2019高考数学（理）冲刺大题提分（讲义+练习）大题精做14 函数与导数：零点（方程的解）的判断（理） 7页

函数与导数：零点（方程的解）的判断 大题精做十四 精选大题 ‎[2019·江西联考]已知函数，．‎ ‎（1）若，且曲线在处的切线过原点，求的值及直线的方程；‎ ‎（2）若函数在上有零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1），；（2）．‎ ‎【解析】（1）若，则，所以，‎ 因为的图象在处的切线过原点，‎ 所以直线的斜率，即，‎ 整理得，因为，所以，，‎ 所以直线的方程为．‎ ‎（2）函数在上有零点，即方程在上有实根，‎ 即方程在上有实根．‎ 设，则，‎ ‎①当，即，时，，在上单调递增，‎ 若在上有实根，则，即，所以．‎ ‎②当，即时，时，， 单调递减，‎ 时，，单调递增，‎ ‎·7·‎ 所以，由，可得，‎ 所以，在上没有实根．‎ ‎③当，即，时，，在上单调递减，‎ 若在上有实根，则，即，解得．‎ 因为，所以时，在上有实根．‎ 综上可得实数的取值范围是．‎ 模拟精做 ‎1．[2019·宁夏联考]已知函数．‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）当时，讨论函数的零点个数．‎ ‎2．[2019·肇庆统测]已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围．‎ ‎·7·‎ ‎3．[2019·济南期末]已知函数．‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围．‎ 答案与解析 ‎1．【答案】（1）；（2）见解析．‎ ‎【解析】（1）因为，所以，‎ 又，所以曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（2），‎ 当时，，无零点；‎ 当时，由，得．‎ 当时，；‎ 当时，，所以．‎ ‎，当时，；当时，，．‎ 所以当，即时，函数有两个零点；‎ 所以当，即时，函数有一个零点；‎ ‎·7·‎ 当，即时，函数没有零点．‎ 综上，当时，函数有两个零点；当时，函数有一个零点；‎ 当时，函数没有零点．‎ ‎2．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ 若，，在上单调递减；‎ 若，当时，，即在上单调递减，‎ 当时，，即在上单调递增．‎ ‎（2）若，在上单调递减，至多一个零点，不符合题意．‎ 若，由（1）可知，的最小值为，‎ 令，，所以在上单调递增，‎ 又，当时，，至多一个零点，不符合题意，‎ 当时，，‎ 又因为，结合单调性可知在有一个零点，‎ 令，，‎ 当时，单调递减；当时，单调递增，‎ 的最小值为，所以，‎ 当时，，‎ ‎·7·‎ 结合单调性可知在有一个零点，‎ 综上所述，若有两个零点，的范围是．‎ ‎3．【答案】（1）见解析；（2）．‎ ‎【解析】（1），‎ ‎（ⅰ）若，‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数，‎ 当时，令，则，；‎ ‎（ⅱ）若， ，恒成立，在上为增函数；‎ ‎（ⅲ）若，，‎ 当时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数，‎ ‎（ⅳ）若，，‎ 当时，，为增函数；‎ 当时，，为减函数；‎ 当，，为增函数；‎ 综上所述：当，在上为减函数，‎ 在上为增函数；‎ 当时，在上为增函数；‎ ‎·7·‎ 当时，在上为增函数，‎ 在上为减函数，在上为增函数；‎ 当时，在上为增函数，‎ 在上为减函数，在上为增函数．‎ ‎（2）（ⅰ）当时，，令，，‎ 此时1个零点，不合题意；‎ ‎（ⅱ）当时，由（1）可知，‎ 在上为减函数，在上为增函数，‎ 因为有两个零点，必有，即，‎ 注意到，‎ 所以，当时，有1个零点；‎ 当时，，‎ 取，则，‎ 所以当时，有1个零点；‎ 所以当时，有2个零点，符合题意；‎ ‎（ⅲ）当时，在上为增函数，不可能有两个零点，不合题意；‎ ‎（ⅳ）当时，在上为增函数，‎ 在上为减函数，在上为增函数；‎ ‎，‎ 因为，所以，‎ ‎·7·‎ 此时，最多有1个零点，不合题意；‎ ‎（ⅴ）当时，在上为增函数，‎ 在上为减函数；在上为增函数，‎ 因为，‎ 此时，最多有1个零点，不合题意；‎ 综上所述，若有两个零点，则的取值范围是．‎ ‎·7·‎