2020年高中数学第二章解三角形章末综合检测北师大版必修5 9页

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2021-06-01 发布

2020年高中数学第二章解三角形章末综合检测北师大版必修5

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第二章解三角形章末综合检测(二)‎ ‎(时间：120分钟，满分：150分)‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知锐角三角形的边长分别为1，3，a，则a的取值范围是(　　)‎ A．(8，10)　　　　　　 B．(2，)‎ C．(2，10) D．(，8)‎ 解析：选B.依题意，三角形为锐角三角形，则，解得20，所以C是锐角．‎ 所以cos C＝.因为·＝，所以abcos C＝，所以ab＝20.又因为a＋b＝9，所以a2＋2ab＋b2＝81，所以a2＋b2＝41，所以c2＝a2＋b2－2abcos C＝36，所以c＝6，故选C.‎ ‎6．在△ABC中，若A＝120°，AB＝5，BC＝7，则的值为(　　)‎ A. B． C. D．解析：选D.由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，‎ 即72＝52＋AC2－‎10AC·cos 120°，‎ 所以AC＝3(负值舍去)．由正弦定理得＝＝.‎ ‎7．已知圆的半径为4，a，b，c为该圆的内接三角形的三边，若abc＝16，则三角形的面积为(　　)‎ A．2 B．8 C. D．解析：选C.因为＝＝＝2R＝8，‎ 所以sin C＝，‎ 所以S△ABC＝absin C＝＝＝.‎ ‎8．在△ABC中，AB＝3，A＝60°，AC＝4，则边BC上的高是(　　)‎ A. B． C. D．解析：选B.由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A，因为AB＝3，AC＝4，A＝60‎ 9‎ ‎°，‎ 所以BC＝，设边BC上的高为h，‎ 所以S△ABC＝BC·h＝AB·AC·sin A，‎ 即·h＝×3×4×，所以h＝.‎ ‎9．在△ABC中，已知∠C＝60°，＋＝(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选A.＋＝ ‎＝(※)‎ 因为∠C＝60°，所以a2＋b2－c2＝2abcos C＝ab，‎ 所以a2＋b2＝ab＋c2代入(※)式得＝1.‎ ‎10.某班设计了一个八边形的班徽(如图)，它由腰长为1，顶角为α的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成，该八边形的面积为(　　)‎ A．2sin α－2cos α＋2‎ B．sin α－cos α＋3‎ C．3sin α－cos α＋1‎ D．2sin α－cos α＋1‎ 解析：选A.四个等腰三角形的面积之和为4××1×1×sin α＝2sin α，再由余弦定理可得正方形的边长为＝，故正方形的面积为2－2cos α，所以所求八边形的面积为2sin α－2cos α＋2.‎ ‎11．在△ABC中，B＝30°，AB＝2，AC＝2，则△ABC的面积为(　　)‎ A．2 B． C．2或4 D．或2 解析：选D.如图，因为AD＝AB·sin B＝<2，所以BD＝AB·cos B＝3，‎ CD＝＝1，‎ C′D＝＝1.‎ 所以BC＝3－1＝2，BC′＝3＋1＝4，‎ 故△ABC有两解，‎ 9‎ S△ABC＝BC·AD＝或S△ABC′＝BC′·AD＝2.‎ ‎12．某小区的绿化地有一个三角形的花圃区，若该三角形的三个顶点分别用A，B，C表示，其对边分别为a，b，c，且满足(2b－c)cos A－acos C＝0，则在A处望B，C所成的角的大小为(　　)‎ A. B． C. D．解析：选B.在△ABC中，(2b－c)cos A－acos C＝0，结合正弦定理得2sin Bcos A－sin Ccos A－sin Acos C＝0，即2sin Bcos A－sin(A＋C)＝0，即2sin Bcos A－sin B＝0.又因为A，B∈(0，π)，所以sin B≠0，所以cos A＝，所以A＝，即在A处望B，C所成的角的大小为.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知△ABC的面积S＝，A＝，则·＝________．‎ 解析：S△ABC＝·AB·AC·sin A，‎ 即＝·AB·AC·，‎ 所以AB·AC＝4，‎ 于是·＝||·||·cos A ‎＝4×＝2.‎ 答案：2‎ ‎14．在△ABC中，若b＝a，B＝‎2A，则△ABC为________三角形．‎ 解析：由正弦定理知 sin B＝sin A，‎ 又因为B＝‎2A，所以sin ‎2A＝sin A，‎ 所以2sin Acos A＝sin A，‎ 所以cos A＝，所以A＝45°，B＝90°.‎ 故△ABC为等腰直角三角形．‎ 答案：等腰直角 ‎15．在锐角△ABC中，BC＝1，B＝‎2A，则的值等于________，AC 9‎ 的取值范围为________．‎ 解析：设A＝θ⇒B＝2θ.‎ 由正弦定理得＝，‎ 所以＝1⇒＝2.‎ 由锐角△ABC得0°<2θ<90°⇒0°<θ<45°.‎ 又0°<180°－3θ<90°⇒30°<θ<60°，‎ 故30°<θ<45°⇒，所以∠MAO＝，‎ 所以∠ABO＝α－，因为tan α＝2，‎ 所以sin α＝，cos α＝，‎ 所以sin∠ABO＝sin＝，‎ 又∠AOB＝π－α，‎ 所以sin∠AOB＝sin(π－α)＝，‎ 在△AOB中，AO＝15，‎ 由正弦定理得，＝，即＝，‎ 所以AB＝30，即铁路AB段的长为‎30 km.‎ 9‎

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