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- 2021-06-03 发布
2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
3．已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（ ）
A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值
4．某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＜101？ B．i＞101？ C．i≤101？ D．i≥101？
6．某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x（℃）
17
13
8
2
月销售量y（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件．
A．46 B．40 C．38 D．58
7．已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
8．下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
9．已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
10．“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
11．已知数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有ai+bj=ak+bl，则的值是（ ）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
12．已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
13．已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ）
A． B． C． D．4
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
14．（x2+）6的展开式中x3的系数是 ．（用数字作答）
15．若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m= ．
16．某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有 种．
17．设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 ．
三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（10分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．
19．（12分）已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（an+）2，求数列{bn}的前n项和Tn．
20．（12分）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；
（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．
21．（12分）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：
（1）4只鞋子没有成双的；
（2）4只恰好成两双；
（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．
22．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
23．（12分）
休假次数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15
某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
24．（12分）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．
（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．
2016-2017学年河北省衡水市冀州中学高二（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共13个小题，每小题4分，共52分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2015•衡阳三模）已知集合A={﹣1，0，1}，B={x|x=|a﹣1|，a∈A}，则A∪B中的元素的个数为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】并集及其运算．
【专题】集合．
【分析】由已知求出集合B的元素，取并集后得答案．
【解答】解：∵A={﹣1，0，1}，
B={x|x=|a﹣1|，a∈A}={2，1，0}，
则A∪B={﹣1，0，1，2}．共4个元素．
故选：B．
【点评】本题考查了并集及其运算，考查了绝对值的求法，是基础题．
2．（2008•江西）若函数y=f（x）的定义域是[0，2]，则函数g（x）=的定义域是（ ）
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】根据f（2x）中的2x和f（x）中的x的取值范围一样得到：0≤2x≤2，又分式中分母不能是0，即：x﹣1≠0，解出x的取值范围，得到答案．
【解答】解：因为f（x）的定义域为[0，2]，所以对g（x），0≤2x≤2且x≠1，故x∈[0，1），
故选B．
【点评】本题考查求复合函数的定义域问题．
3．（2015•合肥校级模拟）已知x＞1，y＞1，且，，lny成等比数列，则xy（ ）
A．有最大值e B．有最大值 C．有最小值e D．有最小值
【考点】等比数列的性质；对数的运算性质．
【专题】计算题．
【分析】先利用等比数列等比中项可知•lny=可得lnx•lny=，再根据lnxy=lnx+lny≥2可得lnxy的范围，进而求得xy的范围．
【解答】解：依题意•lny=
∴lnx•lny=
∴lnxy=lnx+lny≥2=1
xy≥e
故选C
【点评】本题主要考查了等比中项的性质．即若a，b，c成等比数列，则有b2=ac．
4．（2016秋•冀州市校级期中）某公司的班车在7：30，8：00，8：30发车，小明在7：50至8：30之间到达发车站坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】计算题；方程思想；演绎法；概率与统计．
【分析】求出小明等车时间不超过10分钟的时间长度，代入几何概型概率计算公式，可得答案．
【解答】解：设小明到达时间为y，
当y在7：50至8：00，或8：20至8：30时，
小明等车时间不超过10分钟，
故P==，
故选：D．
【点评】本题考查的知识点是几何概型，难度不大，属于基础题．
5．（2016•贵阳二模）如图，给出的是计算1+++…++的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（ ）
A．i＜101？ B．i＞101？ C．i≤101？ D．i≥101？
【考点】程序框图．
【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图．
【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出S的值．
【解答】解：程序运行过程中，各变量值如下表所示：
第1次循环：S=0+1，i=1，
第2次循环：S=1+，i=3，
第3次循环：S=1++，i=5，…
依此类推，第51次循环：S=1+++…+，i=101，退出循环
其中判断框内应填入的条件是：i≤101，
故选：C．
【点评】本题考查了当型循环结构的应用问题，解题时应准确理解流程图的含义，是基础题目．
6．（2014•江西一模）某商场为了了解毛衣的月销售量y（件）与月平均气温x（℃）之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，其数据如下表：
月平均气温x（℃）
17
13
8
2
月销售量y（件）
24
33
40
55
由表中数据算出线性回归方程=bx+a中的b=﹣2，气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计该商场下个月毛衣销售量约为（ ）件．
A．46 B．40 C．38 D．58
【考点】线性回归方程．
【专题】计算题；概率与统计．
【分析】根据所给的表格做出本组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，利用待定系数法做出a的值，可得线性回归方程，根据所给的x的值，代入线性回归方程，预报要销售的件数．
【解答】解：由表格得（，）为：（10，38），
又（，）在回归方程=bx+a中的b=﹣2，
∴38=10×（﹣2）+a，
解得：a=58，
∴=﹣2x+58，
当x=6时，=﹣2×6+58=46．
故选：A．
【点评】本题考查线性回归方程，考查最小二乘法的应用，考查利用线性回归方程预报变量的值，属于中档题．
7．（2016秋•冀州市校级期中）已知向量，满足||=1，=（1，﹣），且⊥（+），则与的夹角为（ ）
A．60° B．90° C．120° D．150°
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【专题】平面向量及应用．
【分析】设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°，由垂直可得数量积为0，可得cosθ，可得夹角．
【解答】解：设与的夹角为θ，0°＜θ＜180°
∵=（1，﹣），∴||=2，
又⊥（+），∴•（+）=0，
∴=0，
∴12+1×2×cosθ=0，
解得cosθ=，
∴θ=120°
故选：C
【点评】本题考查向量的夹角公式，涉及数量积的运算，属基础题．
8．（2016秋•冀州市校级期中）下列有关命题：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”的逆否命题为假命题；②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ；③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充要条件．其中正确的是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【考点】命题的真假判断与应用．
【专题】探究型；定义法；简易逻辑．
【分析】判断原命题的真假，根据互为逆否的两个命题真假性相同，可判断①；写出原命题的否定，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③
【解答】解：①设m∈R，命题“若a＞b，则am2＞bm2”在m=0时不成立，故为假命题，
故它的逆否命题为假命题；即①正确；
②命题p：∃α，β∈R，tan（α+β）=tanα+tanβ的否定￢p：∀α，β∈R，tan（α+β）≠tanα+tanβ，正确；
③设a，b为空间任意两条直线，则“a∥b”是“a与b没有公共点”的充分不必要条件，即③错误．
故选：A．
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了四种命题命题，空间线面关系，充要条件，特称命题的否定等知识点，难度中档．
9．（2016秋•冀州市校级期中）已知某几何体的正（主）视图，侧（左）视图和俯视图均为斜边长为的等腰直角三角形（如图），若该几何体的顶点都在同一球面上，则此球的表面积为（ ）
A．4π B．3π C．2π D．π
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；球内接多面体．
【专题】计算题；数形结合；转化思想．
【分析】由已知可得，该几何体为三棱锥，其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，进而得到答案．
【解答】解：由已知可得，该几何体为三棱锥，
其外接球等同于棱长为1的正方体的外接球，
故球半径R满足2R=，
故球的表面积S=4πR2=3π，
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是球内接多面体，球的体积和表面积，由三视图判断几何体的形状，难度不大，属于基础题．
10．（2013•浙江二模）“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【专题】计算题．
【分析】当时，由诱导公式化简可得图象充分；而当图象重合时可得，k∈Z，由充要条件的定义可得．
【解答】解：当时，可得函数g（x）=sin（x+）=cosx，故图象重合；
当“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”时，
可取，k∈Z即可，
故“”是“函数f（x）=cosx与函数g（x）=sin（x+ϕ）的图象重合”
的充分不必要条件．
故选A
【点评】本题考查充要条件的判断，涉及三角函数的性质，属基础题．
11．（2016秋•冀州市校级期中）已知数列{an}，{bn}满足a1=1，a2=2，b1=2，且对任意的正整数i，j，k，l，当i+j=k+l时，都有ai+bj=ak+bl，则的值是（ ）
A．2012 B．2013 C．2014 D．2015
【考点】等差数列的前n项和；等比数列的前n项和；数列的求和．
【专题】计算题；等差数列与等比数列．
【分析】由已知可得，==a1+b2013，要求原式的值，转化为求解b2013，根据已知可先去b2，b3，b4，据此规律可求
【解答】解：∵i+j=k+l时，都有ai+bj=ak+bl，
则=
=×2013
=a1+b2013
∵a1=1，a2=2，b1=2，
∴a1+b2=a2+b1
∴b2=3
同理可得，b3=a2+b2﹣a1=4
b4=a2+b3﹣a1=5
…
∴b2013=2014
=a1+b2013=2015
即=2015
故选D
【点评】本题 主要考查了数列的求和，解题的关键是发现试题中数列的项的规律
12．（2016•衡水模拟）已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】综合题；转化思想；综合法；立体几何．
【分析】根据题意作出图形，利用截面圆的性质即可求出OO1，进而求出底面ABC上的高SD，即可计算出三棱锥的体积．
【解答】解：根据题意作出图形：
设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为O1，则OO1⊥平面ABC，
延长CO1交球于点D，则SD⊥平面ABC．
∵CO1==，
∴OO1=，
∴高SD=2OO1=，
∵△ABC是边长为1的正三角形，
∴S△ABC=，
∴V=××=，
故选：A．
【点评】本题考查三棱锥的体积，考查学生的计算能力，求出点O到平面ABC的距离，进而求出点S到平面ABC的距离是关键．
13．（2015•日照一模）已知x，y满足，且z=2x+y的最大值是最小值的4倍，则a的值是（ ）
A． B． C． D．4
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，结合目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，建立方程关系，即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z=2x+y得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，
由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点A时，直线的截距最大，
此时z最大，
由，解得
即A（1，1），此时z=2×1+1=3，
当直线y=﹣2x+z经过点B时，直线的截距最小，
此时z最小，
由，解得，
即B（a，a），此时z=2×a+a=3a，
∵目标函数z=2x+y的最大值是最小值的4倍，
∴3=4×3a，
即a=．
故选：B
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．
二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）
14．（2016•通州区一模）（x2+）6的展开式中x3的系数是 20 ．（用数字作答）
【考点】二项式系数的性质．
【专题】计算题；二项式定理．
【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于3，求得r的值，即可求得展开式中x3的系数．
【解答】解：由于（x2+）6的展开式的通项公式为 Tr+1=•x12﹣3r，
令12﹣3r=3，解得r=3，故展开式中x3的系数是=20，
故答案为：20．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
15．（2011•江苏校级模拟）若由不等式组，（n＞0）确定的平面区域的边界为三角形，且它的外接圆的圆心在x轴上，则实数m= ．
【考点】简单线性规划的应用．
【分析】本题主要考查不等式组确定的平面区域与三角形中的相关知识，三角形的外接圆的圆心在x轴上，说明构成的平面区域始终为直角三角形．
【解答】解：由题意，三角形的外接圆的圆心在x轴上
所以构成的三角形为直角三角形
所以直线x=my+n与直线x﹣相互垂直，
所以，解得，
所以，答案为．
【点评】这是不等式与平面几何相结合的问题，属于中档题
16．（2013•自贡模拟）某城市新修建的一条路上有12盏路灯，为了节省用电而又不能影响正常的照明，可以熄灭其中的三盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能相邻的两盏灯，则熄灭灯的方法有 56 种．
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】应用题；排列组合．
【分析】根据题意，先将亮的9盏灯排成一排，分析可得有8个符合条件的空位，用插空法，再将插入熄灭的3盏灯插入8个空位，用组合公式分析可得答案．
【解答】解：本题使用插空法，先将亮的9盏灯排成一排，
由题意，两端的灯不能熄灭，则有8个符合条件的空位，
进而在8个空位中，任取3个插入熄灭的3盏灯，
有C83=56种方法，
故答案为56．
【点评】本题考查组合的应用，要灵活运用各种特殊方法，如捆绑法、插空法．
17．（2016秋•冀州市校级期中）设x、y均为正实数，且，以点（x，y）为圆心，R=xy为半径的圆的面积最小时圆的标准方程为 （x﹣4）2+（y﹣4）2=256 ．
【考点】圆的标准方程．
【专题】计算题．
【分析】由已知的关于x与y的等式，用y表示出x，将表示出的x代入xy中，设z=y﹣1，用z表示出y，代入表示出的xy中，整理后利用基本不等式得到xy的最小值，以及此时z的值，进而确定出此时x与y的值，确定出所求圆的圆心与半径，写出所求圆的标准方程即可．
【解答】解：∵+=1，
∴x=，令z=y﹣1，则y=z+1，
∴xy====z++10≥6+10=16，
当且仅当z=，即z=3时取等号，
此时y=4，x=4，半径xy=16，
则此时所求圆的方程为（x﹣4）2+（y﹣4）2=256．
故答案为：（x﹣4）2+（y﹣4）2=256
【点评】此题考查了圆的标准方程，以及基本不等式的运用，利用了换元的数学思想，求出圆心坐标与半径是解本题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共82分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
18．（10分）（2016秋•冀州市校级期中）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知向量，，且．
（1）求角B的大小；
（2）若b=2，△ABC的面积为，求a+c的值．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；平面向量及应用．
【分析】（1）由已知利用平面向量共线的性质可得，由正弦定理，同角三角函数基本关系式，结合sinA＞0，化简可得，结合B的范围可求B的值．
（2）由已知及三角形面积公式可解得ac=4，进而利用余弦定理整理可求a+c的值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴由正弦定理，得，
∵sinA＞0，
∴，即，
∵0＜B＜π，
∴．
（2）∵由三角形面积公式，得，
∴解得ac=4，
∵由余弦定理，b2=a2+c2﹣2accosB，可得：4=a2+c2﹣2ac×=（a+c）2﹣3ac=（a+c）2﹣12，
∴a+c=4．
【点评】本题主要考查了平面向量共线的性质，正弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．
19．（12分）（2010•全国卷Ⅱ）已知{an}是各项均为正数的等比数列a1+a2=2（），a3+a4+a5=64++）
（Ⅰ）求{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=（an+）2，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】等比数列的通项公式；数列的求和．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意利用等比数列的通项公式建立首项a1与公比q的方程，然后求解即可
（2）由bn的定义求出通项公式，在由通项公式，利用分组求和法即可求解
【解答】解：（1）设正等比数列{an}首项为a1，公比为q，由题意得：∴an=2n﹣1（6分）
（2）
∴bn的前n项和Tn=（12分）
【点评】（1）此问重基础及学生的基本运算技能（2）此处重点考查了高考常考的数列求和方法之一的分组求和，及指数的基本运算性质
20．（12分）（2015•衡阳校级模拟）如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面A1ADD1⊥底面ABCD，D1A=D1D=，底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD，AB⊥AD，AD=2AB=2BC=2，O为AD中点．
（Ⅰ）求证：A1O∥平面AB1C；
（Ⅱ）求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．
【考点】直线与平面平行的判定；用空间向量求平面间的夹角．
【专题】计算题；证明题．
【分析】（Ⅰ）欲证A1O∥平面AB1C，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证A1O与平面AB1C内一直线平行，连接CO、A1O、AC、AB1，利用平行四边形可证A1O∥B1C，又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C，满足定理所需条件；
（Ⅱ）根据面面垂直的性质可知D1O⊥底面ABCD，以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立坐标系，求出平面C1CDD1的一个法向量，以及平面AC1D1的一个法向量，然后求出两个法向量夹角的余弦值即可求出锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值．
【解答】解：（Ⅰ）证明：如图（1），
连接CO、A1O、AC、AB1，（1分）
则四边形ABCO为正方形，所以OC=AB=A1B1，
所以，四边形A1B1CO为平行四边形，（3分）
所以A1O∥B1C，
又A1O⊄平面AB1C，B1C⊆平面AB1C
所以A1O∥平面AB1C（6分）
（Ⅱ）因为D1A=D1D，O为AD中点，所以D1O⊥AD
又侧面A1ADD1⊥底面ABCD，
所以D1O⊥底面ABCD，（7分）
以O为原点，OC、OD、OD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图（2）所示的坐标系，则C（1，0，0），D（0，1，0），D1（0，0，1），A（0，﹣1，0）．（8分）所以，（9分）
设为平面C1CDD1的一个法向量，
由，得，
令z=1，则y=1，x=1，∴．（10分）
又设为平面AC1D1的一个法向量，
由，得，
令z1=1，则y1=﹣1，x1=﹣1，∴，（11分）
则，
故所求锐二面角A﹣C1D1﹣C的余弦值为（12分）
【点评】本题主要考查了线面平行的判定，以及利用空间向量的方法求解二面角等有关知识，同时考查了空间想象能力、转化与划归的思想，属于中档题．
21．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）10双互不相同的鞋子混装在一只口袋中，从中任意取出4只，试求各有多少种情况出现以下结果：
（1）4只鞋子没有成双的；
（2）4只恰好成两双；
（3）4只鞋子中有2只成双，另2只不成双．
【考点】排列、组合及简单计数问题．
【专题】计算题；转化思想；数学模型法；排列组合．
【分析】（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得，
（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，问题得以解决
（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得．
【解答】解：（1）先从10双中取出4双，然后再从每双中取出一只，
结果就是取出的4只鞋子，任何两只都不能配成1双，根据分布计数原理得：C104×2×2×2×2=3360，
（2）4只恰好成两双，从10双中取出2双，故有C102=45，
（3）先从10双中取出1双，再从9双中取出2双，然后再从每双中取出一只，
结果就是4只鞋子中有2只成双，另2只不成双，根据分布计数原理得：C101×C92×2×2=1440．
【点评】本题考查排列、组合及简单计数问题，解题的关键是审清题意，本题考查了推理判断的能力及计数的技巧．
22．（12分）（2013•江苏）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l：y=2x﹣4．设圆C的半径为1，圆心在l上．
（1）若圆心C也在直线y=x﹣1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；
（2）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．
【考点】圆的切线方程；点到直线的距离公式；圆与圆的位置关系及其判定．
【专题】直线与圆．
【分析】（1）联立直线l与直线y=x﹣1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；
（2）设M（x，y），由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围．
【解答】解：（1）联立得：，
解得：，
∴圆心C（3，2）．
若k不存在，不合题意；
若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，
解得：k=0或k=﹣，
则所求切线为y=3或y=﹣x+3；
（2）设点M（x，y），由MA=2MO，知：=2，
化简得：x2+（y+1）2=4，
∴点M的轨迹为以（0，﹣1）为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，
又∵点M在圆C上，C（a，2a﹣4），
∴圆C与圆D的关系为相交或相切，
∴1≤|CD|≤3，其中|CD|=，
∴1≤≤3，
解得：0≤a≤．
【点评】此题考查了圆的切线方程，点到直线的距离公式，以及圆与圆的位置关系的判定，涉及的知识有：两直线的交点坐标，直线的点斜式方程，两点间的距离公式，圆的标准方程，是一道综合性较强的试题．
23．（12分）（2013•宁波模拟）
休假次数
0
1
2
3
人数
5
10
20
15
某单位实行休年假制度三年以来，50名职工休年假的次数进行的调查统计结果如表所示：
根据上表信息解答以下问题：
（1）从该单位任选两名职工，用η表示这两人休年假次数之和，记“函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点”为事件A，求事件A发生的概率P；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，求随机变量ξ的分布列及数学期望Eξ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差；函数的零点；互斥事件的概率加法公式；离散型随机变量及其分布列．
【专题】计算题．
【分析】（1）由题意有函数f（x）=x2﹣ηx﹣1在区间（4，6）上有且只有一个零点，进行等价转化为不等式组解出，在有互斥事件有一个发生的概率公式求解即可；
（2）由题意利用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，利用随机变量的定义及随机变量分布列的定义列出随机变量ξ的分布列，在利用随机变量期望的定义求出其期望．
【解答】解：（1）函数f（x）=x2﹣ηx﹣1过（0，﹣1）点，在区间（4，6）上有且只有一个零点，则必有，解得：η＜，
所以，η=4或η=5
当η=4时，，
当η=5时，，
又η=4与η=5 为互斥事件，由互斥事件有一个发生的概率公式，
所以；
（2）从该单位任选两名职工，用ξ表示这两人休年假次数之差的绝对值，则ξ的可能取值分别是0，1，2，3，
于是
=，
，
，
从而ξ的分布列：
ξ
0
1
2
3
P
ξ的数学期望：．
【点评】此题考查了学生对于题意的理解能力及计算能力，还考查了互斥事件一个发生的概率公式及离散型随机变量的定义及其分布列和期望的定义与计算．
24．（12分）（2016秋•冀州市校级期中）如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，H是正方形AA1B1B的中心，AA1=2，C1H⊥平面AA1B1B，且C1H=．
（1）求异面直线AC与A1B1所成角的余弦值；
（2）求二面角A﹣A1C1﹣B1的正弦值．
【考点】用空间向量求平面间的夹角；直线与平面所成的角；二面角的平面角及求法．
【专题】空间角；空间向量及应用．
【分析】（1）通过建立空间直角坐标系，利用异面直线的方向向量的夹角即可得出；
（2）先求出两个平面的法向量的夹角即可得出二面角的余弦值．
【解答】解：如图所示，建立空间直角坐标系，点B为坐标原点．
依题意得，B（0，0，0），，，
，．
（1）易得
于是===．
∴异面直线AC与A1B1所成角的余弦值为．
（2）易知．
设平面AA1C1的法向量，则，即，
不妨令，则z=，可得．
同样可设面A1B1C1的法向量，得．
于是===，∴．
∴二面角A﹣A1C﹣B1的正弦值为．
【点评】熟练掌握通过建立空间直角坐标系并利用异面直线的方向向量的夹角求异面直线所成的角、两个平面的法向量的夹角求二面角的方法是解题的关键．