专题6-5 数列的综合应用（测）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版） 15页

‎ ‎ ‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第六章 数列 第04节 数列的综合应用 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.）‎ ‎1.在等比数列中，若，则的最小值为（ ）‎ A． B．4 C．8 D．16‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，所以由基本不等式可得，，故选B.‎ ‎2．将正偶数集合{2,4,6，…}从小到大按第n组有2n个偶数进行分组：{2,4}，{6,8,10,12}，{14,16,18,20,22,24}，….则2 018位于第 (　 )组．‎ A. 30 B. 31 C. 32 D. 33‎ ‎【答案】C ‎3．【2017届陕西省黄陵中学高三（重点班）下考前模拟一】若数列满足且，则使的的值为( )‎ A. B. C. D. ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以是等差数列，且公差，则，所以由题设可得，则，应选答案C.‎ ‎4．已知函数的图象过点，令（），记数列的前项和为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】由题意得 ，所以 ，从而 ，即，选B.‎ ‎5．已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则等于（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎【答案】A ‎6．设各项均为正数的数列 的前项和为 ，且满足．则数列的通项公式是（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由满足 ．因式分解可得： ，∵数列 的各项均为正数，∴ ，当 时， ，解得 ．当 时， ，‎ 当 时，上式成立．∴ ．故选：A．‎ ‎7. 【河南省天一大联考2017届高三阶段性测试（五）（B卷）】设是等差数列， 是等比数列，且， ，则下列结论正确的是（ ）‎ A. B. C. ， ， D. ， ，使得 ‎【答案】C ‎8.【2018届河南省林州市第一中学高三8月】已知数列的前项和为，且， ，若对任意的， 恒成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎【答案】B ‎【解析】由数列的递推公式可得 ： ，‎ 则数列是首项为，公比为的等比数列，‎ ，‎ 分组求和可得： ，‎ 题中的不等式即恒成立，‎ 结合恒成立的条件可得实数的取值范围为 ‎ 本题选择B选项.‎ ‎9. 已知，已知数列满足，且 ‎，则( )‎ A．有最大值6030 B . 有最小值6030 C.有最大值6027 D . 有最小值6027‎ ‎【答案】A ‎ ‎10．【2018届河南省天一大联考高三上10月联考】已知数列an满足a‎1‎‎=-1‎，an+1‎‎=‎1-‎an+2an+1‎，其前n项和为Sn，则下列说法正确的个数为（ ）‎ ‎①数列an是等差数列；②an‎=‎‎3‎n-2‎；③Sn‎=‎‎3‎n-1‎‎-3‎‎2‎.‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】a‎2‎‎=‎1-‎a‎1‎+2a‎1‎+1=1‎,所以当n≥2‎时，an‎≥1‎,因此an+1‎‎=3‎an，故①②错；当n≥2‎时，Sn‎=-1+‎1-‎‎3‎n-1‎‎1-3‎=‎‎3‎n-1‎‎-3‎‎2‎当n≥2‎时，Sn‎=-1‎，因此③对，选B.‎ ‎11．【2018届河北省定州中学高三上第二次月考】定义np‎1‎‎+p‎2‎+⋯+‎pn为n个正数p‎1‎‎,p‎2‎,⋯,‎pn的“均倒数”，若已知数列an的前n项的“均倒数”为‎1‎‎2n+1‎，又bn‎=‎an‎+1‎‎4‎，则‎1‎b‎1‎b‎2‎‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+⋯+‎1‎b‎2015‎b‎2016‎=‎（ ）‎ A. ‎2013‎‎2014‎ B. ‎2014‎‎2015‎ C. ‎2015‎‎2016‎ D. ‎‎1‎‎2015‎ ‎【答案】C 据此可得：‎1‎bnbn+1‎‎=‎1‎nn+1‎=‎1‎n-‎‎1‎n+1‎，‎ ‎1‎b‎1‎b‎2‎‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+⋯+‎‎1‎b‎2015‎b‎2016‎‎=‎1-‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎3‎+⋯+‎‎1‎‎2015‎‎-‎‎1‎‎2016‎‎=1-‎1‎‎2016‎=‎2015‎‎2016‎.‎ 本题选择C选项.‎ ‎12.已知数列{an}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{1nf（an）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=ex ③f（x）=，则为“保比差数列函数”的是（ ）‎ A.①② B.②③ C.①③ D.①②③‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设数列{an}的公比为q（q≠1），利用保比差数列函数的定义，验证数列{lnf（an）}为等差数列，即可得到结论．‎ 解：设数列{an}的公比为q（q≠1）‎ ‎①由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=ln=﹣lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；‎ ‎②由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=an+1﹣an不是常数，∴‎ 数列{lnf（an）}不为等差数列，不满足题意；‎ ‎③由题意，lnf（an）=ln，∴lnf（an+1）﹣lnf（an）=ln﹣ln=lnq是常数，∴数列{lnf（an）}为等差数列，满足题意；‎ 综上，为“保比差数列函数”的所有序号为①③‎ 故选C．‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）‎ ‎13. )， ,则数列中最大项的值是__________．‎ ‎【答案】 ‎14.【2017届江苏省南京师范大学附属中学高三模拟一】设数列的前项的和为，且，若对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】由题设可得，则，不等式可化为，即，则问题转化为求的最大值和最小值.由于，所以的最大值和最小值分别为和，则 ，即，应填答案.‎ ‎15．【2017届湖北孝感市高三上第一次统考】设为数列的前项和，且满足，则 ； .‎ ‎【答案】 .‎ ‎16.【2017届江苏泰州中学高三上期中】设数列首项,前项和为，且满足，则满足的所有的和为_________.‎ ‎【答案】 ‎【解析】因,故代入已知可得,即,也即,故数列是公比为的等比数列,所以,即.所以,则,由此可解得,故应填答案.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列满足， ，数列的前项和为，证明：当时，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 试题解析：证明：（1）由于，则.‎ 若，则，与矛盾，从而，‎ ，‎ 又， 与同号，‎ 又，则，即.‎ ‎（2）由于，则.‎ 即， ，‎ 当时， 从而 当时， ，从而.‎ ‎（3），‎ 叠加： .‎ ‎18．【2017 届浙江省杭州高级中学高三2月模拟】数列定义为， ， ， ‎（1）若，求的值；‎ ‎（2）当时，定义数列， ， ，是否存在正整数，使得.如果存在，求出一组，如果不存在，说明理由.‎ ‎【答案】(1)2；(2)答案见解析 试题解析：‎ ‎(1) 所以 故 所以 ‎（2）由 得，两边平方 所以 当时，由知 又，数列递增，所以 类似地， 又 所以 存在正整数， 存在一组 ‎19.【2017届浙江省温州市高三二模】设数列‎{an}‎满足an+1‎‎=an‎2‎-an+1(n∈N‎*‎)‎，Sn为‎{an}‎的前n项和.证明：对任意n∈‎N‎*‎，‎ ‎（1）当‎0≤a‎1‎≤1‎时，‎0≤an≤1‎；‎ ‎（2）当a‎1‎‎>1‎时，an‎>(a‎1‎-1)‎a‎1‎n-1‎；‎ ‎（3）当a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎时，n-‎2n(a‎1‎-1)a‎1‎n-1‎(n∈N‎*‎)‎；‎ ‎（3）当a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎时，由（Ⅰ），‎0n.‎ 令bn‎=1-an(n∈N‎*‎)‎，由（1）（2），bn‎>bn+1‎>0(n∈N‎*‎)‎.‎ 由an+1‎‎=an‎2‎-an+1‎，可得bn‎2‎‎=bn-‎bn+1‎.‎ 从而b‎1‎‎2‎‎+b‎2‎‎2‎+⋅⋅⋅+bn‎2‎=(b‎1‎-b‎2‎)+(b‎2‎-b‎3‎)+⋅⋅⋅+(bn-bn+1‎)=b‎1‎-bn+1‎n-‎‎2n.‎ 所以当a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎时，n-‎2n‎an；‎ ‎（Ⅱ）求证：a‎2017‎‎<1‎；‎ ‎（Ⅲ）若an‎>1,‎求正整数k的最小值.‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析 ；(Ⅲ) ‎2018‎.‎ 因此an+1‎‎-an=an‎2‎‎2016‎>0,‎ 所以an+1‎‎>‎an. ‎ ‎(Ⅱ)证明:由已知得‎1‎an+1‎‎=‎2016‎an‎(an+2016)‎=‎1‎an-‎1‎an‎+2016‎,‎ ‎ 所以‎1‎an‎+2016‎‎=‎1‎an-‎1‎an+1‎,‎ 由‎1‎a‎1‎‎+2016‎‎=‎1‎a‎1‎-‎1‎a‎2‎,‎ ‎1‎a‎2‎‎+2016‎‎=‎1‎a‎2‎-‎1‎a‎3‎,‎ ‎ ‎‎⋯⋯⋯‎ ‎1‎an-1‎‎+2016‎‎=‎1‎an-1‎-‎1‎an,‎ 累加可得‎1‎a‎1‎‎-‎1‎an=‎1‎a‎1‎‎+2016‎+‎1‎a‎2‎‎+2016‎+⋯+‎1‎an-1‎‎+2016‎.‎ ‎ 当k=2017‎时,由(Ⅰ)得‎1‎‎2‎‎=a‎1‎2017×‎1‎‎1+2016‎>1.‎ ‎ 所以a‎2017‎‎<1an,‎所以k的最小值为‎2018‎.‎ ‎21．【2017届浙江省台州市高三4月调研】已知数列‎{an}‎满足：an‎>0,an+1‎+‎1‎an<2(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎（1）求证：an+2‎‎1(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎（2）假设存在aN‎≤1(N≥1,N∈N‎*‎)‎，‎ 由（1）可得当n>N时，an‎≤aN+1‎<1‎，‎ 根据an+1‎‎-1<1-‎1‎an=an‎-1‎an<0‎，而an‎<1‎，‎ 所以‎1‎an+1‎‎-1‎‎>anan‎-1‎=1+‎‎1‎an‎-1‎.‎ 于是‎1‎aN+2‎‎-1‎‎>1+‎‎1‎aN+1‎‎-1‎，‎ ‎……‎ ‎1‎aN+n‎-1‎‎>1+‎‎1‎aN+n-1‎‎-1‎‎.‎ 累加可得‎1‎aN+n‎-1‎‎>n-1+‎‎1‎aN+1‎‎-1‎（*）‎ 由（1）可得aN+n‎-1<0‎，‎ 而当n>-‎1‎aN+1‎‎-1‎+1‎时，显然有n-1+‎1‎aN+1‎‎-1‎>0‎，‎ 因此有‎1‎aN+n‎-1‎‎1(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎22．【2017届浙江省杭州市高三4月二模】已知数列的各项均为非负数，其前项和为，且对任意的，都有.‎ ‎（1）若， ，求的最大值；‎ ‎（2）若对任意，都有，求证： .‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ，便可求出的最大值；（2）首先假设，根据已知条件得 ，于是通过证明对于固定的值，存在，由此得出与矛盾，所以得到，再设，则根据可得，接下来通过放缩，可以得到，于是可以得出要证的结论. ‎ 试题解析：（1）由题意知，设 ，‎ 则，且，‎ ，‎ 所以，‎ .‎ ‎（2）若存在，使得，则由，‎ 得，‎ 因此，从项开始，数列严格递增，‎ 故 ，‎ 对于固定的，当足够大时，必有，与题设矛盾，所以不可能递增，即只能.‎ 令， ，‎ 由，得， ，‎ 故 ，‎ ，‎ 所以，‎ 综上，对一切，都有.‎ ‎ ‎ ‎ ‎