高二数学上学期期中试题理(1) 18页

江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试 高二数学（理科） ‎ ‎（考试用时：120分钟 总分：160分）‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.命题：的否定是________．‎ ‎2.抛物线的准线方程是，则＝________.‎ ‎3.若直线与圆有两个不同交点，则点与圆的位置关系是______．‎ ‎4.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为____．‎ ‎5.已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C的方程是________．‎ ‎6．在平面直角坐标系中，直线与直线互相垂直的充要条件是________.‎ ‎7. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为________．‎ ‎8.若命题有是假命题，则实数的取值范围是________．‎ ‎9.已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，且，则的值为________．‎ ‎10.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________．‎ ‎11.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．‎ ‎12.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若 - 18 -‎ 是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．‎ ‎13.已知椭圆的左、右焦点分别为，离心率为，若椭圆上存在点，使得，则该离心率的取值范围是________．‎ ‎14.在平面直角坐标系中，已知圆，，动点在直线上，过点分别作圆的切线，切点分别为，若满足的点有且只有两个，则实数的取值范围是________．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎15.（本题满分14分）已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．‎ ‎16.（本题满分14分）已知命题：指数函数在上单调递减，命题：关于的方程的两个实根均大于3.若或为真，且为假，求实数的取值范围．‎ - 18 -‎ ‎17.（本题满分15分）设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且F1F2＝2，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为3∶7.‎ ‎(1)求这两曲线方程；‎ ‎(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．‎ ‎18.（本题满分15分）已知圆过两点，，且圆心在直线上.‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)设是直线上的动点，是圆的两条切线，为切点，求四边形面积的最小值．‎ - 18 -‎ ‎19.（本题满分16分）已知椭圆的中心为坐标原点，椭圆短轴长为，动点,在椭圆的准线上．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程．‎ ‎(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；‎ ‎(3)设点是椭圆的右焦点，过点作的垂线，且与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个定值．‎ ‎20.（本题满分16分） 已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ - 18 -‎ ‎(2) 过点的直线交椭圆于两点．求证：以为直径的圆过定点．‎ - 18 -‎ 江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试 ‎ 高二数学（附加题） ‎ ‎（考试用时：30分钟 总分：40分）‎ ‎【必做题】每题10分，共计40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21.过顶点任作互相垂直的两条直线与，设与轴交于点，与轴交于点,求线段的中点的轨迹方程.‎ ‎22.已知，求：‎ （1） 线段的中点坐标和长度；‎ （2） 到两点距离相等的点的坐标满足的条件.‎ ‎23.如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，，是棱上一点，且.‎ ‎(1) 求直线与所成角的余弦值；‎ ‎(2) 求二面角的余弦值．‎ ‎ ‎ ‎24.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，.‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎(3) 线段上是否存在点，使平面若存在，求出；若不存在，说明理由．‎ - 18 -‎ ‎ ‎ - 18 -‎ 江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试 ‎ 高二数学（理科） ‎ ‎（考试用时：120分钟 总分：160分）‎ 一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎1.命题：的否定是________．‎ 解析　全称命题的否定是存在性命题．‎ 答案　∃x∈R，sin x≥2‎ ‎2.抛物线的准线方程是，则＝________.‎ 解析　抛物线的标准方程为x2＝y，由条件得2＝－，a＝－.‎ 答案　－ ‎3.若直线与圆有两个不同交点，则点与圆的位置关系是________．‎ 解析 由题意得圆心(0,0)到直线ax＋by＝1的距离小于1，即d＝＜1，所以有＞1，∴点P在圆外．‎ 答案 在圆外 ‎4.若双曲线的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为________．‎ 解析　焦点(c,0)到渐近线y＝x的距离为＝b，则由题意知b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2，∴离心率e＝＝.‎ 答案　 ‎5.已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆C的方程是________．‎ 解析　若圆C与圆O内切，因为点C在圆O外，所以rC－1＝5，所以rC＝6.‎ 答案　(x－4)2＋(y＋3)2＝36‎ ‎6．在平面直角坐标系中，直线与直线互相垂直的充要条件是________.‎ 解析 x＋(m＋1)y＝2－m与mx＋2y＝－8垂直⇔1·m＋(m＋1)·2＝0⇔m＝－.‎ - 18 -‎ 答案 － ‎7. 已知双曲线的一条渐近线方程是，它的一个焦点与抛物线的焦点相同，则双曲线的方程为________．‎ 解析 由已知得解之得∴双曲线方程为－＝1.‎ 答案 －＝1‎ ‎8.若命题有是假命题，则实数的取值范围是________．‎ 解析 “∃x∈R，有x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R有x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.‎ 答案 －4≤m≤0‎ ‎9.已知为椭圆的两个焦点，点在椭圆上，如果线段的中点在 轴上，且，则的值为________．‎ 解析 设N为PF1的中点，则NO∥PF2，故PF2⊥x轴，‎ 故PF2＝＝，而PF1＋PF2＝2a＝4，‎ ‎∴PF1＝，t＝7.‎ 答案 7‎ ‎10.若直线始终平分圆的周长，则的最小值为________．‎ 解析　由题意，圆(x＋2)2＋(y＋1)2＝4的圆心(－2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，所以－2a－b＋1＝0，即2a＋b－1＝0.因为表示点(a，b)与(2,2)的距离，所以的最小值为＝，即 ‎(a－2)2＋(b－2)2的最小值为5.‎ 答案　5‎ ‎11.设分别是椭圆的左、右焦点，为椭圆上任一点，点的坐标为，则的最大值为________．‎ 解析 PF1＋PF2＝10，PF1＝10－PF2，PM＋PF1＝10＋PM－PF2，易知M点在椭圆外，连结MF2‎ - 18 -‎ 并延长交椭圆于P点，此时PM－PF2取最大值MF2，故PM＋PF1的最大值为10＋MF2＝10＋＝15.‎ 答案 15‎ ‎12.点是椭圆上的点，以为圆心的圆与轴相切于椭圆的焦点，圆与轴相交于，若是钝角三角形，则椭圆离心率的取值范围是________．‎ 解析　由条件MF⊥x轴，其半径大小为椭圆通径的一半，R＝，圆心到y轴距离为c，若∠PMQ为钝角，则其一半应超过，从而<，则2ac0，整理得3b2＋8b－80<0，解得b∈(－，4)．‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎15.已知p：|x－3|≤2，q：(x－m＋1)(x－m－1)≤0，若p是q的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．‎ 解 由题意p：－2≤x－3≤2，∴1≤x≤5.‎ ‎∴p：x<1或x>5.‎ q：m－1≤x≤m＋1，∴q：xm＋1.‎ 又∵p是q的充分而不必要条件，‎ ‎∴∴2≤m≤4.‎ ‎16.已知命题：指数函数在上单调递减，命题：关于的方程的两个实根均大于3.若或为真，且为假，求实数的取值范围．‎ 解：若p真，则f(x)＝(2a－6)x在R上单调递减，∴ 0＜2a－6＜1，∴ 3＜a＜.‎ 若q真，令f(x)＝x2－3ax＋2a2＋1，则应满足 ‎∴ a>.‎ 又由已知“p或q”为真，“p且q”为假，则应有p真q假，或者p假q真．‎ ‎① 若p真q假，则 a无解．‎ - 18 -‎ ‎② 若p假q真，则 ‎∴ 0)，‎ 根据题意得： 解得a＝b＝1，r＝2，‎ 故所求圆M的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.‎ - 18 -‎ ‎(2)由题意知，四边形PAMB的面积为 S＝S△PAM＋S△PBM＝AM·PA＋BM·PB.‎ 又AM＝BM＝2，PA＝PB，所以S＝2PA，‎ 而PA＝＝，‎ 即S＝2.‎ 因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，‎ 即在直线3x＋4y＋8＝0上找一点P，使得PM的值最小，‎ 所以PMmin＝＝3，‎ 所以四边形PAMB面积的最小值为 Smin＝2＝2＝2.‎ ‎19.已知椭圆的中心为坐标原点，椭圆短轴长为，动点,在椭圆的准线上．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程．‎ ‎(2)求以为直径且被直线截得的弦长为的圆的方程；‎ ‎(3)设点是椭圆的右焦点，过点作的垂线，且与以为直径的圆交于点，求证：线段的长为定值，并求出这个定值．‎ 解　(1)由2b＝2，得b＝1.又由点M在准线上，得＝2.‎ 故＝2.所以c＝1.从而a＝.‎ 所以椭圆的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)以OM为直径的圆的方程为x(x－2)＋y(y－t)＝0，‎ 即(x－1)2＋2＝＋1.‎ 其圆心为，半径r＝ .‎ 因为以OM为直径的圆被直线3x－4y－5＝0截得的弦长为2，‎ 所以圆心到直线3x－4y－5＝0的距离d＝＝.‎ 所以＝，解得t＝4.‎ 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y－2)2＝5.‎ - 18 -‎ ‎(3)法一　由平面几何知ON2＝OH·OM.‎ 直线OM：y＝x，直线FN：y＝－(x－1)．‎ 由得xH＝.‎ 所以ON2＝ ·|xH|··|xM|‎ ‎＝··2＝2.‎ 所以线段ON的长为定值.‎ 法二　设N(x0，y0)，则＝(x0－1，y0)，＝(2，t)，‎ ＝(x0－2，y0－t)，＝(x0，y0)．‎ 因为⊥，所以2(x0－1)＋ty0＝0.所以2x0＋ty0＝2.‎ 又⊥，所以x0(x0－2)＋y0(y0－t)＝0.‎ 所以x＋y＝2x0＋ty0＝2.‎ 所以||＝＝为定值.‎ ‎20. 已知椭圆的离心率为，其右焦点到直线的距离为.‎ ‎(1) 求椭圆的方程；‎ ‎(2) 过点的直线交椭圆于两点．求证：以为直径的圆过定点．‎ ‎(1) 解：由题意，e＝＝，e2＝＝，‎ 所以a＝b，c＝b.‎ 又＝，a>b≥1，所以b＝1，a2＝2，‎ 故椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2) 证明：当AB⊥x轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.‎ - 18 -‎ 当AB⊥y轴时，以AB为直径的圆的方程为x2＋(y＋)2＝.‎ 由可得 由此可知，若以AB为直径的圆恒过定点，则该定点必为Q(0，1)．‎ 下证Q(0，1)符合题意．‎ 设直线l的斜率存在，且不为0，则方程为y＝kx－，代入＋y2＝1并整理得(1＋2k2)x2－kx－＝0，‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－，‎ 所以·＝(x1，y1－1)·(x2，y2－1)＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)‎ ‎＝x1x2＋(kx1－)(kx2－)‎ ‎＝(1＋k2)x1x2－k(x1＋x2)＋ ‎＝(1＋k2)－k·＋ ‎＝＝0，‎ 故⊥，即Q(0，1)在以AB为直径的圆上．‎ 综上，以AB为直径的圆恒过定点(0，1)．‎ 江苏省启东中学2018-2019学年度第一学期期中考试 ‎ 高二数学（附加题） ‎ ‎（考试用时：30分钟 总分：40分）‎ ‎【必做题】每题10分，共计40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎21.过顶点任作互相垂直的两条直线与，设与轴交于点，与轴交于点,求线段的中点的轨迹方程.‎ 解：设P(x,y),则M(2x,0),N(0,2y),由2PA=MN,得：x+2y-5=0‎ - 18 -‎ ‎22.已知，求：‎ （1） 线段的中点坐标和长度；‎ （2） 到两点距离相等的点的坐标满足的条件.‎ 解：(1)AB中点坐标（2,3，）.,.‎ (2) 由PA=PB得：4x-8y+6z+7=0‎ ‎23.如图，在四棱锥中，底面为矩形，⊥平面，，是棱上一点，且.‎ ‎(1) 求直线与所成角的余弦值；‎ ‎(2) 求二面角的余弦值． ‎ 解：(1) 如图，分别以AB，AD，AS为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(0，0，0，)，B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，S(0，0，2)．‎ 设P(x0，y0，z0)，由＝，‎ 得(x0，y0，z0－2)＝(0，2，－2)，‎ ‎∴ x0＝0，y0＝，z0＝，点P坐标为.‎ ‎∴ ＝，＝(1，0，0)．‎ 设直线AB与CP所成的角为α，‎ 则cos α＝＝.‎ - 18 -‎ ‎(2) 设平面APC的一个法向量为m＝(x1，y1，z1)，‎ 则 令y1＝－2，则x1＝4，z1＝1，m＝(4，－2，1)．‎ 设平面SCD的一个法向量为n＝(x2，y2，z2)，‎ 因为＝(1，0，0)，＝(0，－2，2)，‎ 所以 令y2＝1，则z2＝1，n＝(0，1，1)．‎ 设二面角APCD的大小为θ，由于cos〈m，n〉＝＝－，‎ 所以由向量m，n的方向，得cos θ＝－cos〈m，n〉＝.‎ ‎24.如图，直角梯形与等腰直角三角形所在的平面互相垂直．，，，.‎ ‎(1) 求证：；‎ ‎(2) 求直线与平面所成角的正弦值；‎ ‎(3) 线段上是否存在点，使平面若存在，求出；若不存在，说明理由．‎ ‎(1) 证明：取AB中点O，连结EO，DO.因为EB＝EA，所以EO⊥AB.‎ 因为四边形ABCD为直角梯形，AB＝2CD＝2BC，AB⊥BC，‎ 所以四边形OBCD为正方形，所以AB⊥OD.‎ 所以AB⊥平面EOD.所以AB⊥ED.‎ ‎(2) 因为平面ABE⊥平面ABCD，且EO⊥AB，‎ 所以EO⊥平面ABCD，所以EO⊥OD.由OB，OD，OE两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为三角形EAB为等腰直角三角形，所以OA＝OB＝OD＝OE，设OB＝1，所以O(0，‎ - 18 -‎ ‎0，0)，A(－1，0，0)，B(1，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，E(0，0，1)．所以＝(1，1，－1)，平面ABE的一个法向量为＝(0，1，0)．设直线EC与平面ABE所成的角为θ，所以sin θ＝|cos〈，〉|＝＝，即直线EC与平面ABE所成角的正弦值为.‎ ‎(3) 存在点F，且＝时，有EC∥平面FBD.证明如下：‎ 由＝＝，F，‎ 所以＝.‎ 设平面FBD的法向量为v＝(a，b，c)，则有 所以取a＝1，得v＝(1，1，2)．‎ 因为·v＝(1，1，－1)·(1，1，2)＝0，且EC平面FBD，所以EC∥平面FBD.即点F满足＝时，有EC∥平面FBD.‎ - 18 -‎