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- 2021-06-03 发布
宿迁市2016~2017学年度第一学期高二期末考试
数 学
（考试时间120分钟，试卷满分160分)
参考公式：样本数据的方差，其中.
开始
结束
输出S
Y
N
（第5题）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1. 写出命题“若，则”的逆命题 ▲ .
Read x
If x<5 Then
y←2x-2
Else
y←x2-2
End If
Print y
（第3题）
2. 抛物线的焦点坐标是 ▲ .
（第4题）
3. 如图所示的伪代码，如果输入x的值为5，则输出的结果y为 ▲ .
4. 如图，在一个面积为8的矩形中随机撒一粒黄豆，若黄豆落到阴影部分的概率为，
则阴影部分的面积为 ▲ .
5. 如图是一个算法流程图，则输出的结果为 ▲ .
6．某学校对高二年级期中考试数学成绩进行分析，随机抽取了分数在的1000名
学生的成绩，并根据这1000名学生的成绩画出频率分布直方图（如图所示），则成绩
O
y
x
l
3
3
5
（第8题）
y=f(x)
在[120，130)内的学生共有 ▲ 人．
0.015
0.020
100 110 120 130 140 150
0.025
a
0.010
O
成绩(分)
频率/组距
（第6题）
7. 设函数，则函数的单调递增区间是 ▲ .
8. 如图，直线l是曲线在处的切线，表示函数的导函数，
则的值为 ▲ .
x
O
y
B2
A2
B1
A1
（第10题）
9. 已知是圆的一条弦，是弦的中点，
若，则实数的值是 ▲ .
10.如图，椭圆的上、下顶点分别为
,,左、右顶点分别为,，若线段的垂直
平分线恰好经过，则椭圆的离心率是 ▲ .
11.若函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是 ▲ .
12.若方程有两个不相等实数根，则实数的取值范围是 ▲ .
13.在平面直角坐标中，已知,，圆上存在唯一的点
满足，则实数的取值集合是 ▲ .
14. 设a＞0，函数f(x)＝x＋，g(x)＝x－lnx，若对任意的x2∈[，1]，存在，
f(x1)≥g(x2)成立，则实数a的取值范围是 ▲ .
二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（本小题满分14分）
如图是甲、乙两位同学高二上学期历史成绩的茎叶图，有一个数字被污损，用（且）表示.
（1）若乙同学算出自己历史平均成绩是92分，求的值及乙同学历史成绩的方差；
8
9
5 4 3 0
8
6 8
甲
乙
2 8
（第15题）
（2）求甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率.
16.（本小题满分14分）
已知，.
（1）使成立的实数x的取值集合记为A，成立的实数的取值集合记为B，
当时，求；
（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围.
17. （本小题满分14分）
已知圆，点.
（1）若线段的中垂线与圆相切，求实数的值；
（2）过直线上的点引圆的两条切线，切点为，若，
则称点为“好点”. 若直线上有且只有两个“好点”，求实数的取值范围.
18. （本小题满分16分）
某工厂打算建造如图所示的圆柱形容器（不计厚度，长度单位：米），按照设计要求，该容器的底面半径为，高为，体积为立方米，且.已知圆柱的侧面部分每平方米建造费用为千元，圆柱的上、下底面部分每平方米建造费用为千元，假设该容器的建造费用仅与其表面积有关，该容器的建造总费用为千元．
（1）求关于的函数表达式，并求出函数的定义域；
h
r
（第18题）
（2）问为多少时，该容器建造总费用最小？
19.（本小题满分16分）
已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，左、右顶点分别为A1，A2，上、下顶点分别为B2，B1，是斜边长为2的等腰直角三角形，直线l过A2且垂直于x轴，D为l上异于A2的一动点，直线A1D交椭圆于点C.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若A1C=2CD，求直线OD的方程；
（3）求证：为定值.
20.（本小题满分16分）
已知函数，，是两个任意实数且.
（1）求函数的图象在处的切线方程；
（2）若函数在上是增函数，求的取值范围；
（3）求证：.
数学参考答案与评分标准
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．
1.若，则； 2. ； 3. 23； 4. 2； 5. 22；
6．300； 7. ； 8. ； 9. ； 10. ；
11. ； 12. ； 13. ； 14. ；
二、解答题: 本大题共6小题， 15—17每小题14分，18—20每小题16分，共计90分．请在答题卡指定的区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15.（1）因为乙同学历史平均成绩是92分，所以，
解得. ……………………3分
此时乙同学的历史成绩的方差为
=；………6分
（2）甲同学的历史平均成绩为分， …………………8分
若甲的历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩，
则，得. ……………………10分
因为,所以且，
记甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩为事件,
则事件包含4个基本事件，而基本事件总数共有6个，
所以事件的概率. ……………………13分
答：（1）的值为6，乙同学历史成绩的方差为；
（2）甲同学历史平均成绩不低于乙同学历史平均成绩的概率为.……14分
16.（1）因为，所以，则A；……………2分
因为，所以，
所以， ……………4分
当时，， ……………6分
所以. ……………7分
（2）因为是的充分不必要条件，所以且， ……………10分
则， ……………12分
解得，
所以当时，是的必要不充分条件. ……………14分
17.（1）由得的中点坐标为，直线的斜率为，……..2分
所以的中垂线方程为，即， …………..4分
又因为的中垂线与圆相切，
所以圆心到中垂线的距离，即. ……………………6分
（2）连接，
在中，，
所以，……………………………………………………….8分
所以点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，记为圆，
则圆的方程为，……………………………………………..10分
又因为直线的方程为，且直线上有且只有两个“好点”，
则直线与圆相交，所以圆心到直线的距离，
故实数的取值范围是. …………………….14分
18.（1）设容器的容积为,
由题意知，故，………………………………..2分
因为，所以，……………………………………………….4分
故建造费用,
即. ………………………………………….6分
（2）由（1）得，
令得, ……..8分
①当即时,
若，则，函数单调递减；
若，则，函数单调递增；
所以时，函数取得极小值，也是最小值. ……………….....12分
②当即时，
因为，则，函数单调递减；
则时，函数取得最小值. ………………………………………...14分
综上所述： 若，当时，建造总费用最少；
若，当时，建造总费用最少. ………………..16分
19.（1）因为是斜边长为2的等腰直角三角形，
所以，
又因为，所以，
所以椭圆标准方程为. ………4分
（2）设，，
因为AC=2CD，所以,
所以有， ……………6分
所以，解得，代入椭圆方程得，
则当时，，,直线OD的方程为y=x； ……………8分
当 时，,直线OD的方程为.……………10分
（3）（解法一）设，
则直线A1D： ，即，
代入椭圆得
. ………………………12分
因为，所以，，
则， …………………………14分
所以（定值）. …16分
（解法二）由已知直线A1D斜率存在，设A1D的方程为，
设由得，
即， ……12分
则,,,
则，
故. ………………14分
由令x=2,得y=4k,则，故
所以，=（定值）………………16分
20.（1）因为， ………………1分
则切线的斜率为，切点为，
所以函数的图象在处切线方程为； ……………3分
（2）由得，
因为函数在实数集上是增函数，
所以恒成立， ………………5分
则恒成立，
令，
由得， ………………7分
当时，，函数递减；
当时，，函数递增；
所以当时，函数，
故实数的取值范围是. ………………9分
（3）要证明，即证明，
只需证明，不妨设，，
只需证明（），
只需证明对恒成立， ………………11分
设，
则，
设，当时恒成立，
则递增，，即， ………………13分
则，故函数递增，有恒成立，
即对恒成立，
所以，即. ………………16分