2020高中数学 课时分层作业23 平面向量应用举例 新人教A版必修4 5页

课时分层作业(二十三)　平面向量应用举例 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．当两人提起重量为G的旅行包时，夹角为θ，两人用力大小都为|F|，若|F|＝|G|，则θ的值为(　　)‎ A．30°　　 B．60°‎ C．90° D．120°‎ D　[由题意作出示意图，由|F|＝|G|知△AOC，△BOC都是等边三角形，‎ 所以θ＝120°.]‎ ‎2．共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)作用在物体M上，产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为(　　)‎ A．lg 2 B．lg 5‎ C．1 D．2‎ D　[F1＋F2＝(lg 2，lg 2)＋(lg 5，lg 2)＝(lg 2＋lg 5，lg 2＋lg 2)＝(1,2lg 2)，‎ ‎(F1＋F2)·s＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2(lg 5＋lg 2)＝2.]‎ ‎3．河水的流速为‎5 m/s，一艘小船想沿垂直于河岸方向以‎12 m/s的速度驶向对岸，则小船的静水速度大小为(　　)‎ ‎ 【导学号：84352269】‎ A．‎13 m/s B．‎12 m/s C．‎17 m/s D．‎15 m/s A　[设小船的静水速度为v1，‎ 河水的流速为v2，‎ 静水速度与河水速度的合速度为v，‎ 为了使航向垂直河岸，船头必须斜向上游方向，‎ 即静水速度v1斜向上游方向，河水速度v2平行于河岸，‎ 静水速度与河水速度的合速度v指向对岸，‎ 即静水速度|v1|＝＝＝13(m/s)．]‎ ‎4．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝(　　)‎ A．1　　　　 B．2 ‎ C．3　　　　 D．4‎ A　[建立平面直角坐标系，如图所示．设AD＝t(t＞0)则 5‎ A(0,0)，C(1，t)，B(2,0)，‎ 则＝(1，t)，＝(－1，t)．‎ 由AC⊥BC知·＝－1＋t2＝0，解得t＝1，故AD＝1.]‎ ‎5．△ABC中，若动点D满足－＋2·＝0，则点D的轨迹一定通过△ABC的(　　)‎ A．外心 B．内心 C．垂心 D．重心 A　[取AB的中点E，则－＋2·＝(＋)·(－)＋2·＝2·＋2·＝2·(－)＝2·＝0，‎ ‎∴AB⊥ED，即点D在AB的垂直平分线上，‎ ‎∴点D的轨迹一定通过△ABC的外心．]‎ 二、填空题 ‎6．一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进‎60 m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N，则纤夫对船所做的功为________J.‎ ‎1 500　[所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 500(J)．]‎ ‎7．在平面直角坐标系xOy中，若定点A(1,2)与动点P(x，y)满足·＝4.则点P的轨迹方程是________．‎ x＋2y－4＝0　[·＝(x，y)·(1,2)＝x＋2y＝4，‎ ‎∴x＋2y－4＝0，故填x＋2y－4＝0.]‎ ‎8．在四边形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，则四边形ABCD的面积是________. ‎ ‎【导学号：84352270】‎ ‎30　[＝－＝(3,6)＝.‎ 又因为·＝(4，－2)·(3,6)＝0，‎ 所以四边形ABCD为矩形，‎ 所以||＝＝2，‎ ‎||＝＝3，‎ 5‎ 所以S＝||||＝2×3＝30.]‎ 三、解答题 ‎9．求等腰直角三角形中两直角边上的中线所成的钝角的余弦值. ‎ ‎【导学号：84352271】‎ ‎[解]　如图，分别以等腰直角三角形的两直角边为x轴、y轴建立直角坐标系，‎ 设A(‎2a,0)，B(0,‎2a)，则D(a,0)，C(0，a)，‎ 从而可求＝(－‎2a，a)，＝(a，－‎2a)，不妨设，的夹角为θ，‎ 则cos θ＝ ‎＝＝＝－，‎ 故所求钝角的余弦值为－.‎ ‎10．质量m＝‎2.0 kg的木块，在平行于斜面向上的拉力F＝10 N的作用下，沿倾斜角θ＝30°的光滑斜面向上滑行|s|＝‎2.0 m的距离(g取9.8 N/kg)．‎ ‎(1)分别求物体所受各力对物体所做的功；‎ ‎(2)在这个过程中，物体所受各力对物体做功的代数和是多少？‎ ‎[解]　(1)木块受三个力的作用，重力G，拉力F和支持力FN，如图所示．拉力F与位移s方向相同，所以拉力对木块所做的功为WF＝F·s＝|F||s|cos 0°＝20(J)．‎ 支持力FN与位移方向垂直，不做功，‎ 所以WN＝FN·s＝0.‎ 重力G对物体所做的功为 WG＝G·s＝|G||s|cos(90°＋θ)＝－19.6(J)．‎ ‎(2)物体所受各力对物体做功的代数和为W＝WF＋WN＋WG＝0.4(J)．‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．O是平面ABC内的一定点，P是平面ABC内的一动点，若(－)·(＋)＝(－)·(＋)＝0，则O为△ABC的(　　) 【导学号：84352272】‎ A．内心　　 B．外心 5‎ C．重心 D．垂心 B　[因为(－)·(＋)＝0，‎ 则(－)·(＋)＝0，‎ 所以2－2＝0，‎ 所以||＝||.‎ 同理可得||＝||，‎ 即||＝||＝||，‎ 所以O为△ABC的外心．]‎ ‎2．在△ABC中，D为三角形所在平面内一点，且＝＋，则＝(　　)‎ A.　　　　B. C.　　　　D. D　[如图所示，由＝＋得点D在AB边的中位线上，‎ 所以＝.]‎ ‎3．已知A(1,2)，B(－2,1)，以AB为直径的圆的方程是________. ‎ ‎【导学号：84352273】‎ x2＋y2＋x－3y＝0　[设P(x，y)为圆上任意一点，则 ＝(x－1，y－2)，＝(x＋2，y－1)．‎ 由·＝(x－1)(x＋2)＋(y－2)(y－1)＝0，‎ 化简得x2＋y2＋x－3y＝0.]‎ ‎4．如图252所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列说法中正确的是________．(写出正确的所有序号)‎ 图252‎ ‎①绳子的拉力不断增大；②绳子的拉力不断变小；③船的浮力不断变小；④船的浮力保持不变．‎ ‎①③　[设水的阻力为f，绳的拉力为F，F与水平方向夹角为θ(0＜θ＜)，‎ 5‎ 则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝.‎ ‎∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．‎ ‎∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．]‎ ‎5．已知e1＝(1,0)，e2＝(0,1)，今有动点P从P0(－1,2)开始，沿着与向量e1＋e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|e1＋e2|；另一动点Q从Q0(－2，－1)开始，沿着与向量3e1＋2e2相同的方向做匀速直线运动，速度大小为|3e1＋2e2|，设P，Q在t＝0 s时分别在P0，Q0处，问当⊥时所需的时间t为多少？ ‎ ‎【导学号：84352274】‎ ‎[解]　e1＋e2＝(1,1)，|e1＋e2|＝，其单位向量为.3e1＋2e2＝(3,2)，|3e1＋2e2|＝，其单位向量为，如图．‎ 依题意，||＝t，||＝t，‎ ‎∴＝||＝(t，t)，‎ ＝||＝(3t,2t)，‎ 由P0(－1,2)，Q0(－2，－1)，‎ 得P(t－1，t＋2)，Q(3t－2,2t－1)，‎ ‎∴＝(－1，－3)，＝(2t－1，t－3)．‎ ‎∵⊥，∴·＝0，‎ 即2t－1＋3t－9＝0，解得t＝2，‎ 即⊥时所需的时间为2 s. ‎ 5‎