- 489.88 KB
- 2021-02-26 发布
秘密★启用前 【考试时间：2020年10月15日15:00-17:00】
重庆一中高2022级高二上期10月月考
数学试题卷
一、 单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知圆的标准方程为，则它的圆心坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．已知点，，若直线与线段恒有公共点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．若椭圆的右焦点为F，过左焦点作倾斜角为的直线交椭圆于P，Q两点，则的周长为（ ）
A． B． C．6 D．8
4．若直线与直线平行，则（ ）
A． B． C．或2 D．或
5．直线与圆的位置关系是（ ）
A．相交 B．相离 C．相切 D．不能确定
6．抛物线的焦点为F，准线为l，点P为抛物线上一点，，垂足为A，若直线AF的斜率为，则等于（ ）
A．4 B． C．8 D．
7．已知过双曲线的右焦点F，且与双曲线的渐近线平行的直线l交双曲线于点A，交双曲线的另一条渐近线于点B（A，B在同一象限内），满足，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
第7页
8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，过的直线与过的直线交于点，线段的中点为，线段的垂直平分线与的交点（第一象限）在椭圆上，且交轴于点，则的取值范围为（ ）.
A． B．(] C． D．
二、多项选择题: 本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.
9．已知分别是双曲线的左右焦点，点是双曲线上异于双曲线顶点的一点，且向量，则下列结论正确的是（ ）
A．双曲线的渐近线方程为 B．以为直径的圆的方程为
C．到双曲线的一条渐近线的距离为1 D．的面积为1
10．点P是直线上的动点，由点P向圆O：作切线，则切线长可能为（ ）
A． B． C． D．
11．泰戈尔说过一句话：世界上最远的距离，不是树枝无法相依，而是相互了望的星星，却没有交会的轨迹；世界上最远的距离，不是星星之间的轨迹，而是纵然轨迹交会，却在转瞬间无处寻觅．已知点，直线l：，若某直线上存在点P，使得点P到点M的距离比到直线l的距离小1，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论正确的是（ ）
A．点P的轨迹曲线是一条线段
B．点P的轨迹与直线：是没有交会的轨迹即两个轨迹没有交点
C．不是“最远距离直线”
D．是“最远距离直线”
12．已知抛物线的焦点为F，准线为l，过F的直线与E交于A，B两点，C，D分别为A，B在l上的射影，且，M为AB中点，则下列结论正确的是（ ）
A． B．为等腰直角三角形
C．直线AB的斜率为 D．
第7页
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．抛物线的准线方程为__________________.
14．已知双曲线的一条渐近线方程为，若其右顶点到这条渐近线的距离为，则双曲线方程为__________________．
15．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点．点到轴的距离为，到直线的距离为．则的最小值为______________.
16．在平面直角坐标系中，分别为椭圆的左、右焦点，B，C分别为椭圆的上、下顶点，直线与椭圆的另一个交点为D，若的面积为，则直线CD的斜率为 ．
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.
17． (10分)已知直线方程为，.
（1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标；
（2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程.
18． (12分)已知动点与平面上两定点、连线的斜率的积为定值.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）若，过的直线交轨迹C于M、N两点，且直线倾斜角为，求的面积；
19． (12分)圆C过点，，且圆心在直线上.
（1）求圆C的方程；
（2）P为圆C上的任意一点，定点，求线段中点M的轨迹方程.
第7页
20． (12分)光学是当今科技的前沿和最活跃的领域之一，抛物线有如下光学性质:由其焦点射出的光线经抛物线反射后，沿平行于抛物线对称轴的方向射出，今有抛物线，一平行于轴的光线从上方射向抛物线上的点，经抛物线2次反射后，又沿平行于轴方向射出，若两平行光线间的最小距离为8.
（1）求抛物线的方程；
（2）若直线与抛物线交于两点，以点为顶点作，使的外接圆圆心的坐标为，求弦的长度.
21． (12分)已知点，直线，为直角坐标平面上的动点，过动点作的垂线，垂足为点，且满足，记的轨迹为.
(1)求的方程；
(2)若过的直线与曲线交于，两点，直线，与直线分别交于，两点，试判断以为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.
22． (12分)已知椭圆：的长轴长为6，上一点M关于原点O的对称点为N，若，设.
(1)求椭圆的标准方程；
(2)经过圆：上一动点作椭圆的两条切线，切点分别记为，，求面积的取值范围.
第7页
2020年重庆一中高2022级高二上期月考数学试题
一 1．A 2．D 3．B 4．B 5．C 6．A 7．C 8．A
二 9．ACD 10．AD 11．BCD 12．ACD
三 13． 14． 15． 16．
四17．(1) 由化简得,
令 ,故直线恒过定点
(2)由题得中.
令有 ,故在轴上的截距为.
令有.故在轴上的截距为.
故,故或.
当时, 化简得,当时,化简得
故直线的方程为或
（另解：分过原点或斜率为-1，也对）
18．（1）设点，则依题意有，整理得，
由于，所以所求动点的轨迹的方程为：；
（2）直线的斜率，
故直线的方程为：，
与椭圆方程联立，消去得：，.
的面积为
19．（1）直线的斜率，所以的垂直平分线m的斜率为1.
的中点的横坐标和纵坐标分别为，.
因此，直线m的方程为.即.
第7页
联立，解得所以圆心坐标为，又半径，
则所求圆的方程是.
（2）设线段的中点，，M为线段的中点，则，解得，代入圆C中得，
即线段中点M的轨迹方程为.
(另解：用几何法也对，更快）
20．（1）设，，设直线方程为：
由，得，
则两平行光线距离，，故抛物线方程为.
（2）设中点
由，得，
， ，即 ，解得，
21．（1）设，点，直线，．
，的方程为．
(另解：由，用定义法也对，更快)
(2)设直线的方程为,,,
联立整理得：,,,,
第7页
直线的方程为,同理：直线的方程为,
令得,,,设中点的坐标为,则,,所以.
.圆的半径为.
所以以为直径的圆的方程为.展开可得,
令,可得,解得或.从而以为直径的圆经过定点和.
22． （1）∵
又
∴椭圆的标准方程为.
（2） 设点，.
则直线的方程为.（由求得，或直接写出，均给分），
直线的方程为.
∵在直线，上，∴，.∴直线的方程为.
由，消，结合，同时消，得：
第7页
又点到直线的距离.
.
第7页