=2020‎a‎1‎的充要条件是．‎ ‎【详解】（1），时，，可得.‎ 时，，整理为：，‎ 10‎ ‎∴，∴是等差数列.‎ ‎（2）设等差数列的公差为d，‎ ‎∴，.则，‎ ‎∴①.‎ 比较两边的系数可得：，当时，，解得，．此时，，由（1）可得：是等差数列.‎ 当时，．由①比较常数项可得：，‎ 则，，是等差数列.综上可得：或.‎ ‎（3）证明：由，可得.‎ 由，‎ 相减可得：，即．‎ 必要性：当时，．‎ ‎∴a‎2020‎‎2020‎‎=a‎2015‎‎2015‎=‎……，∴a‎2020‎‎=2020‎a‎1‎.‎ 充分性：反证法，当时，‎ 由pn-1‎an=(pn+1-2p)an-1‎=pnan-1‎+‎1-2pan-1‎(n≥2)‎，‎ 又数列各项为正数，∴pn-1‎an