安徽省安庆市第一中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版含解析 22页

- 1 - 安庆一中 2019~2020 学年度第一学期高二年级期末考试数学学科（理科）考试试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1.下列四个数中数值最小的是（ ） A. B. 16 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 先把每一个选项的数字转化成十进制，再比较大小得解. 【详解】因为 ， ， ， 所以四个数中数值最小的是 . 故选 D 【点睛】本题主要考查各种进制和十进制之间的转化，意在考查学生对这些知识的理解掌握 水平和分析推理能力. 2.在 中，“ ”是“ ”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】 构造等边等角，利用三边关系等进行判断即可． 【详解】当 时，如图： 在 上截取 ，则 ， ∵ ， ，∴ ，即 ； (2)1111 (7)23 (3)102 3 2 1 0 (2)1111 2 2 2 2 15= + + + = (7)23 2 7 3 17= × + = 2 (3)102 3 2 11= + = (3)102 ABC B C∠ > ∠ AC AB> AC AB> AC AD AB= ADB ABD∠ = ∠ ADB C∠ > ∠ ABC ABD∠ > ∠ ABC C∠ > ∠ B C∠ > ∠ - 2 - 当 时，如图： 在 内部作 ，则 . 根据三边关系： ，所以 ，即 ． 故“ ”是“ ”的充要条件． 故选：C. 【点睛】本题考查充要条件，涉及三角形三边关系等知识点，属于基础题．判断充要条件的 方法是： ①若 为真命题且 为假命题，则命题 是命题 的充分不必要条件； ②若 为假命题且 为真命题，则命题 是命题 的必要不充分条件； ③若 为真命题且 为真命题，则命题 是命题 的充要条件； ④若 为假命题且 为假命题，则命题 是命题 的即不充分也不必要条件. 3.某校从高一(1)班和(2)班 某次数学考试(试卷满分为 100 分)的成绩中各随机抽取了 6 份 数学成绩组成一个样本，如茎叶图所示.若分别从(1)班、(2)班的样本中各取一份，则(2)班 成绩更好的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意从(1)班、(2)班的样本中各取一份，(2)班成绩更好即(2)班成绩比(1)班成绩高，用列 举法列出所有可能结果，由此计算出概率． 【详解】根据题意，两次取出的成绩一共有 36 种情况；分别为 的 B C∠ > ∠ ABC∠ CBD C∠ = ∠ CD BD= AD BD AB+ > AD CD AB+ > AC AB> B C∠ > ∠ AC AB> p q⇒ q p⇒ p q p q⇒ q p⇒ p q p q⇒ q p⇒ p q p q⇒ q p⇒ p q 16 36 17 36 1 2 19 36 - 3 - 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 、 满足条件的有 18 种，故 ， 故选 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是 基础题． 4.已知 与 之间的一组数据： 0 1 2 3 1 3 5 7 则 与 的线性回归方程 必过 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出 x 的平均值 ，y 的平均值 ，回归直线方程一定过样本的中心点（ ， ），代 入可得答案． 【详解】解：回归直线方程一定过样本的中心点（ ， ）， ， ∴样本中心点是（1.5，4）， 则 y 与 x 的线性回归方程 y＝bx+a 必过点（1.5，4）， ( )67,68 ( )67,72 ( )67,73 ( )67,85 ( )67,89 ( )67,93 ( )76,68 ( )76,72 ( )76,73 ( )76,85 ( )76,89 ( )76,93 ( )78,68 ( )78,72 ( )78,73 ( )78,85 ( )78,89 ( )78,93 ( )82,68 ( )82,72 ( )82,73 ( )82,85 ( )82,89 ( )82,93 ( )85,68 ( )85,72 ( )85,73 ( )85,85 ( )85,89 ( )85,93 ( )92,68 ( )92,72 ( )92,73 ( )92,85 ( )92,89 ( )92,93 18 3 1 26p = = C x y y x ˆ ˆy bx a= + ( )2,2 ( )1.5,4 ( )1,2 ( )1.5,0 x y x y x y 0 1 2 3 1.54x + + += = 1 3 5 7 44y + + += = - 4 - 故选 B． 【点睛】本题考查平均值的计算方法，回归直线的性质：回归直线方程一定过样本的中心 点（ ， ）． 5.从装有 2 个红球和 2 个白球的口袋内任取 2 个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ） A. “至少有 1 个白球”和“都是红球” B. “至少有 2 个白球”和“至多有 1 个红球” C. “恰有 1 个白球” 和“恰有 2 个白球” D. “至多有 1 个白球”和“都是红球” 【答案】C 【解析】 【分析】 结合互斥事件与对立事件的概念,对选项逐个分析可选出答案. 【详解】对于选项 A, “至少有 1 个白球”和“都是红球”是对立事件,不符合题意; 对于选项 B, “至少有 2 个白球”表示取出 2 个球都是白色的,而“至多有 1 个红球”表示取 出的球 1 个红球 1 个白球,或者 2 个都是白球,二者不是互斥事件,不符合题意; 对于选项 C, “恰有 1 个白球”表示取出 2 个球 1 个红球 1 个白球, 与“恰有 2 个白球”是互 斥而不对立的两个事件,符合题意; 对于选项 D, “至多有 1 个白球”表示取出的 2 个球 1 个红球 1 个白球,或者 2 个都是红球,与 “都是红球”不是互斥事件,不符合题意. 故选 C. 【点睛】本题考查了互斥事件和对立事件的定义的运用,考查了学生对知识的理解和掌握,属 于基础题. 6.过点 P(3,﹣4)作圆(x﹣1)2+y2＝2 的切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为（　　 ） A. x+2y﹣2＝0 B. x﹣2y﹣1＝0 C. x﹣2y﹣2＝0 D. x+2y+2＝0 【答案】C 【解析】 【分析】 画出图象，以 P 为圆心，以 PB 长度为半径可得到圆 P，则圆(x﹣1)2+y2＝2 与圆 P 的公共弦所 在直线即为直线 AB，利用两点间的距离公式和勾股定理可求出圆 P 的方程，然后两个方程相 x y - 5 - 减即可得到直线 AB 的方程. 【详解】如图，圆 P 为以 P 为圆心，以 PB 长度为半径的圆，则圆(x﹣1)2+y2＝2 与圆 P 的公共 弦所在直线即为直线 AB， 在 中， ，则 ， 所以圆 P 的方程为： ，又圆 C 的方程为：(x﹣1)2+y2＝2， 以上两个等式相减可得， ，化简得， . 故选：C. 【点睛】本题考查直线与圆的位置关系以及两圆的公共弦问题，着重考查学生数形结合的思 想和转化问题的能力，属中档题. 7.若向量 与向量 的夹角的余弦值为 ，则 　　 A. 0 B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】 利用空间向量夹角余弦公式直接求解． 【详解】 向量 0， 与向量 1， 的夹角的余弦值为 ， Rt PBC∆ 2 2(1 3) (0 4) 2 5PC = − + + = 20 2 3 2PB = − = 2 2( 3) ( 4) 18x y− + + = 4 8 8 0x y− − = 2 2 0x y− − = (1,0, )a z= (2,1 2)b = ， 2 3 z = ( ) 1−  a (1,= z) b (2, = 2) 2 3 - 6 - ， 解得 ． 故选 A． 【点睛】本题考查实数值的求法，考查空间向量夹角余弦公式等基础知识，考查运算求解能 力，是基础题． 8.已知点 在圆 外，则实数 m 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 圆 ，配方为： ，解得 m 的范围并可 得圆心 ，半径 ，由于点 在圆 外， 可得 ，即可得出结果． 【详解】圆 ，配方为： ， 解得 ．由圆的方程可得圆心 ，半径 ． 点 在圆 外， ，解得 ． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的方程、两点之间的距离公式、不等式的解法、配方法，考查了推理 能力与计算能力，属中档题． 9.曲线 与直线 有两个不同交点，实数 的取值范围是（　　） 2 a b 2 2z 2cos a,b 3a b 1 z 4 1 4 ⋅ +∴ = = = ⋅ + ⋅ + +   z 0= ( )1,2A 2 2 2 3 0x y x y m+ + + + = ( )13,− +∞ 1313, 4  −   13, 4  −∞   ( ) 13, 13 ,4  −∞ − ∪ +∞   2 2 2 3 0x y x y m+ + + + = 2 23 13( 1) ( ) 02 4x y m+ + + = − > 31, 2C  − −   13 4R m= − ( )1,2A 2 2 2 3 0x y x y m+ + + + = AC R> 2 2 2 3 0x y x y m+ + + + = 2 23 13( 1) ( ) 02 4x y m+ + + = − > 13 4m < 31, 2C  − −   13 4R m= −  ( )1,2A 2 2 2 3 0x y x y m+ + + + = 2 27 132 ( )2 4AC m∴ = + > − 1313 4m− < < 21 4y x= + - ( )2 4y k x= − + k - 7 - A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由曲线方程可知曲线为以 为圆心， 为半径的圆的 的部分，又直线恒过 ， 由数形结合可确定临界状态，分别利用圆的切线的求解和两点连线斜率公式求得临界状态时 的取值，进而得到结果. 【详解】 可化为 曲线 表示以 为圆心， 为半径的圆的 的部分 又直线 恒过定点 可得图象如下图所示： 当直线 为圆的切线时，可得 ，解得： 当直线 过点 时， 由图象可知，当 与曲线有两个不同交点时， 故选 【点睛】本题考查根据直线与曲线交点个数求解参数范围的问题，关键是能够明确曲线所表 示的图形和直线恒过的定点，利用数形结合的方式得到临界状态，进而利用直线与圆的知识 来进行求解. 10.已知双曲线 1（a＞0，b＞0）的渐近线被圆 C：x2+y2﹣12x＝0 截得的弦长为 8， 3 4k ≥ 3 5 4 12k− ≤ < − 5 12k > 5 3 12 4k< ≤ ( )0,1 2 1y ≥ ( )2,4A k 21 4y x= + - ( ) ( )22 1 4 1x y y+ − = ≥ ∴ 21 4y x= + - ( )0,1 2 1y ≥ ( )2 4y k x= − + ( )2,4A ( )2 4y k x= − + 2 3 2 2 1 kd k −= = + 5 12k = ( )2 4y k x= − + ( )2,1B − 4 1 3 2 2 4k −= =+ ( )2 4y k x= − + 5 3 12 4k< ≤ D 2 2 2 2 x y a b − = - 8 - 双曲线的右焦点为 C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 求得数显的渐近线的方程，以及圆的圆心和半径，运用直线和圆相交的弦长公式，以及点到 直线的距离公式可得 的关系式，由题意可得 ，再由 的关系可得 ，即可求得 双曲线的方程，得到答案. 【详解】双曲线 的渐近线方程为 ， 圆 的圆心 ，半径 ， 见解析被圆 截得的弦长为 8，可得 ， 解得 ，即 ， 双曲线的焦点为 的圆心，即 ，则 ， ， 可得双曲线 方程为 . 故选 B. 【点睛】本题主要考查了双曲线的标准方程及其几何性质的应用，同时考查了直线与圆的位 置关系的应用，着重考查了方程思想和运算能力，属于基础题. 11.已知 分别为椭圆 的左右焦点， 为椭圆上的点， 为坐标 原点，且 ， ，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 的 2 2 120 16 x y− = 2 2 116 20 x y− = 2 2 112 24 x y− = 2 2 124 12 x y− = ,a b 6c = , ,a b c a 2 2 2 2 1( 0, 0)x y a ba b − = > > 0bx ay± = 2 2: 12 0C x y x+ − = (6,0)C 6r = 2 2: 12 0C x y x+ − = 2 2 28 2 2 36r d d= − = − 2 5d = 2 2 6 2 5b a b = + C 6c = 2 5b = 2 2 4a c b= − = 2 2 116 20 x y− = 1 2,F F ( )2 2 2 2 1 0x y a ba b + = > > P O 1 2 0PF PF⋅ =  1 23PF PF=  10 5 10 4 10 3 10 2 - 9 - 【解析】 【分析】 根据椭圆的定义和勾股定理计算 PF1•PF2，再结合三角形的面积即可求出 b 的值． 【详解】设 PF1＝m，PF2＝n，则由椭圆的性质可得 m+n＝2a，且 m=3n 故 ， 由勾股定理可得 m2+n2＝4c2，故 故 故选：B． 【点睛】本题考查了椭圆的定义和简单性质，考查离心率求解，属于中档题． 12.已知椭圆 ，三角形 的三个顶点都在椭圆 上，设它的三边 中点分别为 ，且三边所在直线的斜率分别为 （均不为 0）， 为坐标原点， 若直线 的斜率之和为 1，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设出 ABC 的坐标，通过平方差法转化求解斜率可得 ，同理可得 ， ，然后推出结果即可. 【详解】由题意知： ， 3 ,2 2 am a n= = 2 25 42 a c= 10 4 ce a = = 2 2 14 3 x y+ = ABC C , ,AB BC AC , ,D E M 1 2 3, ,k k k O ,OE,OMOD 1 2 3 1 1 1 k k k + + = 4 3 − 18 13 − 3 2 − 3− 1 4 3 OD AB kk = − 1 4 3 OM AC kk = − 1 4 3 OE BC kk = − 2 2 14 3 x y+ = - 10 - 设 ， ， ， 则： ， ， 两式作差得 ， 则 ， ， 同理可得 ， ； 所以 ， 故选：A. 【点睛】本题主要考查椭圆的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力和整体代换的思 想，属于中档题. 二、填空题 13.已知抛物线 ： 焦点为 ， 是抛物线 上一点且点 在第一象限，若 ，则 点的坐标为__________． 【答案】（3,2 ） 【解析】 【分析】 先设出该点的坐标，根据抛物线的定义可知该点到准线的距离与其到焦点的距离相等，进而 利用点到直线的距离求得 x 的值，代入抛物线方程求得 y. 【详解】设该点坐标为（x，y） 根据抛物线定义可知 x+2＝5，解得 x＝3，代入抛物线方程求得 y＝±2 ， ∵P 在第一象限， ∴P（3，2 ）． 故答案为（3，2 ）． 【点睛】本题主要考查了抛物线的简单性质．在涉及焦点弦和关于焦点的问题时常用抛物线 的 ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( )3 3,C x y 2 2 1 1 14 3 x y+ = 2 2 2 2 14 3 x y+ = ( )( ) ( )( )1 22 1 2 2 1 1 4 3 x x x x y y y y− + − += − ( ) ( )2 12 1 2 1 2 1 4 3 y yx x y y x x − −+ =+ − 1 4 3 OD AB kk = − 1 4 3 OM AC kk = − 1 4 3 OE BC kk = − ( ) 1 2 3 1 1 4 4 3 1 3OD OM OEk k kk k k + + = − + + = − C 2 8y x= F Q C Q | | 5QF = Q 6 6 6 6 - 11 - 的定义来解决. 14.平面 α 的法向量 =(x,1,-2),平面 β 的法向量 = ,已知 α∥β,则 x+y=______. 【答案】 【解析】 分析】 由 α∥β，可得 ∥ ．利用向量共线定理即可得出． 【详解】因为 α∥β,所以 u∥v.则 , 即 故 x+y= . 【点睛】本题考查了空间面面平行与法向量的关系、向量共线定理，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题． 15.已知菱形 ABCD 的边长为 4， ，若在菱形内任取一点，则该点到菱形的四个 顶点的距离大于 1 的概率______. 【答案】 【解析】 【分析】 菱形 ABCD 内部，到顶点距离为 1 的点在以四个顶点为圆心的四个扇形内，这四个扇形合起来 是一个圆，由此可求得所在区域面积．再计算出菱形面积后可得概率． 【详解】 故答案为： ． 【 u v 1-1, , 2y     15 4 u v 1 -2 1-1 2 x y = = 4, 1- ,4 x y = = 15 4 ABC 150°∠ = 1 8 π− 0 2 0 4 4 sin150 1 14 4 sin150 8P π π× × − ×= = −× × 1 8 π− - 12 - 【点睛】本题考查几何概型，解题关键是把四个扇形合成一个圆．从而可求得面积，求得概 率． 16.已知点 是抛物线 的准线上一点，F 为抛物线的焦点，P 为抛物线上的点 ，且 ，若双曲线 C 中心在原点，F 是它的一个焦点，且过 P 点，当 m 取最小值时 ，双曲线 C 的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】 由点 坐标可确定抛物线方程，由此得到 坐标和准线方程；过 作准线的垂线，垂足为 ，根据抛物线定义可得 ，可知当直线 与抛物线相切时， 取得最小值；利用抛 物线切线的求解方法可求得 点坐标，根据双曲线定义得到实轴长，结合焦距可求得所求的 离心率. 【详解】 是抛物线 准线上 一点 抛物线方程为 ，准线方程为 过 作准线的垂线，垂足为 ，则 的 ( )0, 1A − 2 2x py= PF m PA= 2 1+ A F P N PN mPA = PA m P ( )0,1A 2 2x py= 2p∴ = ∴ 2 4x y= ( )0,1F∴ 1y = − P N PN PF= - 13 - 设直线 的倾斜角为 ，则 当 取得最小值时， 最小，此时直线 与抛物线相切 设直线 的方程为 ，代入 得： ，解得： 或 双曲线的实轴长为 ，焦距为 双曲线的离心率 故答案为： 【点睛】本题考查双曲线离心率的求解问题，涉及到抛物线定义和标准方程的应用、双曲线 定义的应用；关键是能够确定当 取得最小值时，直线 与抛物线相切，进而根据抛物线 切线方程的求解方法求得 点坐标. 三、解答题 17.已知圆 及直线 ： . (1)证明：不论 取什么实数，直线 与圆 C 总相交； (2)求直线 被圆 C 截得的弦长的最小值及此时的直线方程. 【答案】(1)证明见解析；(2) ， . PF m PA= PF PN mPA PA ∴ = = PA α sin mα = m sinα PA PA 1y kx= − 2 4x y= 2 4 4 0x kx− + = 216 16 0k∴∆ = − = 1k = ± ( )2,1P∴ ( )2,1− ∴ ( )2 2 1PA PF− = − 2AF = ∴ ( )2 2 1 2 2 1 e = = + − 2 1+ m PA P 2 2: 2 4 20 0C x y x y+ − − − = l (2 1) ( 1) 7 4( )m x m y m m R+ + + = + ∈ m l l 4 5 2 5 0x y− − = - 14 - 【解析】 【分析】 （1）根据直线过的定点在圆内，得出直线与圆总相交． （2）作图分析出当直线 与半径 CM 垂直与点 M 时|AB|最短，利用勾股定理求出此时|AB|的长 ，再运用两直线垂直时斜率相乘等于−1，求出此时直线 的方程． 【详解】解：(1)证明：直线 的方程可化为 ， 由方程组 ，解得 所以直线过定点 M(3，1)， 圆 C 化为标准方程为 ，所以圆心坐标为(1，2)，半径为 5， 因为定点 M(3，1)到圆心(1，2)的距离为√ ， 所以定点 M(3，1)在圆内， 故不论 m 取什么实数，过定点 M(3，1)的直线 与圆 C 总相交； (2)设直线与圆交于 A、B 两点，当直线 与半径 CM 垂直与点 M 时，直线 被截得的弦长|AB|最 短， 此时 ， 此时 ，所以直线 AB 的方程为 ，即 . 故直线 被圆 C 截得的弦长的最小值为 ，此时的直线 的方程为 . 【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，当直线 与半径 CM 垂直于点 M 时|AB|最短是解 题的关键，是中档题． 18.某校命制了一套调查问卷（试卷满分均为 100 分），并对整个学校的学生进行了测试.现 从这些学生的成绩中随机抽取了 50 名学生的成绩，按照 分成 5 组，制成了如图所示的频率分布直方图（假定每名学生的成绩均不低于 50 分）. l l l ( 4) (2 7) 0x y m x y+ − + + − = 4 0 2 7 0 x y x y + − =  + − = 3 1 x y =  = 2 2( 1) ( 2) 25x y− + − = 2 2(3 1) (1 2) 5 5− + − = < l l l 2 2 2 22 2 25 (3 1) (1 2) 2 20 4 5AB BC CM  = − = − − + − = =  1 2AB CM k k = − = 1 2( 3)y x− = − 2 5 0x y− − = l 4 5 l 2 5 0x y− − = l [ ) [ ) [ ]50,60 , 60,70 , , 90,100⋅⋅⋅ - 15 - （1）求频率分布直方图中 x 的值，并估计所抽取的 50 名学生成绩的平均数、中位数（同一 组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）用样本估计总体，若该校共有 2000 名学生，试估计该校这次测试成绩不低于 70 分的人 数； （3）若利用分层抽样的方法从样本中成绩不低于 70 分的学生中抽取 6 人，再从这 6 人中随 机抽取 3 人，试求成绩在 的学生至少有 1 人被抽到的概率. 【答案】（1） ，74， ；（2）1200；（3） . 【解析】 【分析】 （1）根据频率和为 可求得第第 组的频率，由此求得 的值；根据频率分布直方图中平均 数和中位数的估计方法可计算得到结果； （2）计算得到 名学生中成绩不低于 分的频率，根据样本估计总体的方法，利用总数 频率可得所求人数； （3）根据分层抽样原则确定 、 和 种分别抽取的人数，采用列举法 列出所有结果，从而可知成绩在 的学生没人被抽到的概率；根据对立事件概率公式 可求得结果. 【详解】（1）由频率分布直方图可得第 组的频率为： 估计所抽取的 名学生成绩的平均数为： 由于前两组的频率之和为 ，前三组的频率之和为 [ ]80,100 0.02x = 220 3 19 20 1 4 x 50 70 × [ )70,80 [ )80,90 [ ]90,100 [ ]80,100 4 ( )1 0.01 0.03 0.03 0.01 10 0.2− + + + × = 0.2 10 0.02x∴ = ÷ = 50 ( )55 0.01 65 0.03 75 0.03 85 0.02 95 0.01 10 74× + × + × + × + × × = 0.1 0.3 0.4+ = 0.1 0.3 0.3 0.7+ + = - 16 - 中位数在第 组中 设中位数为 ，则有： ，解得： 即所求的中位数为 （2）由（1）知： 名学生中成绩不低于 分的频率为： 用样本估计总体，可以估计高三年级 名学生中成绩不低于 分的人数为： （3）由（1）可知，后三组中的人数分别为 ， ， 这三组中所抽取的人数分别为 ， ， 记成绩在 的 名学生分别为 ，成绩在 的 名学生分别为 ，成绩在 的 名学生为 ，则从中随机抽取 人的所有可能结果为： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共 种 其中成绩在 的学生没人被抽到的可能结果为 ，只有 种， 故成绩在 的学生至少有 人被抽到的概率： 【点睛】本题考查利用频率分布直方图计算频率、频数、估计平均数、中位数的问题，分层 抽样、古典概型概率问题的求解；考查学生对于统计和概率部分知识的综合掌握情况，属于 常考题型. 19.已知 p： ，q： 。其中 . （1）已知 ，若 为真，求 的取值范围； （2）若 是 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 根据一元二次不等式的解法分别求得 ； ∴ 3 t ( )70 0.03 0.1t − × = 220 3t = 220 3 50 70 0.3 0.2 0.1 0.6+ + = 2000 70 2000 0.6 1200× = 15 10 5 ∴ 3 2 1 [ )70,80 3 , ,a b c [ )80,90 2 ,d e [ ]90,100 1 f 3 ( ), ,a b c ( ), ,a b d ( ), ,a b e ( ), ,a b f ( ), ,a c d ( ), ,a c e ( ), ,a c f ( ), ,a d e ( ), ,a d f ( ), ,a e f ( ), ,b c d ( ), ,b c e ( ), ,b c f ( ), ,b d e ( ), ,b d f ( ), ,b e f ( ), ,c d e ( ), ,c d f ( ), ,c e f ( ), ,d e f 20 [ ]80,100 ( ), ,a b c 1 [ ]80,100 1 1 191 20 20P = − = 2 7 10 0x x− + < 2 24 3 0x mx m− + < 0m > 4m = p q∧ x q¬ p¬ ( )4,5 5 ,23      ,p q - 17 - （1）根据复合命题真假性可知 均为真，由此可得 范围； （2）由 与 关系可知 是 的充分不必要条件，由推出关系可构造不等式组，解不等式 组求得结果. 【详解】由 得： 由 且 得： （1）当 时， 为真 都为真 ，即 的取值范围为 （2） 是 的充分不必要条件 是 的充分不必要条件 ， ，解得： 实数 的取值范围为 【点睛】本题考查根据复合命题真假性、充分条件与必要条件求解参数范围的问题，涉及到 一元二次不等式的求解；关键是能够通过复合命题真假性得到两个命题的真假性，根据充分 条件与必要条件得到推出关系. 20.如图，在正四棱柱 中， ， ，点 E 在 上，且 . （1）求异面直线 与 所成角的正切值： （2）求证： 平面 DBE； （3）求二面角 的余弦值. ,p q x q¬ p¬ p q 2 7 10 0x x− + < 2 5x< < : 2 5p x∴ < < 2 24 3 0x mx m− + < 0m > 3m x m< < : 3q m x m∴ < < 4m = q : 4 12x< < p q∧ ,p q∴ 4 5x∴ < < x ( )4,5 q¬∵ p¬ p∴ q p q∴ ⇒ q p 2 3 5 0 m m m ≤ ∴ ≥  > 5 23 m≤ ≤ ∴ m 5 ,23      1 1 1 1ABC A B C D− 2DC DA= = 1 4DD = 1C C 1CE = 1A D 1B B 1AC ⊥ 1A DE B− − - 18 - 【答案】（1） ；（2）证明见解析；（3） . 【解析】 【分析】 （1）根据 可知 即为所求异面直线所成角，根据直角三角形中的长度关系可 求得结果； （2）以 为原点建立空间直角坐标系，根据数量积的坐标运算可证得 ， ，由线面垂直判定定理可证得结论； （3）由（2）知 为平面 的一个法向量，求得平面 的法向量 后，可根据向量 夹角公式求得 ，由二面角的大小可确定最终的余弦值. 【详解】（1） 即为异面直线 与 所成角 在 中， ， 即异面直线 与 所成角的正切值为 （2）以 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系 则 ， ， ， ， ， ， ， ， 又 ， 平面 平面 1 2 14 42 1 1//AA BB 1AA D∠ D 1AC BD⊥ 1AC DE⊥ 1AC DBE 1DA E n 1cos ,n AC< >  1 1//AA BB 1AA D∴∠ 1A D 1B B 1Rt AA D∆ 1 4A A = 2AD = 1 1tan 2AA D∴ ∠ = 1A D 1B B 1 2 D ( )2,2,0B ( )0,2,0C ( )0,2,1E ( )1 2,0,4A ( )0,2,1DE = ( )2,2,0DB = ( )1 2,2, 4AC = − − ( )1 2,0,4DA = 1 4 4 0 0AC DB∴ ⋅ = − + + =  1 0 4 4 0AC DE⋅ = + − =  1AC BD∴ ⊥ 1AC DE⊥ BD DE D∩ = ,BD DE ⊂ DBE 1AC∴ ⊥ DBE - 19 - （3）由（2）知：向量 为平面 的一个法向量 设平面 的法向量 则 ，令 ，则 ， 二面角 为锐二面角 二面角 的余弦值为 【点睛】本题考查立体几何中异面直线所成角的求解、线面垂直关系的证明、空间向量法求 解二面角的问题；关键是熟练掌握空间向量法求解立体几何中角度问题的方法，属于常考题 型. 21.设 为坐标原点，椭圆 的焦距为 ，离心率为 ，直线 与 交于 ， 两点． （1）求椭圆 的方程； （2）设点 ， ，求证：直线 过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)证明见解析，定点 ． 【解析】 【分析】 (1)由焦距和离心率求出 ，根据椭圆的性质求出 ,即可写出椭圆 的方程. (2)将直线 代入椭圆方程，利用韦达定理求出 ， 结合直线 的方程，求出 ， ,将 表示为坐标形式，化简求出 的值，根据直线方程的性质即可得到 直线 过定点的坐标. 【详解】解：（1） 因为 ，则 1AC DBE 1DA E ( ), ,n x y z= 1 2 0 2 4 0 n DE y z n DA x z  ⋅ = + = ⋅ = + =   2z = − 1y = 4x = ( )4,1, 2n∴ = − 1 1 1 8 2 8 14cos , 422 6 21 n ACn AC n AC ⋅ − + +∴ < >= = = ×⋅       1A DE B− − ∴ 1A DE B− − 14 42 O 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 4 5 2 5 5 : ( 0)l y kx m m= + > C A B C (0,1)P 4PA PB⋅ = −  l 2 2 125 5 x y+ = (0,2) ,a c b C l 1 2x x+ 1 2x x l 1 2y y+ 1 2y y 4PA PB⋅ = −  m l 2 4 5 2 5c c= ⇒ = 2 5 5 ce a = = 5a = - 20 - 故 ，所以椭圆 的方程为 （2）设 ， ， 联立 ，消去 整理可得 所以 ， ， 所以 因为 ， 所以 所以 整理可得 解得 或 （舍去） 所以直线 过定点 【点睛】本题难度较大，主要考查了椭圆的基本性质，向量的数量积以及直线与圆锥曲线的 位置关系，考查运算求解能力，属于难题. 22.已知抛物线 的焦点 恰好是椭圆 的右焦点. （1）求实数 的值及抛物线 的准线方程； （2）过点 任作两条互相垂直的直线分别交抛物线 于 、 和 、 点，求两条弦的弦 长之和 的最小值． 5b = C 2 2 125 5 x y+ = ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y 2 2 125 5 y kx m x y = + + = y ( )2 2 21 5 10 5 25 0k x mkx m+ + + − = > 0∆ 1 2 2 10 1 5 kmx x k + = − + 2 1 2 2 5 25 1 5 mx x k −= + ( )1 2 1 2 2 22 1 5 my y k x x m k + = + + = + ( )( ) ( )2 2 1 2 1 2 1 2 1 2y y kx m kx m k x x km x x m= + + = + + + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 25 10 5 25 1 5 1 5 k m k k m m k m k m k k − − + + − += =+ + (0,1)P 4PA PB⋅ = −  ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2 1 2, 1 , 1 1 4x y x y x x y y y y− ⋅ − = + − + + = − 2 2 2 2 2 2 5 25 25 2 5 01 5 1 5 1 5 m k m m k k k − − ++ − + =+ + + 23 10 0m m− − = 2m = 5 3m = − l (0,2) 2: 2E y px= F 2 2: 2 2C x y+ = p E F E A B M N AB MN+ - 21 - 【答案】（1） ， ；（2）最小值为 【解析】 【分析】 （1）根据椭圆方程 C: 求出右焦点 ,即为抛物线的焦点,根据抛物线的焦点 坐标与 的关系式即可求出 ,最后得抛物线的准线方程 . （2）根据题意设 、 的直线方程,将直线 代入抛物线中,消 得 ,根据韦达韦达定理求得 ,同理求得 ,将 + 用 基本不等式不等式即可求出最小值. 【详解】（1）由已知椭圆 C 整理得 , 所以焦点 F 的坐标为 , 所以 所以抛物线 E 的准线方程为： （2）由题意知两条直线的斜率存在且不为零 设直线 的斜率为 ,方程为 , 则 的斜率为 ,方程为 设 、 ,由 得 因为 ,所以 , , 所以 同理得 , 所以 当且仅当 即 时取“等号”,所以两条弦的弦长之和 的最小值为 【点睛】本题考查抛物线及其标准方程的求法和抛物线的几何性质中的定点定值问题,根据垂 直问题设斜率可以减少变量,从而方便求极值. 2p = 1x = − 16 2 22 2x y+ = ( )1,0 P P 2 Px = − AB MN AB y ( )2 2 2 22 2 0k x k x k− + + = AB MN AB MN 2 2 12 x y+ = 2, 1, 1a b c⇒ = = = ( )1,0 2p = 1x = − AB k ( )1y k x= − MN 1 k − ( )1 1y xk = − − ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) 2 1 4 y k x y x  = −  = ( )2 2 2 22 2 0k x k x k− + + = > 0∆ 1 2 2 42x x k + = + 1 2 1=x x 1 2 2 42 4AB x x k = + + = + 2 2 44 4 4 1 MN k k = + = +  −   2 2 2 2 1 18 4 8 8 16AB MN k kk k  + = + + ≥ + × =   2 2 1k k = 1k = ± AB MN+ 16 - 22 -