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- 2021-05-31 发布
高三四模文科数学试题
一、 选择题：
1、 已知集合
A. B. C. D.
2、已知为虚数单位，则=
A. 1 B. C. D. -1
3、已知命题；命题，则.下列命题中为真命题的是
A. B. C. D.
4、已知向量，则下列结论正确的是
A. B.‖ C. D.
5. 某方便面生产线上每隔15分钟抽取一包进行检验，该抽样方法为①，从某中学的40名数学爱好者中抽取5人了解学习负担情况，该抽样方法为②，那么①和②分别为
A. ①系统抽样，②简单随机抽样 B. ①分层抽样,②系统抽样
C. ①系统抽样, ②分层抽样 D.①分层抽样,②简单随机抽样
6、某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是
A．2 B．4 C．6 D．8
7、在等差数列中，若，，则等于（ ）
A.9 B.7 C.6 D.5
8、一次数学考试后，甲说：我是第一名，乙说：我是第一名，丙说:乙是第一名。丁说：我不是第一名，若这四人中只有一个人说的是真话且获得第一名的只有一人，则第一名的是（
A.甲 B.乙 C. 丙 D. 丁
A.2 B. 3 C . 4 D. 5
10、在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为
A． B． C． D．
11．已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为
A． B． C． D．
12、 已知定义在上的函数满足：函数的图像关于直线对称，且当时，.若，则a,b,c的大小关系是（ ）
A. a>b>c B. b>a>c C. c>a>b D.a>c>b
一、 填空题：
15.A,B,C,D均在同一个球上，且AB,AC,AD两两互相垂直，且AB=1,AC=2,AD=3，则该球的表面积为
.
16．已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．
二、 解答题：
17. 在数列中，，且
（1） 证明：数列是等差数列；
（2） 求数列的前项和。
18、如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点.
（Ⅰ）证明：PB∥平面AEC；
（Ⅱ）设PC与平面ABCD所成的角的正弦为，AP=1，AD=，求三棱锥E-ACD的体积.
19.某高中有高一新生500名，分成水平相同的两类教学实验，为对比教学效果，现用分层抽样的方法从两类学生中分别抽取了40人，60人进行测试.
（1）求该学校高一新生两类学生各多少人？
（2）经过测试，得到以下三个数据图表：
图1：75分以上两类参加测试学生成绩的茎叶图
图2：100名测试学生成绩的频率分布直方图
下图表格：100名学生成绩分布表：
①先填写频率分布表中的六个空格，然后将频率分布直方图（图2）补充完整；
②该学校拟定从参加考试的79分以上（含79分）的类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛，求抽到的2人分数都在80分以上的概率.
20. 椭圆的左、右焦点分别为，右顶点为A，上顶点为B，且满足向量
（1） 若，求椭圆的标准方程;
（2） 设为椭圆上异于顶点的点，以线段PB为直径的圆经过F1，问是否存在过F2的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由。
21. 设函数。
（1） 若是的极值点，求的值。
（2） 已知函数，若在区间（0,1）内有零点，求的取值范围。
22.[选修4—5：参数方程选讲]（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程是
（t是参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是
（1） 求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2） 若两曲线交点为A、B，求
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
设函数．
⑴画出的图像；
⑵当， ，求的最小值．
文科数学答案
一、选择题：1----5ACBDA,6-------10CBCAD 11-----12DB
二、 填空题：13. 14. 15. 16.2
三、 解答题：
17.解析：（1）的两边同除以，得
，又，..............4分
所以数列是首项为4，公差为2的等差数列.............6分
(2)由（1）得，即,...........8分
故................10
所以=..........12分
18.答案：(1)连接BD交AC于点F，连接EF
则在三角形BDP中，点E是PD的中点，点F是BD的中点，即线段EF是的中位线
所以‖EF，又因为平面AEC，平面AEC，所以‖平面AEC......6
(2)
所以，所以
所以........12分
19解：（1）由题意知A类学生有（人）则B类学生有500－200=300（人）. …2分
（2）①表一
…………………5分
图二
组号
分组
频数
频率
1
5
0.05
2
20
0.20
3
25
0.25
4
35
0.35
5
10
0.10
6
5
0.05
合计
100
1.00
…………………8分
②79分以上的B类学生共4人，记80分以上的三人分别是，79分的学生为.
从中抽取2人，有（12）、（13）、（1a）、（23）、（2a）、（3a）共6种抽法；
抽出2人均在80分以上有：（12）、（13）、（23）共3种抽法
则抽到2人均在80分以上的概率为…………………12分
20、 解析：（1）易知，因为
所以为等腰三角形
所以b=c，由可知
故椭圆的标准方程为：.............5分
（2）由已知得
设椭圆的标准方程为，的坐标为..........7分
因为,所以
由题意得,所以
又因为P在椭圆上，所以,由以上两式可得
因为P不是椭圆的顶点，所以，故
设圆心为，则
圆的半径.........9分
假设存在过的直线满足题设条件，并设该直线的方程为
由相切可知,所以
即，解得...........12 分
故存在满足条件的直线。
20. 解析：（1），，
因为是的极值点，所以，解得..........5分
(2)，
。
①当时，
恒成立，单调递减，又
因此函数在区间内没有零点。
②当时，单调递增
时，单调递减
又，因此要使函数在区间内有零点，必有，
所以
解得，舍去
③当时，，，单调递减
又，因此要使函数在区间内有零点，必有，
解得满足条件
综上可得，的取值范围是（-）.............12
22. 解：（1）曲线的普通方程是:
曲线的直角坐标方程是：.............5分
(2)因为是过点（）的直线
所以的参数方程为： （为参数）
代入的普通方程，得
解得，故...........10分
23．（1）的图像如图所示．
.......5
（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．........10