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- 2021-05-31 发布
课时提能演练(八十一)
1.(2012·南京模拟)若正数a,b,c满足a+b+c=1，求的最小值.
2.已知x,y,z为正实数，且求x+4y+9z的最小值及取得最小值时x,y,z的值.
3.若a,b,c均为正数，且a+b+c=6，求的最大值.
4.设P是三角形ABC内的一点，x,y,z是P到三边a,b,c的距离，R是△ABC外接圆的半径，证明
5.已知a、b、c均为正数，且对任意的x∈R恒成立，求实数m的取值范围.
6.已知x,y,z为实数，且x+2y+3z=
(1)求x2+y2+z2的最小值；
(2)设|2t-1|= x2+y2+z2，求实数t的取值范围.
7.已知a,b,c为实数，且a+b+c+2-2m=0,
(1)求证：
(2)求实数m的取值范围.
8.已知正数x,y,z满足5x+4y+3z=10.
(1)求证：
(2)求的最小值.
9.已知函数x>1,且不等式f(x)≥a2+b2+c2对任意x>1恒成立.
(1)试求函数f(x)的最小值;
(2)试求a+2b+2c的最大值.
10.(2012·南安模拟)将12 cm长的细铁线截成三条长度分别为a、b、c的线段，
(1)求以a、b、c为长、宽、高的长方体的体积的最大值；
(2)若这三条线段分别围成三个正三角形，求这三个正三角形面积和的最小值.
答案解析
1.【解析】因为正数a,b,c满足a+b+c=1,
所以
即当且仅当3a+2=3b+2=3c+2,即a=b=c=时，原式取最小值1.
2.【解题指南】因为所以可构造
然后利用柯西不等式求解.
【解析】由柯西不等式得
当且仅当x=2y=3z时等号成立，此时x=6,y=3,z=2，所以当x=6，y=3,z=2时，x+4y+9z取得最小值36.
3.【解析】由柯西不等式得
∴
当且仅当即2a=2b+1=2c+3时等号成立，
又a+b+c=6，∴时，有最大值
4.【证明】由柯西不等式得，
设S为△ABC的面积，则
故不等式成立.
5.【解析】∵a,b,c均为正数,且a+b+c=3,
∴由柯西不等式可知,
∴|x-2|+|x-m|≥3对任意的x∈R恒成立.
∵|x-2|+|x-m|≥|(x-2)-(x-m)|=|m-2|,
∴|m-2|≥3,解得m≤-1或m≥5.
∴m的取值范围是(-∞,-1］∪［5,+∞).
6.【解析】(1)由柯西不等式得(12+22+32)(x2+y2+z2)≥(1·x+2·y+3·z)2即
所以
当且仅当|x|=|y|=|z|时取等号，
即x2+y2+z2的最小值为
(2)由(1)得|2t-1|≥，
则2t-1≥或2t-1≤-，解得t≥或t≤
即实数t的取值范围是(-∞，］∪［，+∞).
7.【解析】(1)由柯西不等式得
即
当且仅当|a|=|b|=|c|时取得等号.
(2)由已知得a+b+c=2m-2,
∴14(1-m)≥(2m-2)2，即2m2+3m-5≤0,
∴≤m≤1,
又∵∴m≤1,
∴≤m≤1.
8.【证明】(1)根据柯西不等式，得［(4y+3z)+(3z+5x)+(5x+4y)］
因为5x+4y+3z=10,
所以
(2)根据均值不等式，得
当且仅当x2=y2+z2时，等号成立.
根据柯西不等式，得(x2+y2+z2)(52+42+32)≥(5x+4y+3z)2=100,即(x2+y2+z2)≥2，当且仅当时，等号成立.
综上，≥2·32=18.
9.【解析】(1)∵x>1,x-1>0
∴f(x)= (当且仅当x=2时取“=”)
(2)由(1)得a2+b2+c2≤3
由柯西不等式得
(a2+b2+c2)(12+22+22)≥(1·a+2·b+2·c)2
∴(a+2b+2c)2≤3×9=27,∴a+2b+2c≤
当且仅当即时取“=”，即a+2b+2c的最大值为
10.【解析】(1)a+b+c=12,V=abc≤=64;
当且仅当a=b=c=4时，等号成立.
(2)设正三角形的边长为l,m,n，则l+m+n=4
设这三个正三角形的面积和为S，则：
当且仅当l=m=n=时，等号成立.
即这三个正三角形面积和的最小值为