2017-2018学年四川省眉山一中高二下学期期中考试数学（文）试题-解析版 14页

绝密★启用前 四川省眉山一中2017-2018学年高二下学期期中考试数学（文）试卷 注意事项：‎ ‎1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题）‎ 请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．东方中学共有160名教职工，其中一般教师120名，行政人员16名，后勤人员24名．为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，用分层抽样抽取一个容量为20的样本，则应抽取的后勤人员人数是（ ）．‎ A. 3 B. 2 C. 15 D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据分层抽样的定义知：教师，行政人员，后勤人员的人数比为，由样本容量为20，计算可得答案．‎ 详解：∵某校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名 ∴教师，行政人员，后勤人员抽取的比例应为， ∴抽取一个容量为20的样本中后勤人员应抽人数为3 故选A．‎ 点睛：本题考查了分层抽样方法，解简单的比例方程，属于基础题．‎ ‎2．复数=‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：利用复数的除法法则运算即可.‎ 详解：由题 ‎ 点睛：本题考查复数的运算，属基础题.‎ ‎3．关于右侧茎叶图的说法，结论错误的一个是（　　）‎ A. 甲的极差是29 B. 甲的中位数是25‎ C. 乙的众数是21 D. 甲的平均数比乙的大 ‎【答案】B ‎【解析】分析：通过茎叶图找出甲的最大值及最小值求出极差判断出A正确； 找出甲中间的两个数，求出这两个数的平均数即数据的中位数，判断出B错误，根据众数的定义判断C正确； 根据图的集中于离散程度，判断出甲的平均值比乙的平均值大，判断出D正确；‎ 详解：由茎叶图知， 甲的最大值为37，最小值为8，所以甲的极差为29，A正确； 甲中间的两个数为22，24， 所以甲的中位数为，B错误； 乙的数据中出现次数最多的是21，所以众数是21，C正确； 甲命中个数集中在20以上，乙命中个数集中在10和20之间， 所以甲的平均数大，D正确． 故选：B．‎ 点睛：本题考查了利用茎叶图中的数据计算极差、中位数、众数和平均数的应用问题，是基础题．‎ ‎4．进入互联网时代，经常发送电子邮件，一般而言，发送电子邮件要分成以下几个步骤：(a)．打开电子邮件；(b)输入发送地址；(c)输入主题；(d)输入信件内容；(e)点击“写邮件”；（f）点击“发送邮件”；正确的步骤是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：发电子邮件的操作步骤：第一步a..打开电子信箱；第二步：e．点击“写邮件”；等．依次操作，不能颠倒．‎ 详解：发电子邮件的操作步骤： 第一步a..打开电子信箱； 第二步：e．点击“写邮件”；等． 依次操作，不能颠倒． 则正确顺序为：.‎ 点睛：本题主要考查绘制简单实际问题的流程图，注意发电子邮件的步骤，步骤不能颠倒．‎ ‎5．下列说法正确的是 ( )‎ A. 某事件发生的概率为1.1 B. 对立事件也是互斥事件 C. 不能同时发生的的两个事件是两个对立事件 D. 某事件发生的概率是随着实验次数的变化而变化的 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据事件发生的概率的范围是判断A是否正确；‎ 根据对立事件的定义判定B是否正确； 根据互斥事件与对立事件的定义，判断C是否正确； 根据事件发生的概率的定义判断D是否正确．‎ 详解：：∵事件发生的概率的范围是∴A错误；‎ ‎∵互斥事件A、B，必有一个发生，则事件A、B为对立事件，∴B正确； ‎ ‎∵不能同时发生的两个事件是互斥事件，不一定是对立事件，∴C错误； 根据概率的定义，事件发生的概率是固定值，∴不随着实验次数的变化而变化，∴D错误． 故选B．‎ 点睛：本题考查了互斥事件、对立事件的定义，考查了事件发生的概率的含义，正确理解概念是解答问题的关键．‎ ‎6．用反证法证明命题：“若，则函数至少有一个零点”时，假设应为（　　）‎ A. 函数没有零点 B. 函数有一个零点 C. 函数有两个零点 D. 函数至多有一个零点 ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据原命题写出命题的否定，得出结论．‎ 详解：原命题的否定为：若，则函数没有零点”． 故选：A．‎ 点睛：本题考查了反证法与命题的否定，属于基础题．‎ ‎7．下列说法中正确的是( )‎ A. 先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是分层抽样法 B. 线性回归直线不一定过样本中心点 C. 若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的值越接近于1‎ D. 若一组数据1、、3的平均数是2，则该组数据的方差是 ‎【答案】D ‎【解析】对于，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为，然后抽取编号为的学生，这样的抽样方法是系统抽样，故错误；对于，线性回归直线一定过样本中心点，故错误；对于，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故错误；对于，若一组数据1、、3的平均数是2，则，则该组数据的方差是，故正确 故选 ‎8．为了研究高中学生对乡村音乐的态度（喜欢和不喜欢两种态度）与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算K2=8.01，附表如下：‎ P（K2≥k0）‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ 参照附表，得到的正确的结论是（　　）‎ A. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”‎ B. 有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别无关”‎ C. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别有关”‎ D. 在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“喜欢乡村音乐与性别无关”‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由题目所给数据，结合独立检验的规律可作出判断．‎ 详解：： ∴在犯错误概率不超过0.1的前提下认为“喜欢乡村音乐与性别有关”， 即有99%以上的把握认为“喜欢乡村音乐与性别有关”． 故选A．‎ 点睛：本题考查独立检验的实际应用，属基础题．‎ ‎9．某广播电台只在每小时的整点和半点开始播送新闻，时长均为5分钟，则一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台，能听到新闻的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：电台在每小时的整点和半点开始播送新闻，事件总数包含的时间长度是30，一个人只有在播送新闻的5分钟时间内打开收音机收听该电台，才能听到新闻，由测度比为长度比得答案．‎ 详解：由题意知这是一个几何概型， ∵电台在每小时的整点和半点开始播送新闻， ∴事件总数包含的时间长度是30， ∵时长均为5分钟， ∴一个人在不知道时间的情况下打开收音机收听该电台， 能听到新闻的概率是 ． 故选C．‎ 点睛：本题考查了几何概型，正确理解题意是关键，是基础题．‎ ‎10．已知 ，是虚数单位，则“”是“复数为纯虚数”的（ ）‎ A. 充分必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：时，复数为纯虚数，因此“”是“复数为纯虚数”的必要而不充分条件．故选B．‎ 考点：充分必要条件．‎ 视频 ‎11．函数f(x)在其定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象为(　　)‎ ‎ B.‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据函数单调性和导数之间的关系即可得到结论．‎ 详解：由的图象知，有两个极值点，则的图象与轴应有两个交点， 又由增减性知，函数先单调递增，然后单调递减，最后单调递增，对于的导数的符号为正，负，正， 对应选D项． 故选：D．‎ 点睛：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性和导数符号之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎12．已知点P在曲线上，为曲线在点P处切线的倾斜角，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：由导函数的几何意义可知函数图象在切点处的切线的斜率值即为其点的导函数值，结合函数的值域的求法利用基本不等式求出的范围，再根据，结合正切函数的图象求出角的范围．‎ 详解：根据题意得 ‎ ‎ 且， 则曲线上切点处的切线的斜率 ， 又 ，结合正切函数的图象如图所示， 由图可得 ‎ 故选A．‎ 点睛：本题考查了导数的几何意义，以及利用正切函数的图象求倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若，则＝________.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】分析：根据导数的定义可得．‎ 详解：根据函数在处导数的定义知， ‎ 即答案为1.‎ 点睛：本题主要考查了函数在某一点处导数的定义，合理进行恒等变形是解决本题的关键，属基础题．‎ ‎14．如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是_____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设正方形的边长为，则黑色部分的面积为：，‎ 结合几何概型的计算公式可得，满足题意的概率值为：.‎ ‎15．观察如图，则第__行的各数之和等于20172．‎ ‎【答案】1009‎ ‎【解析】分析：由题意及所给的图形找准其排放的规律，利用等差数列的通项及其前n项和公式即可求解．‎ 详解：由题意及所给的数据排放规律如下： ①第一行一个数字就是1；第二行3个数字，构成以2为首项，以1为公差的等差数列；第三行5个数字，构成以3为首项，以1为公差的等差数列… ②第一行的最后一项为1；第二行的最后一项为4；第三行的最后一项为7… ③所给的图形中的第一列构成以1为首项，以1为公差的等差数列； ④有图形可以知道第行构成以为首项，以1为公差的等差数列，有等差数列的通项公式给以知道第行共个数； 由以上的规律及等差数列的知识可以设第行的所有数的和为 ， 列出式为 ‎ ‎.‎ 故答案为1009．‎ 点睛：此题重点考查了准确由图抽取信息考查了学生的观察能力，还考查了等差数列的通项公式及等差数列的前n项和的公式的准确应用．‎ ‎16．以下四个命题错误的序号为_______‎ ‎(1) 样本频率分布直方图中小矩形的高就是对应组的频率.‎ ‎(2) 过点P(2,-2)且与曲线相切的直线方程是.‎ ‎(3) 若样本的平均数是5，方差是3，则数据的平均数是11，方差是12.‎ ‎(4) 抛掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”是对立事件.‎ ‎【答案】（1）（2）（4）‎ ‎【解析】分析：(1)频率分布直方图中每个小矩形的高不该组的频率值；‎ ‎(2)先考虑点是切点的情形，求出切线方程，然后设切点为（x0，y0），根据切点与点（2，-2）的斜率等于切线的斜率建立等量关系，解之即可求出切点，从而求出切线方程．‎ 对于(3)，利用平均数与方差的性质分别进行解答即可得出答案．‎ 对于(4)，由对立事件的定义可知其错误.‎ 详解：对于(1)，频率分布直方图中每个小矩形的高是该组的频率与组距的比值，∴(1)错误；‎ 对于(2), 设直线 又∵直线与曲线均过点 ，于是直线 与曲线 相切于切点 时， ‎ 若直线与曲线切于点 则 ‎ 又 故直线的方程为或．故(2)错；‎ 对于(3)，若样本的平均数是5，方差是3，则数据的平均数是 ，方差是.故(3)正确；‎ 对于(4)，掷一颗质地均匀的骰子，事件“向上点数不大于4”和事件“向上点数不小于3”不是对立事件.故（4）错误.‎ 故选（1）（2）（4）‎ 点睛：本题考查了频率分布直方图的应用问题，考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查了样本平均数，方差，考查了对立事件的定义，是基础题..‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数z=（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R）‎ ‎（1）若复数z为纯虚数，求实数m的值；‎ ‎（2）若复数z在复平面内的对应点位于第二象限，求 |z| 的最小值．‎ ‎【答案】（1）m=1；（2） .‎ ‎【解析】分析：（1）利用纯虚数的定义即可得出． （2）利用复数模的计算公式、几何意义即可得出．‎ 详解：‎ ‎（1）∵z=（m﹣1）+（2m+1）i（m∈R）为纯虚数，‎ ‎∴m﹣1=0且2m+1≠0∴m=1‎ ‎（2）z在复平面内的对应点为（m﹣1，2m+1））‎ 由题意：，∴．‎ 即实数m的取值范围是.‎ 而|z|===，‎ 当时， =．‎ 点睛：本题考查了纯虚数的定义、复数模的计算公式、几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ ‎18．已知函数 ‎（1）分别求 的值； ‎ ‎（2）归纳猜想一般性结论，并给出证明．‎ ‎【答案】（1）1；（2）1.‎ ‎【解析】分析：（1）利用函数表达式，能求出 的值．‎ ‎（2）由，利用函数性质能证明是定值1．‎ 详解：‎ ‎（Ⅰ） ‎ ‎（Ⅱ）猜想：‎ 证明：∵， ∴ ‎ ‎∴ ∴ ‎ 点睛：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．‎ ‎19．已知函数的图象过点，且在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求和的值； （2）求函数的解析式．‎ ‎【答案】（1）6；（2）f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2.‎ ‎【解析】分析：（1）利用切线方程得到斜率，求出点的坐标即可． （2）利用点的坐标切线的斜率，曲线经过的点列出方程组求法即可．‎ 详解：‎ ‎（1）∵f（x）在点M（﹣1，f（﹣1））处的切线方程为6x﹣y+7=0．‎ 故点（﹣1，f（﹣1））在切线6x﹣y+7=0上，且切线斜率为6．‎ 得f（﹣1）=1且f′（﹣1）=6．‎ ‎（2）∵f（x）过点P（0，2）‎ ‎∴d=2‎ ‎∵f（x）=x3+bx2+cx+d ‎∴f′（x）=3x2+2bx+c 由f′（﹣1）=6得3﹣2b+c=6‎ 又由f（﹣1）=1，得﹣1+b﹣c+d=1‎ 联立方程得 故f（x）=x3﹣3x2﹣3x+2‎ 点睛：本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的解析式的求法，考查计算能力．‎ ‎20．某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄，整理后画出的频率分布直方图如图所示.‎ ‎（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；‎ ‎（2）若已从年龄在的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率.‎ ‎【答案】（1）37；（2）2人在不同年龄组的概率为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由直方图可得各组年龄的人数，由直方图计算平均值的方法可得平均年龄； （2）在[35，45）的人数为4人，记为a，b，c，d；在[45，55）的人数为2人，记为m，n．列举可得总的情况共有15种，“这两人在不同年龄组”包含8种，由古典概型概率公式可得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20. ‎ 估计所有使用者的平均年龄为： (岁） ‎ ‎（2）由题意可知抽取的6人中，年龄在范围内的人数为4，记为；年龄在范围内的人数为2，记为.从这6人中选取2人，结果共有15种：‎ ‎.‎ 设“这2人在不同年龄组“为事件.‎ 则事件所包含的基本事件有8种，故，所以这2人在不同年龄组的概率为.‎ ‎21．随着经济的发展，我市居民收入逐年增长，下表是我市一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额）：‎ 年份 ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 储蓄存款（千亿元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，，：‎ ‎（1）填写下列表格并根据表格求关于的线性回归方程；‎ 时间代号 ‎（2）通过（Ⅰ）中的方程，求出关于的回归方程，并用所求回归方程预测到2020年年底，该银行储蓄存款额可达多少？‎ ‎【答案】（1） ；（2）15.6.‎ ‎【解析】分析：（1）由，：即可填表 ‎（2）由题意求出代入公式求值，从而得到回归直线方程；进而代入 即可．‎ 详解：‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ z ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎（1）‎ ‎，‎ ‎（2），代入得到：‎ ‎，即 ‎，‎ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元 ‎ 点睛：本题考查了线性回归方程的求法及应用，属于基础题．‎ ‎22．已知函数 ‎（1）当时，求的单调区间;‎ ‎（2）若存在单调递减区间，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2） .‎ ‎【解析】分析：（Ⅰ）当时，函数．求导函数，利用导数大于0，可得的单调增区间，利用导数小于0，可得的单调减区间； （Ⅱ）利用导数进行理解，即在上有解．可得在正数范围内至少有一个解，结合根的判别式列式，不难得到的取值范围．‎ 详解：‎ ‎(1)当，‎ 其定义域为(0，＋∞)，‎ ‎∴f′(x)＝＝＝‎ ‎∵令，则；令，则，‎ ‎∴是的单调递增区间， 是的单调递减区间，‎ ‎(2)∵，‎ ‎∴f′()＝＝ (>0)．‎ ‎∵存在单调递减区间，‎ ‎∴在上有解，‎ 又∵>0，则在(0，＋∞)上有解，‎ ‎①当＝0时， >1在(0，＋∞)上有解；‎ ‎②当>0时，在(0，＋∞)上总有解；‎ ‎③当<0时，要使在(0，＋∞)上有解，‎ 只需有两个不相等正实数根，‎ ‎∴，解得 综上，的取值范围是.‎ 点睛：本题主要考查函数与导数，以及函数与方程思想，体现了导数值为一种研究函数的工具，能完成单调性的判定和最值的求解方程，同时能结合常用数学思想，来考查灵活运用知识解决问题的能力．‎