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- 2021-05-31 发布
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宿迁市2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理科）
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分．请把正确答案填在题中横线上
1.已知复数满足，为虚数单位，则复数的模____.
【答案】.
【解析】
【分析】
由得，再利用复数的除法法则将复数表示为一般形式，然后利用复数的模长公式计算出.
【详解】，，因此，，
故答案为：.
【点睛】本题考查复数的除法、复数模的计算，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式来求解，考查计算能力，属于基础题.
2.若以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标化成直角坐标为_________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用极坐标化直角坐标公式将点的极坐标化为直角坐标.
【详解】由题意可知，点的横坐标为，纵坐标为，
因此，点的直角坐标为，故答案为：.
【点睛】本题考查点的极坐标化直角坐标，解题时要熟悉极坐标与直角坐标的互化公式，考查计算能力，属于基础题.
3.若曲线在矩阵对应的变换下变为一个椭圆，则椭圆的离心率为____ .
【答案】.
【解析】
【分析】
在曲线上任取一点，得出，由变换得出，代入方程可得出椭圆方程，由此可计算出椭圆的离心率.
【详解】在曲线上任取一点，得出，①
设点经过变换后对应的点的坐标为，
由题意可得，则有，即，
代入②式得，则，，，
因此，椭圆的离心率为，故答案为：.
【点睛】本题考查坐标变换，考查相关点法求轨迹方程，同时也考查了椭圆离心率的求解，解题的关键就是利用相关点法求出轨迹方程，考查运算求解能力，属于中等题.
4.已知随机变量的分布表如下所示，则实数的值为______.
【答案】
【解析】
【分析】
利用分布列的性质，概率之和为，列方程解出实数的值.
【详解】由分布列的性质，概率之和为，可得，化简得.
，因此，，故答案为：.
【点睛】本题考查分布列的基本性质，解题时要充分利用概率之和为来进行求解，考查运算求解能力，属于中等题.
5.将参数方程（为参数）化成普通方程为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
在参数方程中利用加减消元法或代入消元法消去参数，可将参数方程化为普通方程.
【详解】由得，两式相加得，即，
因此，将参数方程（为参数）化成普通方程为，
故答案为：.
【点睛】本题考查参数方程与普通方程的互化，将直线的参数方程化普通方程，常见的有代入消元法和加减消元法，考查计算能力，属于基础题.
6.计算结果为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用组合数的性质来进行计算，可得出结果.
【详解】由组合数的性质可得，故答案为：.
【点睛】本题考查组合数的计算，解题的关键就是利用组合数的性质进行计算，考查计算能力，属于中等题.
7.若平面的一个法向量为，直线的方向向量为，则与所成角的大小为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用向量法求出直线与平面所成角的正弦值，即可得出直线与平面所成角的大小.
【详解】设，，设直线与平面所成的角为，
则，，.
因此，直线与平面所成角的大小为，故答案为：.
【点睛】本题考查利用空间向量法求直线与平面所成角，解题的关键就是利用空间向量进行转化，考查计算能力，属于中等题.
8.已知某运动队有男运动员名，女运动员名，若现在选派人外出参加比赛，则选出的人中男运动员比女运动员人数多的概率是_________.
【答案】.
【解析】
【分析】
将所求事件分为两种情况：男女，男，这两个事件互斥，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可求出所求事件的概率.
【详解】事件“选出的人中男运动员比女运动员人数多”包含事件“男女”和事件“男”，
由古典概型概率公式和互斥事件的概率加法公式可知，
事件“选出的人中男运动员比女运动员人数多”的概率为，
故答案为：.
【点睛】本题考查古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式的应用，解题时要将所求事件进行分类讨论，结合相关公式进行计算，考查计算能力，属于中等题.
9.若的展开式中的系数为，则实数的值为__________.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用二项展开式通项，令的指数为，解出参数的值，再将参数的值代入展开式，利用系数为，求出实数的值.
【详解】二项式展开式的通项为，
令，解得，由题意得，解得，故答案为：.
【点睛】本题考查利用二项式指定项的系数求参数的值，解题的关键就是充分利用二项式定理求解，考查运算求解能力，属于中等题.
10.设向量，，若，则实数的值为________.
【答案】或.
【解析】
【分析】
由公式结合空间向量数量积的坐标运算律得出关于实数的方程，解出该方程可得出实数的值.
【详解】，，，，，
，则，解得或.
故答案为：或.
【点睛】本题考查空间向量数量积的坐标运算，解题的关键就是利用空间向量数量积的坐标运算列出方程求解，考查运算求解能力，属于中等题.
11.观察下列恒等式：，，，，请你把结论推广到一般情形，则得到的第个等式为___________________________________.
【答案】.
【解析】
【分析】
观察等式右边代数式的结构与的关系可得出结果.
【详解】由，
，
，
由上述规律，归纳出第个等式为.
故答案为：.
【点睛】本题考查归纳推理，解题的关键主要是找出式子的规律，考查推理能力，属于中等题.
12.已知集合，，，若从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定不同点的个数为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由组合数的性质得出，先求出无任何限制条件下所确定的点的个数，然后考虑坐标中有两个相同的数的点的个数，将两数作差可得出结果.
【详解】由组合数的性质得出，不考虑任何限制条件下不同点的个数为，
由于，坐标中同时含和的点的个数为，
综上所述：所求点的个数为，故答案为：.
【点睛】本题考查排列组合思想的应用，常用的就是分类讨论和分步骤处理，本题中利用总体淘汰法，可简化分类讨论，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
13.若实数、满足，则的取值范围是_________.
【答案】.
【解析】
【分析】
利用椭圆的参数方程，设，，代入所求代数式，换元，可得出，将代数式转化为关于的二次函数在区间上的值域来处理.
【详解】设，，
则，
设，
则，，
，其中，
由于二次函数，，
当时，；当时，.
因此，的取值范围是，故答案为：.
【点睛】本题考查椭圆参数方程的应用，考查三角函数的值域问题以及二次函数的值域，本题用到了两次换元，同时要注意关系式的应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
14.当时，等式恒成立，根据该结论，当时，，则的值为___________.
【答案】.
【解析】
【分析】
由，可得，，结合已知等式将代数式将代数式展开，可求出的值.
【详解】当时，得，，
所以，
所以，，故答案为：.
【点睛】本题考查恒等式的应用，解题时要充分利用题中的等式，结合分类讨论求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
二、解答题：本大题共 6 题，第 15~17 题每题 14 分，第 18~20 题每题 16 分，共 90 分， 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.在答题卡指定区域内作答．
15.已知复数，为虚数单位，且复数为实数．
（1）求复数；
（2）在复平面内，若复数对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）将代入，利用复数的四则运算法则将复数化为一般形式，由复数的虚部为零求出实数的值，可得出复数；
（2）将复数代入复数，并利用复数的乘方法则将该复数表示为一般形式，由题意得出实部与虚部均为正数，于此列不等式组解出实数的取值范围.
详解】（1），，
由于复数为实数，所以，，解得，因此，；
（2）由题意，
由于复数对应的点在第一象限，则，解得.
因此，实数的取值范围是.
【点睛】本题考查复数的基本概念，以及复数的几何意义，解题的关键就是利用复数的四则运算法则将复数表示为一般形式，明确复数的实部与虚部，并利用实部与虚部来求解，考查运算求解能力，属于中等题.
16.已知矩阵对应的变换将点变换成．
（1）求矩阵的逆矩阵；
（2）求矩阵的特征向量．
【答案】（1）；（2）和.
【解析】
【分析】
（1）由题中点的变换得到，列方程组解出、的值，再利用逆矩阵变换求出；
（2）求出矩阵的特征多项式，解出特征根，即可得出特征值和相应的特征向量.
【详解】（1）由题意得，即，解得，，
由于矩阵的逆矩阵为，
因此，矩阵的逆矩阵为；
（2）矩阵的特征多项式为，
解特征方程，得或.
①当时，由，得，即，
可取，则，即属于的一个特征向量为；
②当时，由，得，即，
可取，则，即属于的一个特征向量为.
综上，矩阵的特征向量为和.
【点睛】本题考查矩阵的变换和逆矩阵的求法，考查矩阵的特征值和特征向量的求法，考查方程思想与运算能力，属于中等题.
17.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的普通方程；
（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为，过直线上一点引曲线的切线，切点为，求的最小值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由得，将两个等式平方后相加可得出曲线的普通方程；
（2）将直线的极坐标方程化为普通方程，计算出圆心到直线的距离作为的最小值，然后利用勾股定理可得出的最小值.
【详解】（1）由得，
所以，，
将两式相加得，
因此，曲线的普通方程为；
（2）由，得，
即，由，，
所以，直线的直角坐标方程为.
由（1）知曲线为圆且圆心坐标为，半径为，
切线长，
当取最小时，取最小，而的最小值即为到直线的距离.
到直线的距离为，，
因此，的最小值为.
【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与普通方程之间的转化，同时也考查了切线长的计算，一般在直角三角形利用勾股定理进行计算，考查数形结合思想的应用，属于中等题.
18.已知某盒子中共有个小球，编号为号至号，其中有个红球、个黄球和个绿球，这些球除颜色和编号外完全相同．
（1）若从盒中一次随机取出个球，求取出的个球中恰有个颜色相同的概率；
（2）若从盒中逐一取球，每次取后立即放回，共取次，求恰有次取到黄球的概率；
（3）若从盒中逐一取球，每次取后不放回，记取完黄球所需次数为，求随机变量的分布列及数学期望.
【答案】（1）；（2）；（3）见解析.
【解析】
【分析】
（1）事件“取出的个球中恰有个颜色相同”分为两种情况“个球中有个红球”和“
个球中有个黄球”，然后利用古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式可计算出所求事件的概率；
（2）计算出每次取球取到黄球的概率为，然后利用独立重复试验概率来计算出所求事件的概率；
（3）由题意得出的可能取值有、、、、，利用排列组合思想求出随机变量在对应取值时的概率，于此可列出随机变量的分布列，并计算出随机变量的数学期望.
【详解】（1）从盒中一次随机取出个球，记取出的个球中恰有个颜色相同为事件，
则事件包含事件“个球中有和红球”和事件“个球中有个黄球”，
由古典概型的概率公式和互斥事件的概率加法公式得，
答：取出的个球颜色相同的概率；
（2）盒中逐一取球，取后立即放回，每次取到黄球的概率为，
记取次恰有次黄球为事件，则，
答：取次恰有次黄球的概率；
（3）的可能取值为、、、、，
则，，，
，，
随机变量的分布列为：
所以，随机变量的数学期望为.
【点睛】本题考查古典概型概率公式以及互斥事件概率加法公式的应用，同时也考查了独立重复试验概率公式以及随机变量分布列及其数学期望，解题时充分利用排列组合思想求出对应事件的概率，考查分析问题的能力以及运算求解能力，属于中等题.
19.如图，在三棱锥中，，为的中点，平面，垂足落在线段上，为的重心，已知，，，.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值；
（3）设点在线段上，使得，试确定的值，使得二面角为直二面角.
【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）.
【解析】
【分析】
（1）方法一：由重心的性质得出，再由，结合相似三角形的性质得出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；
方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，利用重心的坐标公式计算出点的坐标，可计算出，可证明出，再利用直线与平面平行的判定定理得出平面；
（2）计算出和，利用向量的坐标运算计算出，即可得出异面直线与所成角的余弦值；
（3）由，得出，可求出的坐标，然后可计算出平面（即平面）的一个法向量和平面的一个法向量，由题意得出
，结合空间向量数量积的坐标运算可求出实数的值.
【详解】（1）方法一：如图，连接，因为是的重心，是的中点，
即，，，，
所以，，又因为平面，平面，平面；
方法二：以为原点，以射线为轴的正半轴，建立空间直角坐标系，
则、、、、、，
是重心，则点的坐标为，
，，即，
又因为平面，平面，平面；
（2），，，
所以异面直线与所成角的余弦值；
（3），，，
，
，
，，，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
由，得，即，令，可得，，
所以，平面的一个法向量为，
由，得，得，
取，则，，
所以，平面的一个法向量为，
由于二面角为直二面角，所以，，
则，解得，合乎题意.
【点睛】本题考查直线与平面平行的判定、异面直线所成角的计算以及空间的动点问题，一般是通过建立空间直角坐标系，利用空间向量法进行转化，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题.
20.设函数.
（1）化简：；
（2）已知：，求的表达式；
（3），请用数学归纳法证明不等式.
【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）利用组合数公式化简后可得出结果；
（2）由（1）得出，令可得，化简得出，代入函数的解析式，利用二项式定理进行化简得出，于此可得出的表达式；
（3）先由（2）中的结论，结合组合数的性质得出，然后再用数学归纳法证明出不等式成立即可.
【详解】（1）；
（2）由（1）得，
令可得，即，所以，
，因此，；
（3），
所以，，
即，①
，②
①②得，，
下面用数学归纳法证明.
（i）当时，则有，结论成立；
（ii）假设当时，，
那么当时，
，
所以当时，结论也成立.
根据（i）（ii）恒成立.
【点睛】本题考查组合数的性质与计算、以及二项式定理的逆向应用，同时也考查了利用数学归纳法证明数列不等式，证明时要适当利用放缩法进行证明，考查推理能力，综合性较强，属于难题.