高二数学上学期期中模拟试题（含解析） 14页

‎【2019最新】精选高二数学上学期期中模拟试题（含解析）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：‎ 考点：不等式性质 ‎2. 若命题，使，则该命题的否定为（ ）‎ A. ，使 B. ‎ C. ，使 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：特称命题的否定为：存在改为任意，结论变否定；所以命题，使的否定为：，故答案为D．‎ 考点：1、特称命题；2、命题的否定．‎ ‎3. 在等比数列中，是方程的两根，则等于（ ）‎ A. B. C. D. 以上都不对 - 14 - / 14‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由题意得 考点：1．二次方程根与系数的关系；2．等比数列 ‎4. 已知，则函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由于，则，所以，当且仅当，由于，即当时，上式取等号，因此函数的最小值为，故选C.‎ 考点：基本不等式 ‎5. 在中，，则的面积等于（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：由余弦定理知，整理得，解得或，有三角形面积公式得或．‎ 考点：余弦定理及三角形面积的求法．‎ ‎6. 已知变量满足约束条件则的最大值为（ ）‎ - 14 - / 14‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出二元一次不等式所示的可行域，目标函数为截距型，，可知截距越大值越大，根据图象得出最优解为，则的最大值为2，选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，作图时，可将不等式转化为（或），“”取下方，“”取上方，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围．‎ ‎7. 设等比数列，是数列的前项和，，且依次成等差数列，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设等比数列的首项为，公比为，…….①，又依次成等差数列，则，即……②，①②两式相加得：，代入①得：，两式相比：，解得：或，则 或 ，‎ 当时，，‎ - 14 - / 14‎ 当时，，选C .‎ ‎8. 设，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】且，则 ‎ ‎ ，‎ ‎，选A.‎ ‎9. 已知等差数列前项和为，若，则在数列中绝对值最小的项为（ ）‎ A. 第项 B. 第项 C. 第项 D. 第项 ‎【答案】C ‎10. 已知不等式对一切正整数恒成立，则实数的范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】,‎ 不等式对一切正整数恒成立，‎ 化为 ，只需，化为， 选B.‎ - 14 - / 14‎ ‎【点睛】裂项相消法是数列求和最常用的一种方法，本题为不等式恒成立问题，要注意到不等式要求对一切正整数n恒成立，首先把不等式化简后得出，何时恒成立，只需小于左边式子的最小值，其最小值为，其次得出的不等式如何解？可先换元，后利用图象法.‎ ‎11. 在中，是的中点，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】设 ，则 ‎ 选B.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.其基本步骤是：‎ 第一步：定条件，即确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向.‎ 第二步：定工具，即根据条件和所求合理选择转化的工具，实施边角之间的互化.‎ 第三步：求结果.‎ ‎12. 已知等差数列的公差，且成等比数列，若是数列的前项和，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A - 14 - / 14‎ ‎【解析】，成等比数列，，得或（舍去），，，，时原式取得最小值为，故选A．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 在中，，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ,.‎ ‎14. 当实数满足约束条件（其中为小于零的常数）时，的最小值为，则实数的值是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】略 ‎15. 已知数列为等比数列，其前项和为，且公比；数列为等差数列，，则__________．（填写“”“”或者“”）‎ ‎【答案】<‎ ‎【解析】比较与的大小，可以用比较法：，数列为等差数列，则 ,因为 ，即,因此只需研究 的正负.‎ 由于数列为等比数列，其前项和为，且公比；则=，所以.‎ - 14 - / 14‎ ‎【点睛】研究不等式的主要方法有比较法、分析法、综合法等，比较两个数的大小常用比较法，比较法又包括差值比较法与商值比较法，差值比较法主要研究差值的正负以说明两个数的大小，本题利用已知条件中等差数列和等比数列的通项公式外，还灵活的运用了等差数列的性质，借助等量代换巧妙的作差解决问题.‎ ‎16. 对于，当非零实数满足且使最大时，的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：设，则，代入到中，得，即……①‎ 因为关于的二次方程①有实根，所以，可得，‎ 取最大值时，或，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 综上可知当时，的最小值为．‎ 考点：1、一元二次方程根的判别式；2、二次函数求值域．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ - 14 - / 14‎ ‎17. 给定两个命题：对任意实数都有恒成立；.如果为真命题，为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】试题分析：根据已知求出两个简单命题中参数的取值范围，命题，命题；再根据复合命题的真假，判断简单命题的真假，分两种情况进行讨论，（1） 当真假时；（2）当假真时，从而得到实数的取值范围.‎ 试题解析：解：命题：ax2+ax+1＞0恒成立 当a=0时，不等式恒成立，满足题意）‎ 当a≠0时，，解得0＜a＜4‎ ‎∴0≤a＜4‎ 命题：a2+8a﹣20＜0解得﹣10＜a＜2‎ ‎∵为真命题，为假命题∴有且只有一个为真，‎ 当真假时得 当假真时得 所以﹣10＜a＜0或2≤a＜4‎ 考点：复合命题的真假判断.‎ ‎18. 已知在中，内角的对边分别为.且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ - 14 - / 14‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知条件是边角关系，且左边是角的余弦，要求的是，因此可用正弦定理“化边为角”，即，只要交叉相乘，再由两角和与差的正弦公式可得，而在三角形中此式即为，结论有了；（2）由（1）可得，结合余弦定理可求得，由面积公式可得．‎ 试题解析：（1）由正弦定理得 整理得 又∴，即 ‎（2）由余弦定理可知①‎ 由（1）可知，即②‎ 再由③， 由①②③联立求得 又∴‎ 考点：正弦定理，余弦定理，两角和与差的正弦公式，三角形的面积．‎ ‎19. 已知正项数列的前项和为是与的等比中项.‎ ‎（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若，数列的前项和为，求.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：已知数列的递推关系中含有前n项和与第n项的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，第二步，常用前n项和减去前n-1项和（两式相减）去处理，化为与的关系后，再求通项公式 ；错位相减法是数列求和的常用方法，使用错位相减法求和时，要注意末项的符号及等比数列求和的项数，避免失误.‎ - 14 - / 14‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：由是与的等比中项，‎ 得 .‎ 当时，.‎ 当时，，‎ ‎，‎ 即.‎ ‎，即.‎ 数列是等差数列.‎ ‎（2）数列首项，公差，‎ 通项公式为.‎ 则，则.①‎ 两边同时乘以，得②‎ ‎①-②，得 ‎ .‎ 解得.‎ ‎【点睛】数列的递推关系中为与的关系，求数列的通项公式，一般分两步，第一步n=1时，得出所表达的含义；第二步当时，常用两式相减去处理，化为与的关系后，再求通项公式 ；数列求和常用方法有错位相减法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法等；要根据数列的特征 - 14 - / 14‎ ‎ 采用相应的方法准确求和，特别是使用错位相减法要注意运算的准确性.‎ ‎20. 已知函数，其中是自然对数的底数.‎ ‎（1）证明：是上的偶函数.‎ ‎（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据函数奇偶性的定义即可证明是R上的偶函数； （2）利用参数分离法，将不等式m≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，进行转化对任意恒成立,求最值问题即可求实数m的取值范围． ‎ 试题解析：‎ ‎（1），，∴是上的偶函数 ‎（2）由题意，，即 ‎∵，∴，即对恒成立 令，则对任意恒成立 ‎∵，当且仅当时等号成立 ‎∴‎ ‎21. 如图，一辆汽车从市出发沿海岸一条笔直公路以每小时的速度向东均速行驶，汽车开动时，在市南偏东方向距市且与海岸距离为的海上处有一快艇与汽车同时出发，要把一份稿件交给这汽车的司机.‎ - 14 - / 14‎ ‎（1）快艇至少以多大的速度行驶才能把稿件送到司机手中？‎ ‎（2）在（1）的条件下，求快艇以最小速度行驶时的行驶方向与所成的角.‎ ‎【答案】（1）快艇至少以的速度行驶才能把稿件送到司机手中. （2）快艇应向垂直于的方向向北偏东方向行驶.‎ ‎【解析】试题分析：解决三角函数应用问题，首先要审题读懂题意，设出快艇的速度和需要的时间，根据题意利用余弦定理列出关系式，建立函数模型，利用数学知识解决实际问题，本题采用配方法求最值，求出快艇行驶的最小速度后，利用余弦定理求角，得出快艇行驶的方向，给出行驶的方向角.‎ 试题解析：‎ ‎（1）如图，设快艇以的速度从处出发，沿方向，后与汽车在处相遇，在中，为边上的高，.‎ 设，则.‎ 由余弦定理，得，所以.‎ 整理，得 当，即时，，‎ 即快艇至少以的速度行驶才能把稿件送到司机手中.‎ ‎（2）当时，在中， ，‎ - 14 - / 14‎ 由余弦定理，得，所以，故快艇应向垂直于的方向向北偏东方向行驶.‎ ‎..................‎ ‎22. 在等比数列中，，且的等比中项为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为，是否存在正整数，使得对任意恒成立？若存在，求出正整数的最小值；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在满足条件的正整数，正整数的最小值为.‎ ‎【解析】试题分析：根据等比数列的性质，第1项与第5项的等比中项是第3项，利用公差和第三项的值求出首项，从而写出数列的通项公式；根据题意计算，可知为等差数列，利用等差数列前n项和公式写出前n项和，从而得出，而数列求和可以使用裂项相消法，最后根据不等式恒成立条件得出正整数的最小值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由的等比中项为，可知，又，则，公比且，‎ - 14 - / 14‎ ‎.‎ ‎（2），易知数列是首项为，公差为的等差数列，‎ ‎，‎ ‎， ‎ 则存在满足条件的正整数，且正整数的最小值为.‎ ‎【点睛】根据等比数列的性质，利用已知条件列方程，求出等差数列的公差和首项，从而写出数列的通项公式；根据题意计算，根据通项公式可以判断为等差数列，利用等差数列前n项和公式写出前n项和，从而得出，而数列求和可以使用裂项相消法，最后根据不等式恒成立条件得出正整数的最小值.‎ - 14 - / 14‎