第13章 参数方程与极坐标 检测A卷-2020年领军高考数学一轮复习（文理通用） Word版含解析 17页

2020 年领军高考数学一轮复习(文理通用) 选修系列—坐标系与参数方程 章节验收测试卷 A 卷 姓名 班级 准考证号 1．在平面直角坐标系 中 设倾斜角为 的直线 的参数方程为 为参 数）．在以坐标原点 为极点，以 轴正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线 的极坐标方程 为 ，直线 与曲线 相交于不同的两点 ． （1）若 ，求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若 为 与 的等比中项，其中 ，求直线 的斜率． 【答案】（1） , ；（2） . 【解析】 （1）因为 ，所以直线 的参数方程为 （ 为参数）. 消 可得直线 的普通方程为 . 因为曲线 的极坐标方程 可化为 ， 所以曲线 的直角坐标方程为 . （2）设直线 上两点 对应的参数分别为 ， ， 将 代入曲线 的直角坐标方程 可得 ， 化简得 ， xOy , α l 3 cos ( 2 sin x t y t α α α  = + = + O x C 2 2 1 3cos ρ θ = + l C ,A B 6 πα = l C OP PA PB ( )3,2P l 3 3 0x y− + = 2 24 4x y+ = 4 5 5 6 πα = l 33 2 12 2 x t y t  = +  = + t t l 3 3 0x y− + = C 2 2 1 3cos ρ θ = + ( )2 21 3cos 4ρ θ+ = C 2 24 4x y+ = l ,A B 1t 2t 3 cos 2 sin x t y t α α  = + = + C 2 24 4x y+ = 2 24( 3 cos ) (2 sin ) 4t tα α+ + + = ( )2 2 24cos sin (8 3 cos 4sin ) 12 0t tα α α α+ + + + = 因为 ， ， 所以 ，解得 . 因为 即 ，可知 ，解得 ， 所以直线 的斜率为 . 2．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程 为 . （Ⅰ）写出当 时直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知点 ，直线 与曲线 相交于不同的两点 ， ，求 的最大值. 【答案】（Ⅰ）直线 的普通方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 （Ⅱ） 【解析】 （Ⅰ）当 时，由 ，消去参数 可得： ， 即直线 的普通方程为 ， 由 得 ，得 ， ∴曲线 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）显然，点 在直线 上， 1 2 2 2 12| | | | 4cos sinPA PB t t α α⋅ = = + 2| | 7OP = 2 2 12 74cos sinα α =+ 2 16tan 5 α = ( )2 2 2(8 3 cos 4sin ) 48 4cos sin 0α α α α∆ = + − + > 2sin (2 3 cos sin ) 0α α α− > tan 0α > 4 5tan 5 α = l 4 5 5 xOy l 1 cos 1 sin x t y t α α = − +  = + t [ ]0,α π∈ x C 4cosρ θ= − 3 4 πα = l C ( )1,1P − l C A B 1 1 PA PB + l 0x y+ = C 2 2 4 0x y x+ + = 2 3 4 πα = 21 2 21 2 x t y t  = − −  = + t 0x y+ = l 0x y+ = 4cosρ θ= − 2 4 cosρ ρ θ= − 2 2 4x y x+ = − C 2 2 4 0x y x+ + = ( )1,1P − l 联立 得： ， 设 ， 对应的参数为 ， ， 则 ， ， ∴ ， ∴当 时， 取得最大值 2. 3．在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数）.以原点 为极点， 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 ： . （1）求 的普通方程和 的直角坐标方程； （2）若曲线 与 交于 ， 两点， ， 的中点为 ，点 ，求 的 值. 【答案】（1） 的普通方程为 ， 的直角坐标方程为 ； （2）3. 【解析】 （1）曲线 的普通方程为 . 由 ， ，得曲线 的直角坐标方程为 . （2）将两圆的方程 与 作差得直线 的方程为 . 2 2 1 cos 1 sin 4 0 x t y t x y x α α = − +  = +  + + = ( )2 2 cos sin 2 0t tα α+ + − = A B 1t 2t ( )1 2 2 cos sint t α α+ = − + 1 2 2t t = − ( )2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 41 1 1 1 t t t tt t PA PB t t t t t t + −−+ = + = = ( )24 cos sin 8 4sin 2 12 2 2 α α α+ + += = sin2 1α = 1 1 PA PB + xOy 1C 5 cos 2 5 sin x y α α  = = + α O x 2C 2 4 cos 3ρ ρ θ= − 1C 2C 1C 2C A B A B M ( )0, 1P − PM AB⋅ 1C ( )22 2 5x y+ − = 2C 2 2 4 3 0x y x+ − + = 1C ( )22 2 5x y+ − = 2 2 2x yρ = + cos xρ θ = 2C 2 2 4 3 0x y x+ − + = ( )22 2 5x y+ − = 2 2 4 3 0x y x+ − + = AB 1 0x y− − = 点 在直线 上，设直线 的参数方程为 （ 为参数）， 代入 化简得 ，所以 ， . 因为点 对应的参数为 ， 所以 . 4．已知平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标 原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线 的极坐标方程； （Ⅱ）过点 的直线 与曲线 交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 或 . 【解析】 （Ⅰ）消去参数 ，可得曲线 的普通方程为 ， .由 所以曲线 的极坐标方程为 . （Ⅱ）显然直线 的斜率存在，否则无交点. 设直线 的方程为 ，即 . 而 ，则圆心到直线 的距离 . 又 ，所以 ，解得 . ( )0, 1P − AB AB 2 2 21 2 x t y t  =  = − + t 2 2 4 3 0x y x+ − + = 2 3 2 4 0t t− + = 1 2 3 2t t+ = 1 2 4t t = M 1 2 3 2 2 2 t t+ = ( )21 2 1 2 1 2 1 2 3 2 42 2 t tPM AB t t t t t t +⋅ = ⋅ − = × + − 3 2 18 4 4 32 = × − × = xOy C 2 3cos 1 3sin x y α α = +  = + α O x C ( 2,1)− l C A B 2AB = l 2 4 cos 2 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − − = 1 0x y+ + = 3 0x y− + = α C 2 2( 2) ( 1) 9x y− + − = 2 2 4 2 4 0x y x y+ − − − = cos sin x y r q r q ì =ïí =ïî C 2 4 cos 2 sin 4 0ρ ρ θ ρ θ− − − = l l 1 ( 2)y k x− = + 2 1 0kx y k− + + = 2AB = l 2 2 9 1 2 22 ABd r  = − = − =   2 | 4 | 1 kd k = + 2 | 4 | 2 2 1 k k = + 1k = ± 所以直线 的方程为 或 . 5．在直角坐标系 中， ， ，以 O 为极点，x 轴的正半轴建立极坐标系，曲 线 C 的极坐标方程为： . (1)求曲线 C 的直角坐标方程； (2)动点 P 是曲线 C 在第一象限的点，当四边形 的面积最大时，求点 P 的直角坐标. 【答案】（1） （2）四边形 的面积时，P 点为 . 【解析】 (1) ,整理得 (2)由动点 P 是曲线 C 在第一象限的点，设点 设四边形 的面积为 S， 则 所以当 时，S 最大，此时 P 点 6．在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），以坐标原点 为极点，以 轴 的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的极坐标方程； （2）已知点 ，直线 的极坐标方程为 ，它与曲线 的交点为 ， ，与曲线 的交点为 ，求 的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 （1） ， l 1 0x y+ + = 3 0x y− + = xOy (2,0)A (0,1)B 2 2 24 12 cosp ρ θ− = OAPB 2 2 14 3 x y+ = APBO 31, 2      2 2 24 4 12x y x+ − = 2 2 14 3 x y+ = (2cos , 3sin ) 0 2P πθ θ θ < <   APBO 1 1 π2 3sin 1 2cos 2sin2 2 6OAP OBPS S S θ θ θ∆ ∆  = + × × + × × = + =  3 πθ = 31, 2      xOy 1 cos: 1 sin x tC y t =  = + t O x 2C 2 cos 3 33 πρ θ − =   1C ( )2,0M l 6 πθ = 1C O P 2C Q MPQ∆ 1 : 2sinC ρ θ= 1 1 cos: 1 sin x tC y t =  = + 其普通方程为 ，化为极坐标方程为 （2）联立 与 的极坐标方程： ，解得 点极坐标为 联立 与 的极坐标方程： ，解得 点极坐标为 ，所以 ，又点 到直线 的距离 ， 故 的面积 . 7．在直角坐标系中，圆 的参数方程为： （ 为参数），以坐标原点为极 点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，且长度单位相同. （1）求圆 的极坐标方程； （2）若直线 ： （ 为参数）被圆 截得的弦长为 ，求直线 的倾斜角. 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 （1）圆 ： ，消去参数 得： ， 即： ，∵ ， ， . ∴ ， . （2）∵直线 ： 的极坐标方程为 ， 当 时 . ( )22 1 1x y+ − = 1 : 2sinC ρ θ= 1C l 2sin 6 ρ θ πθ = = P 1, 6 π     2C l 2 cos 3 33 6 πρ θ πθ   − =     = Q 3, 6 π     2PQ = M l 2sin 16d π= = MPQ∆ 1 12S PQ d= ⋅ = C 1 2cos 3 2sin x y α α = + = + α x C l cos tsin x t y ϕ ϕ =  = t C 2 3 l 4cos 3 πρ θ = −   6 π 2 π C 1 2cos 3 2sin x y α α = + = + α ( ) ( )221 3 4x y− + − = 2 2 2 2 3 0x y x y+ − − = 2 2 2x yρ = + cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 cos 2 3 sin 0ρ ρ θ ρ θ− − = 4cos 3 πρ θ = −   l cos sin x t y t ϕ ϕ =  = θ ϕ= θ ϕ= 4cos 2 33 πρ ϕ = − =   即： ，∴ 或 . ∴ 或 ， ∴直线 的倾斜角为 或 . 8．在直角坐标系 中，直线 的方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （1）求直线 和曲线 的极坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于 ， 两点，且直线 与 的斜率之积为 ，求 . 【答案】（1） : ， ： ；（2） . 【解析】 （1）将 ， 代入 的方程中，所以直线 的极坐标方程为 . 在曲线 的参数方程中，消去 ，可得 ，将 ， 代入 的方程中， 所以曲线 的极坐标方程为 . （2）直线 与曲线 的公共点的极坐标满足方程组 ，由方程组得 ， ，两边同除 ， 可化为 ，即 ， 设 ，则 ， 解得 . 3cos 3 2 πϕ − =   3 6 π πϕ − = 3 6 π πϕ − = − 2 ϕ π= 6 π=ϕ l 6 π 2 π xOy l 0x y a+ − = C 2cos , sin x y α α =  = α x l C l C A B OA OB 5 4 a l cos sin 0ar q r q+ - = C ( )2 2 24sin cos 4ρ θ θ+ = 1 2a = ± cosx ρ θ= siny ρ θ= 0x y a+ − = l cos sin 0ar q r q+ - = C α 2 2 14 x y+ = cosx ρ θ= siny ρ θ= 2 2 14 x y+ = C ( )2 2 24sin cos 4ρ θ θ+ = l C ( )2 2 2 cos sin 0 4sin cos 4 aρ θ ρ θ ρ θ θ + − = + = ( ) ( )2 2 224sin cos 4 cos sina θ θ θ θ++ = ( )2 2 2 2 2 24 sin cos 4 si 2cosn sincosa aθ θθ θ θ θ+ = + + 2cos θ 2 2 2 24 tan 4 8tan 4tana aθ θ θ+ = + + ( )2 2 24 4 tan 8tan 4 0a aθ θ− − + − = ( ) ( )1 1 2 2, , ,A Bρ θ ρ θ 2 1 2 2 4 5tan tan 4 4 4O OBA ak k a θ θ −= = =− 1 2a = ± 9．在直角坐标系 中，直线 ，曲线 （ 为参数）.以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点 的极坐标为 . （1）求直线 和曲线 的极坐标方程； （2）在极坐标系中，已知射线 与 , 的公共点分别为 , ，且 ，求 的面积． 【答案】（1）直线 ： ；曲线 的极坐标方程为 ；（2） . 【解析】 （1）∵ ，∴直线 的极坐标方程是 ， 曲线 的普通方程为 ，即 . 所以曲线 的极坐标方程为 . （2）将 分别代入 ， 得： ， . ∴ ，∴ . ∵ ，∴ . ∴ ， ， . 所以 . 即 的面积为 ． 10．直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 xOy 1 : 2l x = 2cos: 2 2sin xC y ϕ ϕ =  = + ϕ O x M (3, )6 π 1l C 2 : (0 )2l πθ α α= < < 1l C A B 8 3OA OB⋅ = MOB∆ 1l cos 2ρ θ = C 4sinρ θ= 3 3 2 cos{ sin x y ρ θ ρ θ = = 2x = cos 2ρ θ = C 2 2( 2) 4x y+ − = 2 2 4 0x y y+ − = C 4sinρ θ= θ α= cos 2ρ θ = 4sinρ θ= 2 cosAOA ρ α= = 4sinBOB ρ α= = 8tan 8 3OA OB α⋅ = = tan 3α = 0 2 πα< < 3 πα = 2 3OB = 3OM = 6MOB π∠ = 1 sin2MOBS OM OB MOB∆ = ∠ 1 1 3 33 2 32 2 2 = × × × = AOB∆ 3 3 2 xOy 1C 1 cos sin x y α α = +  = α ． （1）在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，求 、 的极坐标方程； （2）射线 ： 与 异于极点的交点为 ，与 的交点为 ，求 的大 小． 【答案】(1) 的极坐标方程为 , 的极坐标方程为 ;(2) . 【解析】 （1）由 得 ，即 ， 所以 的极坐标方程为 ，即 ； 由 得 的极坐标方程为： （2）联立 得 ， 联立 得 ， 所以 . 11．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 （ 是参数）.以原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的极坐标方程是 . （Ⅰ）写出圆 的直角坐标方程； 2 2 2 : 13 xC y+ = O x 1C 2C OT ( 0)6 πθ ρ= ≥ 1C A 2C B AB 1C 2cosρ θ= 2C 2 2 2 2cos sin 13 ρ θ ρ θ+ = 3 2− 1 cos sin x y α α = +  = ( )2 21 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − = 1C 2 2 0cosρ ρ θ− = 2cosρ θ= 2 2 13 x y+ = 2C 2 2 2 2cos sin 13 ρ θ ρ θ+ = 2cos 6 ρ θ πθ = = 1| | 2cos 36OA πρ= = = 2 2 2 2cos sin 13 6 ρ θ ρ θ πθ  + =  = 2| | 2OB ρ= = 3 2AB = − xOy 1C cos 5 sin x t y t α α  =  = + t O x 2C 4 2 sin 2cos4 πρ θ θ = + −   2C （Ⅱ）若曲线 与 有且仅有三个公共点，求 的值. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）3. 【解析】 （Ⅰ） ， ， ∴ ， ∴圆 的直角坐标方程是 . （Ⅱ）因为曲线 与 有且仅有三个公共点，说明直线 与圆 相切， 圆心为（1，2），半径为 ， 则 ， 解得 ， 所以 . 12．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 ( 为参数)。在极坐标系 (与直角坐标系 取相同的长度单位，且以原点 为极点，以 轴正半轴为极轴)中，圆 的极坐标方程为 。 （1）求直线 的普通方程和圆 的直角坐标方程； （2）设圆 与直线 交于 ， 两点，若点 的坐标为 ，求 。 【答案】（1）直线 l 的普通方程为 ；圆 C 的直角坐标方程为 ；（2） . 【解析】 1C 2C sin cos sin cos α α α α − + 2 2 2 4 0x y x y+ − − = 2 24 2 sin cos 2cos 4sin 2cos2 2 ρ θ θ θ θ θ = ⋅ + ⋅ − = +    2 4 sin 2 cosρ ρ θ ρ θ= + 2 2 4 2x y y x+ = + 2C 2 2 2 4 0x y x y+ − − = 1C 2C ( )tan 5 tan 0y xα α= − ⋅ + < 2C 2C 5 2 | tan 3| 5 1 tan α α − = + tan 2α =- sin cos tan 1 3sin cos tan 1 α α α α α α − −= =+ + xOy l 23 2 25 2 x t y t  = −  = + t xOy O x C 2 5 sinρ θ= l C C l A B P (3, 5) PA PB+ 3 5y x= − + + 2 2( 5) 5x y+ − = 3 2 (1)由直线 的参数方程 ( 为参数)得直线 的普通方程为 由 ,得 ,即圆 的直角坐标方程为 。 (2)将直线 的参数方程代入圆 的直角坐标方程，得 ， 即 ， 由于 >0, 故可设 ， 是上述方程的两个实根， 所以 又直线 过点 P(3, )， 故 。 13．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原 点为极点，以 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程； （2）设点 ，直线 与曲线 相交于两点 、 ，求 的值. 【答案】(1) 直线 的普通方程为 ；曲线 的直角坐标方程是 . (2) 【解析】 （1）消去参数 t 得直线 的普通方程为 ； 因为 ，所以 ，由 l 23 2 25 2 x t y t  = −  = + t l 3 5y x= − + + 2 5 sinρ θ= 2 2 2 5 0x y y+ − = C 2 2( 5) 5x y+ − = l C 2 22 2(3 ) ( ) 52 2t t− + = 2 3 2 4 0t t− + = 2(3 2) 4 4 0∆ = − × ＞ 1t 2t 1 2 1 2 3 2 4 t t t t  + = = l 5 1 2 1 2 3 2PA PB t t t t+ = + = + = xOy l 31 2 13 2 x t y t  = −  = − + t x C 2 3sinρ θ= − l C ( )1, 3P − l C A B 1 1 PA PB + l 3 2 0x y+ + = C 2 2 2 3 0x y y+ + = 11 2 l 3 2 0x y+ + = 2 3sinρ θ= − 2 2 3 sinρ ρ θ= − ,x cos y sinρ θ ρ θ= = 所以曲线 的直角坐标方程是 . （2）点 是直线 上的点，设 ， 两点所对应的参数分别为 ， 将直线 的参数方程代入曲线 的直角坐标方程，得 . 方程判别式 ，可得 ， . 于是 . 14．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的极 坐标方程为 ． （Ⅰ）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设点 ，直线 与曲线 相交于 ， ，求 的值． 【答案】（Ⅰ） ， ；（Ⅱ） . 【解析】 （Ⅰ ）由 （ 为参数），消去参数 ，可得 ． ∵ ，∴ ，即 ． ∴曲线的直角坐标方程为 ； （Ⅱ ）把 代入 ，得 ． 设 ， 两点对应的参数分别为 ， 则 ， ． C 2 2 2 3 0x y y+ + = ( )1, 3P − l A B 1 2,t t l C 2 3 2 0t t− − = > 0∆ 1 2 3t t+ = 1 2 2t t• = − ( )2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 41 1 | | | | 11 | | | | | | | | 2 t t t tt tPA PB PA PB PA PB t t t t + −−++ = = = =• xOy l 31 2 1 2 x t y t  = −  = t C 4cosρ θ= l C ( )1,0P l C A B 1 1 PA PB + : 3 1 0l x y+ − = ( )2 2: 2 4C x y− + = 15 3 31 2 1 2 x t y t  = −  = t t 3 1 0x y+ − = cosρ θ= 4 2 4 cosρ ρ θ= 2 2 4 0x y x+ − = ( )2 22 4x y− + = 31 2 1 2 x t y t  = −  = 31 2 1 2 x t y t  = −  = 2 2 4 0x y x+ − = 2 3 3 0t t+ − = A B 1t 2t 1 2 3t t+ = − 1 2 3t t = − 不妨设 ， ， ∴ ． 15．已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的极坐标方程为 ，直线 与曲线 相交于 ， 两点，以极点 为原点，极轴为 轴的非负 半轴建立平面直角坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）记线段 的中点为 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 （1）∵曲线 的参数方程为 （ 为参数）， ∴所求方程为 ， ∵ ，∴ ， ∴曲线 的极坐标方程为 . （2）联立 和 ，得 ， 设 ， ，则 ，由 ，得 . 16．在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . 1 0t < 2 0t > ( )2 1 2 1 21 2 1 2 1 2 1 2 41 1 1 1 15 3 t t t tt t PA PB t t t t t t + −++ = + = = = C 1 2cos 1 2sin x y θ θ = − +  = + θ l 3 ( )4 Rpq r= Î l C M N O x C MN P OP 2 2 2 cos 24 ρ ρ θ π + + =   2OP = C 1 2cos 1 2sin x y θ θ = − +  = + θ 2 2 2( 1) ( 1) 2x y+ + − = cos sin x y ρ θ ρ θ =  = 2 2 cos 2 sin 2ρ ρ θ ρ θ+ − = C 2 2 2 cos 24 ρ ρ θ π + + =   3 4 πθ = 2 2 cos 2 sin 2 0ρ ρ θ ρ θ+ − − = 2 2 2 2 0ρ ρ− − = ( )1,M ρ α ( )2 ,N ρ α 1 2 2 2ρ ρ+ = 1 2| | 2OP ρ ρ+= 2OP = xoy l 2 , 1 x t y t = − −  = + t 2 1 : 1C y x= − x 2C 4 2 sin 4 πρ α = −   （Ⅰ）若直线 与 ， 轴的交点分别为 ， ，点 在 上，求 的取值范围； （Ⅱ）若直线 与 交于 ， 两点，点 的直角坐标为 ，求 的值. 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ） . 【解析】 （Ⅰ）由题意可知：直线 的普通方程为 . 的方程可化为 ，设点 的坐标为 ， . （Ⅱ）曲线 的直角坐标方程为： . 直线 的标准参数方程为 （ 为参数），代入 得： 设 两点对应的参数分别为 ,故 异号 . 17．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 为 极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程； （2）已知 是曲线 上任意两点，且 ，求 面积的最大值. 【答案】(1) ；(2) . 【解析】 （1）消去参数 ，得到曲线 的普通方程为： 故曲线 的极坐标方程为： l x y A B P 1C BA BP⋅  l 2C M N Q ( )2,1− QM QN− [0, 2 1]+ 2 l 1 0, ( 1,0), (0, 1)x y A B+ + = ∴ − − 1C 2 2 1( 0)x y y+ = ≥ P (cos ,sin ),0θ θ θ π≤ ≤ cos sin 1 2 sin 1 [0, 2 1]4BA BP πθ θ θ ∴ ⋅ = − + + = − + ∈ +     2C 2 2( 2) ( 2) 8x y+ + − = l 22 2 21 2 x m y m  = − −  = + m 2C 2 2 7 0m m− − = ,M N 1 2,m m 1 2 1 22, 7 0m m m m+ = = − < 1 2,m m 1 2 2QM QN m m∴ − = + =‖ ‖ xOy C 2 2cos 2sin x y α α = +  = α O x C ,A B C 3AOB π∠ = OAB∆ =4cosρ θ 3 3 α C ( )2 22 4x y− + = C =4cosρ θ （2）在极坐标系中，不妨设 ， ，其中 ， 由（1）知： ， . 面积 当 时，即 ， 有最大值 .此时 故 面积的最大值为 18．在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以 为 极点 ，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系 . （1）求曲线 的极坐标方程； （2）已知 是曲线 上任意两点，且 ，求 面积的最大值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 （1）消去参数 ，得到曲线 的标准方程为： ， 故曲线的极坐标方程为 。 （2）极坐标系 中，不妨设 ，其中 . 由（1）知： ( )1 0A ρ θ， 2 0 3+B πρ θ    ， 1 2 00, 0 2 2 π πρ ρ θ> > − < <， 1 04cosρ θ= 2 04cos 3+ πρ θ =    OAB∆ 1 2 0 0 1 sin 4 3 cos cos2 3 3S π πρ ρ θ θ = = +   ( )2 0 0 0 0 0 02 3 cos 6sin cos 3 1 cos2 3sin 2 2 3 cos 2 33+ =S πθ θ θ θ θ θ = − = − + +   02 03 πθ + = 0 6 πθ = − 0cos 2 3 πθ +   1 max 3 3S = OAB∆ 3 3 xOy C 2 2cos , 2sin , x y α α = +  = α O x Ox C ,A B C 4AOB π∠ = OAB∆ 4cosρ θ= 2 2 2+ α C ( )2 22 4x y− + = ( ) ( )2 2cos 2 sin 4ρ θ ρ θ∴ − + = ∴ ( )2 2 2sin cos 4 cos 4 4ρ θ θ ρ θ+ − + = ∴ 2 4 cos 0ρ ρ θ− = 4cosρ θ= Ox ( )1 0 2 0, , , 4A B πρ θ ρ θ +   1 2 00, 0, 2 2 π πρ ρ θ> > − < < 1 0 2 04cos , 4cos 4 πρ θ ρ θ = = +   面积， 当 时，即 有最大值 ，此时 . 故 面积的最大值为 . 19．在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极 点，以 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）求曲线 上的动点 到曲线 的最短距离． 【答案】(1) 曲线 : ，曲线 ： ．(2)见解析 【解析】 （1） 曲线 为 即 ， 由 得曲线 为 ． （2）设曲线 上动点 ， 则动点 到曲线 的距离为 ． ∴动点 到曲线 的最短距离为 20．在平面直角坐标系 中，直线 的普通方程是 ，曲线 的参 OAB∆ 1 2 0 0 1 sin 4 2 cos cos2 4 4S π πρ ρ θ θ = = +   2 0 0 04cos 4sin cosS θ θ θ= − 0 02cos2 2sin 2 2θ θ= − + 02 2 cos 2 24 πθ = + +   02 4 πθ = − 0 0,cos 28 4 π πθ θ = − +   1 min 2 2 2S = + OAB∆ 2 2 2+ xOy 1C 2 2 25 2 x t y t  = − − = + t O x 2C 2 2 2 sin ρ θ = − 1C 2C 2C M 1C 1C 2 8x y+ = 2C 2 2 12 yx + = 1C ( )1y 5 x 22 − = − + +2 =8x y x cos y sin ρ θ ρ θ =  = 2C 2 2 12 yx + = 2C ( )cos , 2 sinM θ θ M 1 : 2 8C x y+ = ( )cos 2 2 sin 8 3sin 8 5 5 5 d θ θ θ ϕ+ − + −= = ≥ M 1 : 2 8C x y+ = 5 xOy l tan 2y x πα α π = < <   1C 数方程是 （ 为参数）。在以 为极点， 轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中， 曲线 的极坐标方程是 。 （1）求直线 及曲线 的极坐标方程； （2）已知直线 与曲线 交于 两点，直线 与曲线 交于 两点，求 的最大值。 【答案】(1) ; .(2) . 【解析】 （1）将 代入 得 ， ∴直线 的极坐标方程是 ， ∵曲线 的参数方程是 （ 为参数）， ∴曲线 的普通方程是 ，即 ， ∴曲线 的极坐标方程是 ； （2）将 分别代入曲线 和 的极坐标方程， 则 ， ∴ ， ∵ ，∴当 ， 取最大值 1， ∴ 的最大值为 . 1 cos sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ O x 2C 2sinρ θ= l 1C l 1C ,O M l 2C ,O N MN , 2R πθ α ρ α π = ∈ < <   2cosρ θ= 1 2 x x cos , sinx yρ θ ρ θ= = tan 2y x πα α π = < <   tan tanθ α= l , 2R πθ α ρ α π = ∈ < <   1C 1 cos sin x y ϕ ϕ = +  = ϕ 1C ( )2 21 1x y− + = 2 2 2 0x y x+ − = 1C 2cosρ θ= , 2R πθ α ρ α π = ∈ < <   1C 2C 2cos , 2sinOM ONα α= − = 2sin 2cos 2 2 sin 4MN πα α α = − = −   2 π α π< < 3 4 πα = si n 4 πα −   MN 1 2 x x