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- 2021-05-31 发布
云南师大附中2017届月考卷（三）文数
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、 选择题（本大题有12小题，每小题5分，共60分）
1.设函数的定义域为集合，集合，则 （ ）
A. B. C. D.
2．已知复数，是的共轭复数，则为 （ ）
A. B. C. D.
3.《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一，书中有这样一题：把120个面包分成5份，使每份的面包数成等差数列，且较多的三份之和恰好是较少的两份之和的7倍，则最多的那份有面包（ ）
A. 43个 B. 45个 C. 46个 D. 48个
4.下列说法正确的是 （ ）
A.若命题，为真命题，则命题为真命题
B.“若，则”的否命题是“若，则”
C. 若命题：“”的否定：“”
D.若时定义在R上的函数，则“是是奇函数”的充要条件
5.若正整数除以正整数后的余数为，则记为，例如.如图1所示的程序框图的算法源于我国古代闻名中外的《中国剩余定理》，执行该程序框图，则输出的 （ ）
A. 16 B. 17 C. 19 D. 15
6.平面内有三个向量，其中向量的夹角为90°，且，若，则（ ）
A. 2 B. 4 C. 8 D. 12
7. 已知双曲线,曲线在点处的切线方程为，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A. B. C. D.
8. 已知公差不为0的等差数列满足成等比数列，为的前项和，则的值为 （ ）
A. B. C. D.
9. 某四棱锥的三视图如图2所示，则该四棱锥的外接球的表面积是 （ ）
A. B. C. D.
10. 在区间内任取两个数，则满足的概率是 （ ）
A. B. C. D.
11. 已知定义在上的函数满足：函数的图像关于直线对称，且当时，（是函数的导函数）成立.若
，则的大小关系是 （ ）
A. B. C. D.
12. 在锐角中，,若动点满足,则点的轨迹与直线所围成的封闭区域的面积为 （ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
一、 填空题（共4个小题，每小题5分，共20分）
13. 设则
14. 已知倾斜角为的直线与直线垂直，则=
15.记函数的导数为，的导数为，……，的导数为.若可进行次求导，则均可近似表示为：，若取，根据这个结论，则可近似估计 （用分数表示）.
16. 设数列为等差数列，且，若，记，则数列的前21项和为
三、解答题（共70分）
17.在中，角所对的边分别为.向量,且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，求边的最小值.
18.如图3甲，在直角梯形中，是的中点，是与的交点，将沿折起到的位置，如图乙.
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若平面，求点与平面的距离.
19. “一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称.某市为了了解人们对“一带一路”的认知程度，对不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（90分及以上为认知程度高），现从参赛者中抽取了人，按年龄分成5组（第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：），得到如图4所示的频率分布直方图，已知第一组有6人.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求抽取的人的年龄的中位数（结果保留整数）；
（Ⅲ）从该市大学生、军人、医务人员、工人、个体户五种人中用分层抽样的方法依次抽取6人，42人，36人，24人，12人，分别记为1~5组，从这5个按年龄分的组和5个按职业分的组中每组各选派1人参加知识竞赛代表相应组的成绩，年龄组中1~5组的成绩分别为93,96,97,94,90，职业组中1~5组的成绩分别为93,98,94,95,90.
（ⅰ）分别求5个年龄组和5个职业组成绩的平均数和方差；
（ⅱ）以上述数据为依据，评价5个年龄组和5个职业组对“一带一路”的认知程度，并谈谈你的感想.
20.已知椭圆的左、右焦点分别为，椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）与抛物线相切于第一象限的直线，与椭圆交于两点，与轴交于点，线段的垂直平分线与轴交于点，求直线斜率的最小值.
21.设函数.
（Ⅰ）若，判断函数的单调性；
（Ⅱ）若函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当时，关于的方程在上恰有两个不相等的实数根，求实数的取值范围.
22. 〖选修4—4：坐标系与参数方程〗
在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，它在点处的切线为直线.
（Ⅰ）求直线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点为椭圆上一点，求点到直线的距离的取值范围.
23.〖选修4-5：不等式选讲〗
已知函数
（Ⅰ）当时，求不等式的解集；
（Ⅱ）若的解集包含，求的取值范围.
云南师大附中2017届高考适应性月考卷（三）
文科数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
B
C
C
B
D
A
A
C
B
A
A
【解析】
1．，，则A∩B=，故选D．
2．，∴故选B．
3．把每个人得到的面包数按由少到多的顺序记为，设公差为，则有①，②，联立①②解得，，故选C．
4．选项A中命题为假命题，选项B中命题的否命题应为“若则”，选项D中结论应为必要不充分条件，故选C．
5．选项中被5和3除后的余数为2的数为17，故选B．
6．由与的夹角为可建立平面直角坐标系，则，，得，则，得，故选D．
7．∵在点(0，2)处的切线方程为：∴，渐近线方程为，故选A．
8．由已知设公差为则，，故选A．
图1
9．由三视图知四棱锥为长方体的一部分，如图1，所以外接球的直径，所以，所以四棱锥的外接球的表面积是，故选C．
图2
10．如图2，由题意，，所以基本事件空间是边长为1的正方形，所以，满足的事件A的区域是梯形区域，，根据几何概型得：所求概率为，故选B．
11．易知关于轴对称，设，当时，，∴在上为递减函数，且为奇函数，∴ 是R上的递减函数，∵，
∴即，故选A．
12．取AB的中点D，则∴三点共线，P的轨迹为CD.∵∴由正弦定理：由B=(A+C)=故点的轨迹与直线所围成的封闭区域的面积为故选A．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号
13
14
15
16
答案
21
【解析】
13．∴．
14．由已知∴．
15．设则∴故当时，．
16．由题意，易知关于中心对称，数列为等差数列，故，且，故数列的前21项和．
三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由可得
由正弦定理得：
即
∵∴∴. ………………………（6分）
（Ⅱ）
又当且仅当时，取等号，
∴． …………………………………………（12分）
18．（本小题满分12分）
（Ⅰ）证明：在图3甲中，∵AB=BC=1，AD=2，E是AD的中点，∠BAD=错误！未找到引用源。，
∴BE⊥AC，即在图乙中，BE⊥OA1，BE⊥OC．
图3
又OA1∩OC=O，∴BE⊥平面A1OC．
∵BC∥DE，BC=DE，
∴BCDE是平行四边形，
∴CD∥BE，∴CD⊥平面A1OC． …………………………（6分）
（Ⅱ）解：由已知，平面A1BE⊥平面BCDE，BE⊥OA1，
∴平面BCDE，∴，
∴，又由（Ⅰ）知，BE⊥平面A1OC，A1C平面A1OC，
∴．
∵CD∥BE，∴．
设B到平面A1CD的距离为，
由得，
∴，故B到平面A1CD的距离为． ………………………………（12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）根据频率分布直方图得第一组频率为
∴∴． ……………………………………（
2分）
（Ⅱ）设中位数为则
∴
∴中位数为32． …………………………………………（5分）
（Ⅲ）（i）5个年龄组的平均数为
方差为，
5个职业组的平均数为
方差为． …………（10分）
（ii）评价：从平均数来看两组的认知程度相同，从方差来看年龄组的认知程度更好.
感想：结合本题和实际，符合社会主义核心价值观即可． ………………………（12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，
∴，将点坐标代入椭圆方程可得．
又，联立可解得，，
所以椭圆的方程为． ………………………………（4分）
（Ⅱ）设切点坐标为，则l：．
整理，得l：
∴
设，
联立直线方程和椭圆方程可得，
∴
∴的中点坐标为， ………………………………（7分）
∴的垂直平分线方程为令x=0，得
即∴．
∵∴，
当且仅当时取得等号．
∴直线MN的斜率的最小值为． ………………………………（12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）．
∵时，由，
得∴，
故在内递增，
在和内递减． ………………………………（4分）
（Ⅱ）函数的定义域为，依题意在时恒成立，
即在时恒成立，
则在时恒成立，即，
∴a的取值范围是． …………………………………（8分）
（Ⅲ），，即．
设，
则．
列表：
1
2
4
+
0
−
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
∵方程在上恰有两个不相等的实数根，
则，
∴的取值范围为． …………………………………（12分）
22．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】
解：（Ⅰ）∵曲线的极坐标方程为，
∴，
∴曲线的直角坐标方程为，
∴，又的直角坐标为(2，2)，
∴曲线在点(2，2)处的切线方程为，
即直线的直角坐标方程为． …………………………………（5分）
（Ⅱ）为椭圆上一点，设，
则到直线的距离，
当时，有最小值0．
当时，有最大值．
∴到直线的距离的取值范围为． ……………………………（10分）
23．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】
解：（Ⅰ）当时，
不等式，即．
当时，由，解得；
当时，由，解得，故不等式无解；
当时，由，解得．
综上，的解集为． ………………………（5分）
（Ⅱ）等价于．
当时，等价于，即，
若的解集包含，
则
即．
故满足条件的的取值范围为． ……………………………（10分）