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- 2021-05-31 发布
2017-2018学年江苏省宿迁市沭阳县高二下学期期中考试
数学试题
注意事项：
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题），解答题（第15题～第20题）两部分．试卷满分为160分，考试时间为120分钟．
2．答题前，请务必将自己的姓名、 学校、 班级、 准考证号写在答题卡上并填涂准考证号．试题的答案写在答题卡相应题目的答题区域内．考试结束后，交回答题卡．
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请
将答案填写在答题卡相应的位置上．
1．设集合A={1，3}，集合B={1，2，4}，则集合A∪B= ▲ ．
2．已知复数是实数，则实数 ▲ ．
3．用反证法证明某命题时，对结论“自然数至少有1个奇数”的正确假设为“假设自然数 ▲ ”．
4．若函数的值域为 , 则其定义域为 ▲ ．
5．已知；；．则的大小关系是（从大到小排列）
▲ ．
6．已知复数对应的点在轴上方，则的取值范围是
▲ ．
7．若函数是偶函数，则的递增区间是 ▲ ．
8．已知正三角形，它一边上的高为，内切圆的半径为，则，类比这一结论可知:正四面体的底面上的高为，内切球的半径为，则 ▲ .
9．已知函数在区间（）上存在零点，则 ▲ ．
10．已知幂函数的图象过点，则的值为 ▲ .
11．已知为偶函数，则 ▲ ．
12．已知函数，若，则 ▲ .
13．已知且，则实数的取值范围是▲ ．
14．设已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则= ▲ ．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
15．（本题14分）已知集合，，，全集为实数集．
（1）求和；
（2）如果，求的取值范围．
16．（本题14分）已知复数满足（为虚数单位）．
（1）求复数和；
（2）求复数的模．
17．（本题14分）
计算：（1）;
（2）已知求.
18．（本题16分）某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流OC的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数，（单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为；观光带的后一部分为线段BC，如图所示.
（1）求曲线段OABC对应的函数的解析式；
（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段MQ，QP， PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？
19．（本题16分）已知函数．
（1）证明：函数在(－2，＋∞)上为增函数；
（2）用反证法证明：方程没有负数根．
20．（本题16分）已知函数，
（1）若的解集为，求的值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）对于，使成立，求实数的取值范围．
2017～2018学年度第二学期期中调研测试
高二数学参考答案
一、填空题:本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请
将答案填写在答题卡相应的位置上．
1．设集合A={1，3}，集合B={1，2，4}，则集合A∪B=．
2．已知复数是实数，则实数 ．
3．用反证法证明某命题时，对结论“自然数至少有1个奇数”的正确假设为“假设自然数都不是奇数”．
4．若函数的值域为 , 则其定义域为．
5．已知；；．则的大小关系是（从大到小排列）．
6．已知复数对应的点在轴上方，则的取值范围是．
7．若函数是偶函数，则的递增区间是．
8．已知正三角形，它一边上的高为，内切圆的半径为，则，类比这一结论可知:正四面体的底面上的高为，内切球的半径为，则.
9．已知函数在区间（）上存在零点，则 3 ．
10．已知幂函数的图象过点，则的值为 1 .
11．已知为偶函数，则 4 ．
12．已知函数，若，则.
13．已知且，则实数的取值范围
是．
14．设已知函数，正实数满足，且，若在区间上的最大值为2，则=．
二、解答题：本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明或演算步骤．
15．（本题14分）已知集合，，，全集为实数集．
（1）求和；
（2）如果，求的取值范围．
解:（1）因为，，
所以；……………………………………………………4分
所以． ……………………………………………8分
（2）当时满足． ……………………………………………14分
16．（本题14分）已知复数满足（为虚数单位）．
（1）求复数和；
（2）求复数的模．
解：（1）； ……………………………………………3分
； ……………………8分
（2）， …………………12分
所以． …………………………………14分
17．（本题14分）计算：（1）;
（2）已知求.
解：（1）原式= . ……………………………………7分
（2）因为 …………………………9分
又因为，，所以
所以. ………………………………………14分
18．（本题16分）某乡镇为了进行美丽乡村建设，规划在长为10千米的河流OC的一侧建一条观光带，观光带的前一部分为曲线段OAB，设曲线段OAB为函数，（单位：千米）的图象，且曲线段的顶点为；观光带的后一部分为线段BC，如图所示.
（1）求曲线段OABC对应的函数的解析式；
（2）若计划在河流OC和观光带OABC之间新建一个如图所示的矩形绿化带MNPQ，绿化带由线段MQ，QP， PN构成，其中点P在线段BC上．当OM长为多少时，绿化带的总长度最长？
解：因为曲线段OAB过点，且最高点为，
得，
所以，当时， ……………………………………4分
因为最后一部分是线段BC，，当时，
综上，. …………………………8分
（2）设则，由 得
所以点 ……………………………10分
所以，绿化带的总长度
……14分
当时，.所以，当OM长为1千米时，绿化带的总长度最长. ………16分
19．（本题16分）已知函数．
（1）证明：函数在(－2，＋∞)上为增函数；
（2）用反证法证明：方程没有负数根．
解：（1）证法1：任取，不妨设，则，，所以
又因为，所以
于是，
故函数在(－2，＋∞)上为增函数．……………………………………………8分
证法2： ，
在上恒成立，即在上为增函数．
（2）假设存在满足
则，因为，，所以，所以，解得，与假设矛盾．
故方程没有负数根． ………………………………………………16分
20．（本题16分）已知，
（1）若的解集为，求的值；
（2）求函数在上的最小值；
（3）对于，使成立，求实数的取值范围．
解：（1）由得；整理得，
因为不等式的解集为，
所以方程的两根是，；
由根与系数的关系得，即； ……………4分
（2）的对称轴方程为，
①当时，即在上是单调增函数，故；
②当时，即，在上是单调减函数，在上是单调增函数，故；
③当时，即在上是单调减函数，故；
所以………………………………………10分
（3）因为函数在区间上为增函数，在区间上为减函数
其中，，所以函数在上的最小值为
对于使成立在上的
最小值不大于在上的最小值，
由（2）知
①
解得,所以；
②当时,
解得，所以；
③当时，
解得，所以
综上所述，的取值范围是. …………………………………16分