2020高中数学 课时分层作业4 解三角形的实际应用举例 新人教A版必修5 7页

课时分层作业(四)　解三角形的实际应用举例 ‎(建议用时：40分钟)‎ ‎[学业达标练]‎ 一、选择题 ‎1．学校体育馆的人字屋架为等腰三角形，如图129，测得AC的长度为‎4 m，∠A＝30°，则其跨度AB的长为(　　)‎ ‎ ‎ 图129‎ A．‎12 m　　　　　　 B．‎‎8 m C．‎3 m D．‎4 m D　[由题意知，∠A＝∠B＝30°，‎ 所以∠C＝180°－30°－30°＝120°，‎ 由正弦定理得，＝，‎ 即AB＝＝＝4.]‎ ‎2．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为(　　) ‎ ‎【导学号：91432052】‎ A. n mile/h B．34 n mile/h C. n mile/h D．34 n mile/h A　[如图所示，在△PMN中，＝，‎ ‎∴MN＝＝34，‎ ‎∴v＝＝ n mile/h.]‎ ‎3．如图1210，要测量河对岸A，B两点间的距离，今沿河岸选取相距‎40米的C，D两点，测得∠ACB＝60°，∠BCD＝45°，∠ADB＝60°，∠ADC＝30°，则A，B间距离是(　　)‎ - 7 -‎ 图1210‎ A．‎20‎米 B．‎20‎米 C．‎20‎米 D．‎40‎米 C　[可得DB＝DC＝40，由正弦定理得AD＝20(＋1)，∠ADB＝60°，所以在△ADB中，由余弦定理得AB＝20(米)．]‎ ‎4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点‎20 m，则建筑物高度为(　　) ‎ ‎【导学号：91432053】‎ A．‎20 m B．‎‎30 m C．‎40 m D．‎‎60 m C　[如图，设O为顶端在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20，‎ 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60，∴AB＝OA－OB＝40(m)．]‎ ‎5．如图1211所示，在地面上共线的三点A，B，C处测得一建筑物的仰角分别为30°，45°，60°，且AB＝BC＝‎60 m，则建筑物的高度为(　　) ‎ ‎【导学号：91432054】‎ 图1211‎ A．‎15 m B．‎20 m C．‎25 m D．‎30 m D　[设建筑物的高度为h，由题图知，‎ PA＝2h，PB＝h，PC＝h，‎ ‎∴在△PBA和△PBC中，分别由余弦定理，‎ 得cos∠PBA＝， ①‎ cos∠PBC＝. ②‎ - 7 -‎ ‎∵∠PBA＋∠PBC＝180°，‎ ‎∴cos∠PBA＋cos∠PBC＝0. ③‎ 由①②③，解得h＝30或h＝－30(舍去)，即建筑物的高度为‎30 m．]‎ 二、填空题 ‎6．有一个长为‎1千米的斜坡，它的倾斜角为75°，现要将其倾斜角改为30°，则坡底要伸长________千米．‎ 　[如图，∠BAO＝75°，∠C＝30°，AB＝1，‎ ‎∴∠ABC＝∠BAO－∠BCA＝75°－30°＝45°.‎ 在△ABC中，＝，‎ ‎∴AC＝＝＝(千米)．]‎ ‎7．如图1212，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝‎1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________ km. ‎ ‎【导学号：91432055】‎ 图1212‎ 　[在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝2×1×＝(km)．]‎ ‎8．如图1213所示，为测量一树的高度，在地面上选取A，B两点，从A，B两点测得树尖的仰角分别为30°和45°，且A，B两点之间的距离为‎60 m，则树的高度为________m.‎ 图1213‎ ‎30＋30　[由正弦定理可得＝，‎ - 7 -‎ 则PB＝＝(m)，设树的高度为h，则h＝PBsin 45°＝(30＋30)m.]‎ 三、解答题 ‎9.在某次军事演习中，红方为了准确分析战场形势，在两个相距为的军事基地C处和D处测得蓝方两支精锐部队分别在A处和B处，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如图1214所示，求蓝方这两支精锐部队的距离．‎ 图1214‎ ‎[解]　法一：∵∠ADC＝∠ADB＋∠CDB＝60°，‎ 又∵∠ACD＝60°，‎ ‎∴∠DAC＝60°.‎ ‎∴AD＝CD＝a.‎ 在△BCD中，∠DBC＝180°－30°－105°＝45°，‎ ‎∵＝，‎ ‎∴BD＝CD·＝a·＝a，在△ADB中，‎ ‎∵AB2＝AD2＋BD2－2·AD·BD·cos∠ADB＝a2＋2－2×a·a·＝a2.‎ ‎∴AB＝a.‎ ‎∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.‎ 法二：同法一，得AD＝DC＝AC＝a.‎ 在△BCD中，∠DBC＝45°，‎ ‎∴＝.‎ ‎∴BC＝a.‎ - 7 -‎ 在△ABC中，∵AB2＝AC2＋BC2－‎2AC·BC·cos 45°‎ ‎＝a2＋a2－2×a·a·＝a2，‎ ‎∴AB＝a.‎ ‎∴蓝方这两支精锐部队的距离为a.‎ ‎10．江岸边有一炮台高‎30 m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45°和30°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，求两条船之间的距离. ‎ ‎【导学号：91432056】‎ ‎[解]　如图所示，∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°.‎ ‎∵AB＝30(m)，‎ ‎∴BC＝30(m)，‎ 在Rt△ABD中，BD＝＝30(m)．‎ 在△BCD中，CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，‎ ‎∴CD＝30(m)，即两船相距‎30 m.‎ ‎[冲A挑战练]‎ ‎1．如图1215，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是‎60 m，则河流的宽度BC是(　　) ‎ ‎【导学号：91432057】‎ 图1215‎ A．240(－1) m B．180(－1) m C．120(－1) m D．30(＋1) m C　[由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝‎60 m，‎ ‎∴AC＝‎120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝＝＝120(－1)(m)．]‎ ‎2．如图1216所示，要测量底部不能到达的某电视塔AB的高度，在塔的同一侧选择C，D - 7 -‎ 两个观测点，且在C，D两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得∠BCD＝120°，C，D两地相距‎500 m，则电视塔AB的高度是(　　)‎ 图1216‎ A．‎100 m B．‎‎400 m C．‎200 m D．‎‎500 m D　[设AB＝x，在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，∴BC＝AB＝x.在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，∴BD＝x.在△BCD中，∠BCD＝120°，CD＝‎500 m，由余弦定理得(x)2＝x2＋5002－2×500xcos 120°，解得x＝‎500 m．]‎ ‎3．台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为________小时. ‎ ‎【导学号：91432058】‎ ‎1　[设A地东北方向上存在点P到B的距离为‎30千米，AP＝x，在△ABP中，PB2＝AP2＋AB2－2AP·AB·cosA，‎ 即302＝x2＋402－2x·40cos 45°，‎ 化简得x2－40x＋700＝0，‎ ‎|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝400，‎ ‎|x1－x2|＝20，‎ 即图中的CD＝20(千米)，‎ 故t＝＝＝1(小时)．]‎ ‎4．甲船在A处观察乙船，乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船正向北行驶，若甲船的速度是乙船的倍，则甲船应沿________方向行驶才能追上乙船；追上时甲船行驶了________ n mile. ‎ ‎【导学号：91432059】‎ 北偏东30°　a　[如图所示，设在C处甲船追上乙船，乙船到C处用的时间为t，乙船的速度为v，则BC＝tv，AC＝tv，又B＝120°，则由正弦定理＝，得＝，∴sin∠CAB＝，‎ ‎∴∠CAB＝30°，∴甲船应沿北偏东30°方向行驶．又∠ACB＝180°－120°－30°＝30°，‎ ‎∴BC＝AB＝a n mile，‎ - 7 -‎ ‎∴AC＝ ‎＝＝a(n mile)]‎ ‎5．山东省第三次农业普查农作物遥感测量试点工作，用上了无人机．为了测量两山顶M，N间的距离，无人机沿水平方向在A，B两点进行测量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内(如图1217)，无人机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在图中标出)；②用文字和公式写出计算M，N间的距离的步骤．‎ 图1217‎ ‎[解]　方案一：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N的俯角α2，β2；A，B间的距离d.‎ ‎②第一步：计算AM.由正弦定理AM＝；‎ 第二步：计算AN.由正弦定理AN＝；‎ 第三步：计算MN.由余弦定理 MN＝.‎ 方案二：①需要测量的数据有：A点到M，N点的俯角α1，β1；B点到M，N点的俯角α2，β2；A，B间的距离d.‎ ‎②第一步：计算BM.由正弦定理BM＝；‎ 第二步：计算BN.由正弦定理BN＝；‎ 第三步：计算MN.由余弦定理 MN＝.‎ - 7 -‎