黑龙江省大庆实验中学2020届高三5月第一次模拟 数学（理）（PDF版） 12页

大庆实验中学 2020 届高三五月第一次模拟考试 理科数学试卷 一、单选题（本题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分） 1．已知集合  20 log 16A x N x    ，集合  2 2 0xB x   ，则集合 A B 真子集个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．8 2．i 为虚数单位,则 32i 1 i 的虚部为（ ） A． i B．i C． 1 D．1 3. 在 6 3 2 1x x     的展开式中，最中间一项的二项式系数为（ ） A．20 B． 20 C．15 D． 15 4. 已 知 对 称 轴 为 坐 标 轴 的 双 曲 线 有 一 条 渐 近 线 平 行 于 直 线 x ＋ 2y － 3 ＝ 0 ， 则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为 （ ） A．5 或 5 4 B． 5 或 5 2 C． 3 或 3 2 D．5 或 5 3 5．17 世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分 割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄 金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为 36 的等腰三角形（另一 种是顶角为108 的等腰三角形）.例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成， 如图所示，在其中一个黄金 ABC 中， 5 1 2 BC AC  .根据这些信息，可得sin234（ ） A． 1 2 5 4  B． 3 5 8  C． 5 1 4  D． 4 5 8  6. 已知 ,m n 是两条不同的直线， ,  是两个不同的平面,则 //m n 的充分条件是（ ） A． ,m n 与平面 所成角相等 B． / / , / /m n  C． / / , ,m m n      D． // ,m n    7. 已知点 3,1 和 4,6 在直线3 2 0x y a   的两侧，则实数 a 的取值范围是（ ） A． | 7 24a a   B． 7, 24 C． | 7 24a a a  或 D． | 24 7a a   8. 采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查，为此将他们随机编号为1，2 ，...，960，分组后某组抽 到的号码为 41．抽到的 32 人中，编号落入区间 401,731 的人数为（ ） A．10 B．11 C．12 D．13 9．甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军，若比赛为“三局两胜”制，甲在每局比赛中获胜的概率均为 3 4 ，且各局 比赛结果相互独立.则在甲获得冠军的情况下，比赛进行了三局的概率为（ ） A． 1 3 B． 2 5 C． 2 3 D． 4 5 10．已知 45ln 4 , 4ln5 , 5lna b c     ，则 , ,a b c 的大小关系是（ ） A. c b a  B. c a b  C. b a c  D. a b c  11. 已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     ，过原点的直线交椭圆于 ,A B 两点，以 AB 为直径的圆过右焦点 F ，若 ,12 3FAB         ，则此椭圆离心率的取值范围是（ ） A． 2 , 3 12      B． 2 6,2 3       C． 20, 2       D． 6 ,13      12．已知函数   2 xef x x  （其中无理数 2.718e   ），关于 x 的方程     1f x f x   有四个不等的实根，则 实数  的取值范围是（ ） A． 0, 2 e     B． 2,  C． 2 2 4 ,4 e e      D． 2 ,2 e e      二．填空题（本题共 4 道小题，每题 5 分，共 20 分） 13．曲线 1 1( 0xy a a   且 1a  ）恒过定点 P，则 P 点坐标为_________. 14．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与 圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在表达式 11 11 1     中“…”既代表无限次重 复，但原式却是个定值，它可以通过方程 11 xx   求得 1 5 2x  ，类似上述过程， 3 3   __________． 15．在四面体 S ABC 中， 2SA SB  ，且 SA SB ， 5BC  ， 3AC  ，则该四面体体积的最大值为________， 该四面体外接球的表面积为________. 16．在 ABC 中， , : 2:33A AC BC  ，点 D 为线段 AB 上一动点，若 DA DC  最小值为 3 4  ，则 ABC 的 面积为_______________. 三．解答题（本题共 5 道小题，每题 12 分，共 60 分） 17.（本小题满分 12 分）已知数列 na 满足， 1 1a  ， 2 4a  ，且 2 14 3 0n n na a a     *nN . （1）求数列 na 的通项公式； （2）设 2n nb n a  ，求数列 nb 的前 n 项和 nS . 18. （本小题满分 12 分）．如图，在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PAD 为等边三角形，且垂直于底面 ABCD ， 1 90AB BC BAD ABC      ， ，AD=2 ， ,M N 分别是 ,AD PD 的中点. （1）证明：平面 / /CMN 平面 PAB ； （2）已知点 E 在棱 PC 上且 2 3CE CP  ，求直线 NE 与平面 PAB 所成角的余弦 值. 19.（本小题满分 12 分） 已知抛物线 2 2y px （ 0p  ）上的两个动点  1 1,A x y 和  2 2,B x y ，焦点为 F. 线 段 AB 的中点为  03,M y ，且 A，B 两点到抛物线的焦点 F 的距离之和为 8. （1）求抛物线的标准方程； （2）若线段 AB 的垂直平分线与 x 轴交于点 C，求 ABC 面积的最大值. 20.（本小题满分 12 分）某大型公司为了切实保障员工的健康安全，贯彻好卫生防疫工作的相关要求，决定在全 公司范围内举行一次 NCP (新冠肺炎简称）普查，为此需要抽验 1000 人的血样进行化验，由于人数较多，检疫 部门制定了下列两种可供选择的方案.方案①：将每个人的血分别化验，这时需要验 1000 次.方案②：按 k 个人一 组进行随机分组，把从每组 k 个人抽来的血混合在一起进行检验，如果每个人的血均为阴性，则验出的结果呈阴 性，这 k 个人的血只需检验一次（这时认为每个人的血化验．．．．．．．．．．． 1 k 次．）；否则，若呈阳性，则需对这 k 个人的血样再 分别进行一次化验，这样，该组 k 个人的血总共需要化验 1k  次.假设此次普查中每个人的血样化验呈阳性的概 率为 p ，且这些人之间的试验反应相互独立. （1）设方案②中，某组 k 个人的每个人的血化验次数为 X ，求 X 的分布列； （2）设 0.1p  ，试比较方案②中，分别取 2，3，4 时，各需化验的平均总次数；并指出在这三种分组情况下， 相比方案①，化验次数最多可以平均减少多少次？（最后结果四舍五入保留整数） 21.（本小题满分 12 分）已知函数 1( ) ( )ln ( )2f x x a x x a R    . （1）若 '( )f x 是 ( )f x 的导函数，讨论 ( ) '( ) lng x f x x a x   的单调性； （2）若 1( ,2 )2a ee  （ e 是自然对数的底数），求证： ( ) 0f x  . 请考生在第 22  23 题中任选一道作答，如果多做，则按所做第一题计分，作答时请写清题号. 22.（本小题满分 10 分）在直角坐标系中，曲线 C 的参数方程为 3cos (2sin x y      为参数），以原点为极点，x 轴 的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 D 的极坐标方程为 4sin( )6    . （1）写出曲线 C 的极坐标方程以及曲线 D 的直角坐标方程； （2）若过点 (2 2, )4A  （极坐标）且倾斜角为 3  的直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，弦 MN 的中点为 P，求 AP AM AN 的值． 23. （本小题满分 10 分）已知函数 ( ) 2 4 1f x x x    . （1）解不等式 ( ) 9f x  ； （2）若不等式 ( ) 2f x x a  的解集为  2, | 3 0A B x x x   ，且满足 B A ，求实数 a 的取值范围. 答案第 1页，总 8页 大庆实验中学 2020 届高三五月第一次模拟考试理科数学参考答案 1．B ∵集合    20 log 16 { | 0 4} 1,2,3A x N x x N x         ，集合    2 2 0 1xB x x x     ， {2,3}A B  .∴集合 A B 真子集个数是 22-1＝3 2．C        3 2 12 2 1 11 1 1 1 i ii i i i ii i i i            ，故虚部为 1 . 2．A 在 6 3 2 1x x     的展开式中，共有 7 项，最中间一项是第 4 项，对应的二项式系数为 3 6 20C  3．B 由 条 件 知 一 条 渐 近 线 斜 率 为 1 ;2  所 以 1 , 22 b b a a  或 其 中 a 为 实 半 轴 ， b 为 虚 半 轴 ； 则 离 心 率 e 满 足 2 2 5 51 ( ) 5, 5.4 2 be ea     或 或 5.C 由题可知 72ACB  ，且 1 5 12cos72 4 BC AC    ， 2 5 1cos144 2cos 72 1 4       ， 则   5 1sin 234 sin 144 90 cos144 4          . 6.C 对于 A，若 ,m n 与平面 所成角相等，则 ,m n 可能相交或者异面，故 A 错； 对于 B，若 / / , / /m n  ，则 ,m n 可能相交或者异面，故 B 错； 对于 C，若 / / , ,m m n      ，由线面平行的性质定理可得 //m n ，故 C 正确； 对于 D，若 // ,m n    ，则 ,m n 可能异面，故 D 错； 故选：C 7.A  点 3,1 和 4,6 在直线3 2 0x y a   的两侧，    3 3 2 1 3 4 2 6 0a a             即   7 24 0a a   ，解得 7 24a   . 8．C ∵960÷32＝30，∴每组 30 人，∴由题意可得抽到的号码构成以 30 为公差的等差数列， 又某组抽到的号码为 41，可知第一组抽到的号码为 11， 答案第 2页，总 8页 ∴由题意可得抽到的号码构成以 11 为首项、以 30 为公差的等差数列， ∴等差数列的通项公式为 an＝11+（n﹣1）30＝30n﹣19， 由 401≤30n﹣19≤731，n 为正整数可得 14≤n≤25， ∴做问卷 C 的人数为 25﹣14+1＝12， 9．A 记事件 :A 甲获得冠军，事件 :B 比赛进行三局， 事件 :AB 甲获得冠军，且比赛进行了三局，则第三局甲胜，前三局甲胜了两局， 由独立事件的概率乘法公式得   1 2 3 1 3 9 4 4 4 32P AB C     ， 对于事件 A ，甲获得冠军，包含两种情况：前两局甲胜和事件 AB ，   23 9 27 4 32 32P A        ，       9 32 1 32 27 3 P ABP B A P A      10．C 11. B 设椭圆的另一焦点为 F，连接 AF ， AF ， BF ， 设椭圆的焦距为 2c ，由题意则四边形 AFBF 为矩形，∴ 2AB FF c  ， | | 2 cosFA c  ，| | 2 sinFB c  . 结合椭圆定义，可知| | | | 2FA FB a  ，即 2 cos 2 sin 2c c a   ，则 1 1 sin cos 2 sin 4 e          ， 由 ,12 3        ，则 7,4 3 12         ， 62 sin , 24 2            ， 得 2 6,2 3e       . 12．D 依题意可知函数   2 xef x x  的定义域为   ,0 0,   .且    ' 3 2xe xf x x  . 所以  f x 在   ,0 , 2,  上递增，在 0,2 上递减，且   2 2 4 ef  ，由此画 答案第 3页，总 8页 出  f x 的图像如下图所示. 令    t g x f x  ，则  t xg 的单调性与  f x 相同，且  2 2 eg  . 关于 x 的方程     1f x f x   有四个不等的实根，所以 1t t   ，即 2 1 0t t   在 0, , ,2 2 e e          上各有 一实根.令    2 1, 0 1 0h t t t h     ，所以 02 eh     ，即 2 1 04 2 e e    ，所以 2 2 e e    .所以实数  的取 值范围是 2 ,2 e e      . 13． 1,2 曲线 1 1xy a   的定点为 1,2 14． 13 1 2  令  3 3 0m m     ，则两边平方得，得 23 3 3 m     即 23 m m  ，解得： 1 13 2m   或 1 13 2m  （舍去） 本题正确结果： 1 13 2  15． 30 6 8 因为 2SA SB  ，且 SA SB ， 5BC  ， 3AC  ，所以 2 2 2AB SA  ， 因此 2 2 2BC AC AB  ，则 AC BC ；取 AB 中点为O ，连接OS ，OC ，则 2OA OB OC OS    ， 所以该四面体的外接球的球心为O ，半径为 2OC  ，所以该四面体外接球的表面积为 24 ( 2) 8S     ； 又因为 SA SB ，所以 SO AB ；因为底面三角形 ABC 的面积为定值 1 15 2 2AC BC  ， SO 的长也为确定的值 2 ，因此，当 SO  平面 ABC 时，四面体的体积最大，为 1 30 3 6ABCV S SO   . 答案第 4页，总 8页 16. 3 3 9 2 2  由题，设 2 , 3AC m BC m  ，在三角形 ABC 中，由余弦定理变形可得： 2 2 2 cos ( 6 1)2 AC AB BCA AB mAC AB      因为点 D 为线段 AB 上一动点，再设 DA nBA  ，此时 DC DA AC nBA AC        即 22( )DA DC nBA nBA AC n BA nBA AC              因为 2 2 2(7 2 6) , cos(π ) ( 6 1)BA m AC BA AC BA A m            所以 2 2 2(7 2 6) ( 6 1)DA DC m n m n        令 2 2 2( ) (7 2 6) ( 6 1)f n m n m n      关于 n 的二次函数 所以其最小值为： 4 min 2 (7 2 6) 3( ) 44(7 2 6) mf n m      解得 所以 2 3, 3 2 3AC AB   三角形ABC的面积 1 1 3 3 3 9 2sin 2 3(3 2 3)2 2 2 2S AC AB A        17．（1）已知 2 14 3 0n n na a a    ，则  2 1 13n n n na a a a     ，且 2 1 3a a  ，则 1n na a  为以 3 为首相，3 为公比的等比数列，所以 1 3n n na a   ，      1 1 2 2 1 1 3 1 2 n n n n n na a a a a a a a           .经检验 1 1a  也满足上式. （2）由（1）得： 3n nb n n   ， 1 21 3 2 3 3n nT n      ，① 2 3 13 1 3 2 3 ( 1) 3 3n n nT n n          ，② ①－②可得 1 1 2 1 13 32 3 3 3 3 32 n n n n nT n n            ， 则 1 1 13 3 3 (2 1) 3 3 4 2 4 n n n n n nT           即 1(2 1) 3 3 ( 1) 4 2 n n n n nS      . 18.（1） 90BAD ABC     ， / /AD BC ,又 1AB BC  ， 2AD  , 而 M 、 N 分别是 AD 、 PD 的中点， / /MN PA ， 故 / /MN 面 PAB , 答案第 5页，总 8页 又 / /AM BC 且 AM BC ，故四边形 ABCM 是平行四边形, / /CM AB / /CM 面 PAB , 又 MN ，CM 是面CMN 内的两条相交直线, 故面 / /CMN 面 PAB . （2）由（1）可知， , ,MC MD MP 两两垂直，故建系如图所示,则 1 3(0, 1,0), (1, 1,0), (1,0,0), (0,1,0), (0,0, 3), (0, , )2 2A B C D P N  ， (1 0 0), (0 1 3)AB PA     ，， ， ， ， 2 1 2 3,0,3 3 3CE CP E           ， ， 1 1 3( , )3 2 6NE   ， , 设  = , ,n x y z  是平面 PAB 的法向量, 0 3 0 x y z    ， 令 1z  ，则 (0, 3,1)n   r , 3 3 2 6 3cos , 21 1 12 +9 4 12 NE n         , 直线 NE 与平面 PAB 所成角的余弦值为 2 3 11 2 2       . 19.解:（1）由题意知 1 2 6x x  ,则 1 2 6 8AF BF x x p p       , 2p  , 抛物线的标准方程为 2 4y x （2）设直线 AB : x my n  （ 0m  ）, 由 2 4 x my n y x     ,得 2 4 4 0y my n   , 1 2 4y y m   2 1 2 4 2 6x x m n     ,即 23 2n m  , 即  2 1 2 2 1 2 16 3 0 4 8 12 m y y m y y m            , 2 2 2 1 21 4 1 3AB m y y m m         , 设 AB 的中垂线方程为:  2 3y m m x    ,即  5y m x   ,可得点 C 的坐标为 5,0 ,  直线 AB : 23 2x my m   ,即 22 3 0x my m    ,点 C 到直线 AB 的距离 2 2 2 5 2 3 2 1 1 m d m m       ,  2 21 4 1 32S AB d m m       令 23t m  ,则 2 23m t  （ 0 3t  ）, 令    24 4f t t t   ,    24 4 3f t t   ,令   0f t  ,则 2 3 3t  ,在 2 30, 3       上   0f t  ；在 2 3 , 33       上 答案第 6页，总 8页   0f t  ,故 ( )f t 在 2 30, 3       单调递增, 2 3 , 33       单调递减,当 2 3 3t  ,即 15 3m   时, max 64 3 9S  20.（1）设每个人的血呈阴性反应的概率为 q，则 1q p  . 所以 k 个人的血混合后呈阴性反应的概率为 kq ，呈阳性反应的概率为1 kq . 依题意可知 1X k  ， 11 k  ，所以 X 的分布列为： X 1 k 11 k  P kq 1 kq （2）方案②中. 结合（1）知每个人的平均化验次数为：  1 1 1( ) 1 1 1k k kE X q q qk k k             2k  时， 21( ) 0.9 1 0.692E X     ，此时 1000 人需要化验的总次数为 690 次， 3k  时， 31( ) 0.9 1 0.60433E X     ，此时 1000 人需要化验的总次数为 604 次， 4k  时， 41( ) 0.9 1 0.59394E X     ，此时 1000 人需要化验的次数总为 594 次， 即 2k  时化验次数最多， 3k  时次数居中， 4k  时化验次数最少，而采用方案①则需化验 1000 次， 故在这三种分组情况下，相比方案①， 当 4k  时化验次数最多可以平均减少1000 594 406  次. 21. （1）因为   3' ln 2 af x x x    ，所以     31 ln 2 ag x a x xx      ，   2 1' 1a ag x x x      1 ( 0)x x a xx     ， 当 0a  时，   0g x  ，  g x 在 0,1 上是增函数；  g x 在  1, 上是减函数；当 1a   时，   0g x  ，  g x 在在 0, 上是减函数；当 1a   时，  g x 在  1, a 上是 增函数；  g x 在   ,,1 ,0 a  上是减函数；当 1 0a   时，  g x 在 ,1a 上是增函数；  g x 在   ,, 1,0 a  上是减函数； （2）因为   3' ln 2 af x x x    ，令   3ln 2 ah x x x    ，则   2 1' ah x x x   ， 因为 1 ,22a ee     ，所以   2 1' 0ah x x x    ，即  h x 在 0, 是增函数， 答案第 7页，总 8页 下面证明  h x 在区间 ,22 a a     上有唯一零点 0x ，因为 1ln2 2 2 a ah      ，  2 ln2 1h a a  ， 又因为 1 ,22a ee     ，所以 2 1ln 02 2 2 a eh       ，   12 ln 2 1 02h a e        ， 由零点存在定理可知，  h x 在区间 ,22 a a     上有唯一零点 0x ， 在区间  00, x 上，    ' 0h x f x  ，  'f x 是减函数，在区间 0,x  上，    ' 0h x f x  ，  'f x 是增函数， 故当 0x x 时，  f x 取得最小值    0 0 0 0 1ln 2f x x a x x   ，因为  0 0 0 3ln 02 ah x x x     ，所以 0 0 3ln 2 ax x   ， 所以    0 0 0 0 3 1 2 2 af x x a xx          0 0 0 1 22 ax a xx       ，因为 0 ,22 ax a    ，所以   0f x  ， 所以 1 ,22a ee     ，   0f x  . 22.（1）曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 19 4      ；曲线 D 的直角坐标方程为 2 2 2 2 3 0x y x y    ；（2） 4 9 3 16  . 【详解】 （1）由题意，曲线 C 的参数方程为 3cos (2sin x y      为参数），即 cos3 ( sin2 x y        为参数） 平方相加，可得曲线 C 的普通方程为 2 2 19 4 x y  ，将 cos sin x y        代入曲线 C 的普通方程 可得曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 19 4      ，又由曲线 D 的极坐标方程为 4sin( )6    ， 所以 2 3 14 sin( ) 4 ( sin cos )6 2 2          ，又由 2 2 2 , cos , sinx y x y        所以 2 2 2 3 2x y y x   ，所以曲线 C 的极坐标方程为 2 2 2 2cos sin 19 4      ， 曲线 D 的直角坐标方程为 2 2 2 2 3 0x y x y    . 答案第 8页，总 8页 （2）由点 (2 2, )4A  ，则 2 2 cos 24 2 2 sin 24 x y         ，即点 A（2，2）．因为直线 l 过点 A（2，2）且倾斜角为 3  ， 所以直线 l 的参数方程为 2 cos 3 ( 2 sin 3 x t t y t         为参数），代入 2 2 19 4 x y  ，可得 231 (8 18 3) 16 04 t t    ， 设 M，N 对应的参数分别为 1 2,t t ，由一元二次方程根与系数的关系得 1 2 1 2 32 72 3 64,31 31t t t t    ， 所以 1 2 1 2 4 9 32 16 t t AP AM AN t t    . 23．（Ⅰ）[ 2,4] ；（Ⅱ） 5a  . （Ⅰ）   9f x  可化为 2 4 1 9x x    ，即 >2, 3 3 9 x x     或 1 2, 5 9 x x       或 < 1, 3 3 9, x x     解得 2< 4x  或 1 2x   ，或 2 < 1x   ；不等式的解集为 2,4 ． （Ⅱ）易知  0,3B  ； 所以 B A ，又 2 4 1 <2x x x a    在  0,3x 恒成立； 2 4 < 1x x a    在  0,3x 恒成立； 1<2 4< 1x a x x a       在  0,3x 恒成立；     > 3 0,3 0 5> 3 5 0,3 5 a x x a aa x x a             在 恒成立 在 恒成立 ．