2018年贵州省黔东南州高考一模试卷数学文 13页

2018 年贵州省黔东南州高考一模试卷数学文 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1.已知全集 U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合 A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则 CU(A ∪B)=( ) A.{1，2，3，4，5，6} B.{7，8} C.{3，4} D.{1，2，5，6，7，8} 解析：∵全集 U={1，2，3，4，5，6，7，8}，集合 A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}， ∴A∪B={1，2，3，4，5，6}，∴CU(A∪B)={7，8}. 答案：B 2.已知复数 z 满足(1+i)z=1-i，则 z 的共轭复数的虚部是( ) A.-i B.-1 C.i D.1 解析：由已知得  2 112 1 2 2 iiizi i       ，得 z=i，∴z 的虚部为 1. 答案：D 3. 经过中央电视台《魅力中国城》栏目的三轮角逐，黔东南州以三轮竞演总分排名第一名 问鼎“最具人气魅力城市”.如图统计了黔东南州从 2010 年到 2017 年的旅游总人数(万人次) 的变化情况，从一个侧面展示了大美黔东南的魅力所在.根据这个图表，在下列给出的黔东 南州从 2010 年到 2017 年的旅游总人数的四个判断中，错误的是( ) A.旅游总人数逐年增加 B.2017 年旅游总人数超过 2015、2016 两年的旅游总人数的和 C.年份数与旅游总人数成正相关 D.从 2014 年起旅游总人数增长加快 解析：从图表中看出： 在 A 中，旅游总人数逐年增加，故 A 正确； 在 B 中，2017 年旅游总人数没有超过 2015、2016 两年的旅游总人数的和，故 B 错误； 在 C 中，年份数与旅游总人数成正相关，故 C 正确； 在 D 中，从 2014 年起旅游总人数增长加快，故 D 正确. 答案：B 4.在等差数列{an}中，若 a1+a2=4，a3+a4=12，则 a5+a6=( ) A.8 B.16 C.20 D.28 解析：设{an}的公差为 d，由 a1+a2=4 得 2a1+d=4， 由 a3+a4=12 得 2a1+5d=12，联立解得 a1=1，d=2，所以 a5+a6=2a1+9d=20. 答案：C 5.某正三棱锥正视图如图所示，则俯视图的面积为( ) A.6 3 B.12 C.6 2 D.12 解析：由正视图知，该正三棱锥的底边长为 6，高为 4， 则侧视图是一个底边长为 3 3 ，高为 4 的三角形，其面积为 6 . 答案：A 6.我国古代数学名著《九章算术》在“勾股”一章中有如下数学问题：“今有勾八步，股十 五步，勾中容圆，问径几何？”.意思是一个直角三角形的两条直角边的长度分别是 8 步和 15 步，则其内切圆的直径是多少步？则此问题的答案是( ) A.3 步 B.6 步 C.4 步 D.8 步 解析：由于该直角三角形的两直角边长分别是 8 和 15，则得其斜边长为 17， 设其内切圆半径为 r，则有 8 15 17 1 2 2 2 2 r r r   ×8×15(等积法)，解得 r=3，故其直径为 6(步). 答案：B 7.等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，若公比 q=8，S2=8，则( ) A.8Sn=7an+2 B.8Sn=7an-2 C.8an=7Sn+2 D.8an=7Sn-2 解析：设等比数列{an}的首项为 a1，由 2118 2 88 Sa qq       ， ， ， ， an=2×8n-1；  2 8 1 1 2 8 2 8 ( 7 ) 1 n n nS        ； 所以 Sn=  ()112 8 2 8 2 77 n na      ，即 8an=7Sn+2. 答案：C 8.执行如图的程序框图，当输入的 n=351 时，输出的 k=( ) A.355 B.354 C.353 D.352 解析：模拟程序的运行，可得 ①n=351，则 k=351，m=0，m=0≤2000 成立，k=351+1=352，m=0+2×352=704； ②m=704≤2000 成立，k=352+1=353，m=704+2×353=1410； ③m=1410≤2000 成立，k=353+1=354，m=1410+2×354=2118； ④m=2118≤2000 不成立，所以输出 k=354. 答案：B 9.已知函数 f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1，则函数 y=lnf(x)的单调递增区间是( ) A. (] 88 kk， (k∈Z) B. 3 8 [] 8 kk， (k∈Z) C.[ 8 )3 8 kk， (k∈Z) D.[ 8 ]5 8 kk， (k∈Z) 解析：由已知，化简得 f(x)=sin2x+cos2x= 2 sin 2( 4 )x  ， 又 y=lnf(x)与 y=f(x)的单调性相同且 f(x)＞0， 所以 (2 ]22 42 x k k  ， ， ∴x∈ (k∈Z). 答案：A 10.已知过抛物线 C：y2=4x 的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线交抛物线于 A，B 两点，过 A，B 分别作准线 l 的垂线，垂足分别为 M，N，则四边形 AMNB 的面积为( ) A. 83 3 B. 64 3 3 C.128 3 3 D. 64 3 9 解析：设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由已知得 y=3(x-1)， 代入抛物线方程 y2=4x 化简得 3x2-10x+3=0，∴x1=13，x2=3， ∴ ()1 2 3 )2(33 33 AB， ， ， ，易知四边形 AMNB 为梯形， 故 SAMNB=  1 1 16 8 3 64 3· 22 | 3 3 9 |AM BN M N     ． 答案：D 11.已知梯形 ABCD 中，AB∥CD，AB=2CD，且∠DAB=90°，AB=2，AD=1，若点 Q 满足 2AQ QB ， 则Q C Q D =( ) A. 10 9  B.10 9 C. 13 9  D.13 9 解析：以 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴，建立平面直角坐标系如图所 示： 则 B(2，0)，C(1，1)，D(0，1)，又 ，∴Q(43，0)， 1 4 4 131 1 1 3 3 9 9 QC QD QC QD                   ， ， ， ， . 答案：D 12.如果对定义在 R 上的函数 f(x)，对任意 m≠n，均有 mf(m)+nf(n)-mf(n)-nf(m)＞0 成立， 则称函数 f(x)为“和谐函数”.给出下列函数： ①f(x)=ln2x-5；② f(x)=-x3+4x+3；③ f(x)=2 2 ·x-2(sinx-cosx)；④ f(x)= ln 0 00 xx x    ， ， ， ， 其中函数是“和谐函数”的个数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析：由已知得(m-n)(f(m)-f(n))＞0，所以函数 f(x)为“和谐函数”等价于 f(x)在 R 上为 增函数， 由此判断①f(x)=ln2x-5 在 R 上为增函数，符合题意； ②f(x)=-x3+4x+3 得 f′(x)=-3x2+4，所以 f(x)在 R 上有增有减，不合题意； ③f(x)=2 x·2(sinx-cosx)得 f′(x)=2 -2(cosx+sinx)=2 [( 4 ]2 1 sin )x ≥0， 所以 f(x)在 R 上为增函数，符合题意； ④f(x)= 可知为偶函数，不合题意，所以①③符合题意. 答案：B 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分. 13.若实数 x，y 满足 1 1 6 x y xy         ， ， ， 则 z=2x+y 的最大值是 . 解析：画出不等式组 表示的平面区域，如图所示； 根据图形知，目标函数 z=2x+y 过点 B 时，z 取得最大值； 由 6 1 xy y     ， ， 解得 B(5，1)；∴z 的最大值为 zmax=2×5+1=11. 答案：11 14.函数 f(x)=|log2x|-2-x 的零点个数是 . 解析：根据题意，由 f(x)=0 |log2x|-2-x=0，得|log2x|=( 1 2 )x， 在同一坐标系中作出 y=|log2x|与 y=( )x 的图象，可知交点个数为 2，即 f(x)的零点个数 为 2. 答案：2 15.直线 ax-by+2=0(a＞0，b＞0)与圆 C：x2+y2+2x-2y=0 交于两点 A，B，当 |AB|最大时，14 ab  的最小值为 . 解析：由已知，圆方程化为(x+1)2+(y-1)2=2， 所以圆心为 C(-1，1)，r= 2 ， 当|AB|最大时，直线经过圆心， 所以-a-b+2=0，即 a+b=2，即 2 ab =1， 所以 1 4 1 4 1 4 1 914 (5 2 2 22 ) 22 a b b a a b a b a b                        ， 当且仅当 4ba ab  且 a+b=2 时取等号，所以 14 ab  的最小值为 9 2 . 答案： 16.正四面体(四个面均为正三角形的四面体)的外接球和内切球上各有一个动点 P、Q，若线 段 PQ 长度的最大值为 4 6 3 ，则这个四面体的棱长为 . 解析：设这个四面体的棱长为 a， 则它的外接球与内切球的球心重合， 且半径 66 4 12 R a r a外 内， ，依题意得 6 6 4 6 4 12 3 aa，∴a=4. 答案：4 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.已知 a，b，c 分别为△ABC 三个内角 A，B，C 的对边，且 3 bsinA-acosB-2a=0. (Ⅰ)求 B 的大小； (Ⅱ)若 b= 7 ，△ABC 的面积为 3 2 ，求 a+c 的值. 解析：(Ⅰ)由已知及正弦定理，两角差的正弦函数公式可得 sin(B- 6  )=1，结合 B 的范围可 得 6 )5 66 (B      ， ，即可解得 B 的值. (Ⅱ)由已知及三角形面积公式可得 ac=2，由已知利用平方和公式，余弦定理即可解得 a+c 的值. 答案：(Ⅰ)由已知及正弦定理得 sinBsinA-sinAcosB-2sinA=0， 因为 sinA≠0，所以 sinB-cosB-2=0，即 sin(B- 6  )=1， 又 B∈(0，π )，∴ ( 5 6 6 6 ) 2 6 2 3 B B B            ， ， ， . (Ⅱ)∵B= 2 3  .∴由已知 S△ABC= 1 1 3 3sin 2 2 2 2 ac B ac   ， ∴ac=2，∵b= 7 ，由余弦定理得 b2=a2+c2-2accosB， 即 7=(a+c)2-2ac-2ac·( 1 2  )，∴7=(a+c)2-ac，又 a＞0，c＞0，∴a+c=3. 18.为提高黔东南州的整体旅游服务质量，州旅游局举办了黔东南州旅游知识竞赛，参赛单 位为本州内各旅游协会，参赛选手为持证导游.现有来自甲旅游协会的导游 3 名，其中高级 导游 2 名；乙旅游协会的导游 3 名，其中高级导游 1 名.从这 6 名导游中随机选择 2 人参加 比赛. (Ⅰ)求选出的 2 人都是高级导游的概率； (Ⅱ)为了进一步了解各旅游协会每年对本地经济收入的贡献情况，经多次统计得到，甲旅游 协会对本地经济收入的贡献范围是[30，50](单位：万元)，乙旅游协会对本地经济收入的贡 献范围是[20，40](单位：万元)，求甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对 本地经济收入的贡献的概率. 解析：(Ⅰ)用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值； (Ⅱ)根据题意知，所的概率为几何概型问题，计算所求的概率值. 答案：(Ⅰ)设来自甲旅游协会的 3 名导游为 A1，A2，A3，其中 A2，A3 为高级导游， 来自乙旅游协会的 3 名导游为 B1，B2，B3，其中 B3 为高级导游， 从这 6 名导游中随机选择 2 人参加比赛，有下列基本情况： A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A1B3；A2A3，A2B1，A2B2，A2B3；A3B1，A3B2，A3B3；B1B2，B1B3；B2B3 共 15 种，其中选出的 2 人都是高级导游的有 A2A3，A2B3，A3B3 共 3 种；所以选出的 2 人都是高级导 游的概率为 p= 31 15 5  ； (Ⅱ)依题意，设甲旅游协会对本地经济收入的贡献为 x(单位：万元)， 乙旅游协会对本地经济收入的贡献为 y(单位：万元)，则 x∈[30，50]且 y∈[20，40]， 若甲旅游协会对本地经济收入的贡献不低于乙旅游协会对本地经济收入的贡献， 则 x≥y，属于几何概型问题；作图如下，由图可知 S1=S△DEF，S=SABCD， 所求概率为 11 1 10 10 7211 20 20 8 S S Sp SS        ． 19.如图所示，在三棱锥 P-ABC 中，PC⊥平面 ABC，PC=3，D、E 分别为线段 AB、BC 上的点， 且 CD=DE= 2 ，CE=2EB=2. (Ⅰ)求证：DE⊥平面 PCD； (Ⅱ)求点 B 到平面 PDE 的距离. 解析：(Ⅰ)由 PC⊥平面 ABC，得 PC⊥DE 推导出△CDE 为等腰直角三角形，故 CD⊥DE.由此能 证明 DE⊥平面 PCD. (Ⅱ)过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，由题意得 DF=CF=EF=1，DE⊥PD，PD= 2211PC C D，设 点 B 到平面 PDE 的距离为 h，即为三棱锥 B-PDE 的高，由 VB-PDE=VP-BDE，能求出点 B 到平面 PDE 的距离. 答案：(Ⅰ)由 PC⊥平面 ABC，DE  平面 ABC，故 PC⊥DE. 由 CE=2，CD=DE= 2 ，得△CDE 为等腰直角三角形，故 CD⊥DE. 又 PC∩CD=C，故 DE⊥平面 PCD. (Ⅱ) 由(Ⅰ)知，△CDE 为等腰直角三角形，∠DCE= 4  ， 过 D 作 DF 垂直 CE 于 F，由题意得 DF=CF=EF=1， 又 DE⊥平面 PCD，∴DE⊥PD，PD= ， 设点 B 到平面 PDE 的距离为 h，即为三棱锥 B-PDE 的高， 由 VB-PDE=VP-BDE 得 1 3 S△PDE·h= S△BDE·PC， 即 11 32  ·PD·DE·h= ·BE·DF·PC，即 3 2211 2 1 1 3 22 hh      ， ， ∴点 B 到平面 PDE 的距离为 3 22 22 . 20.已知椭圆 C： 22 22 xy ab  =1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为 F1、F2，上顶点为 A.动直线 l： x-my-1=0(m∈R)经过点 F2，且△AF1F2 是等腰直角三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程； (Ⅱ)设直线 l 交 C 于 M、N 两点，若点 A 在以线段 MN 为直径的圆上，求实数 m 的值. 解析：(Ⅰ)根据直线 l：x-my-1=0 经过点 F2(c，0)，可得 c=1，再根据△AF1F2 是等腰直角三 角形可得 a2=2，即可求出标准方程， (Ⅱ)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，根据向量的数量积和根与系数的关系即可求出 m 的. 答案：(Ⅰ)因为直线 l：x-my-1=0 经过点 F2(c，0)，所以 c=1， 又△AF1F2 是等腰直角三角形，所以 a2+a2=(2c)2-a2=2， 所以 b2=a2-c2=1 故椭圆 C 的标准方程为 2 2 x +y2=1. (Ⅱ)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，易知 A(0，1)， 若点 A 在以线段 MN 为直径的圆上，则 AM⊥AN，即 A M A N =0， 所以(x1，y1-1)·(x2，y2-1)=0，即 x1x2+(y1-1)(y2-1)=0， 化简得 x1x2+y1y2-(y1+y2)+1=0①， 由 2 2 10 1 2 x m y x y       ， ， 得(m2+2)y2+2my-1=0. 所以 1 2 1 222 21 22 my y y y mm       ， ， ∴x1x2=(my1+1)(my2+1)= 2 2 22 2 m m   ，代入①中得 2 2 2 2 2 2 1 2 10 2 2 2 mm m m m         ， 化简得 m2-2m-3=0，解得 m=-1，或 m=3. 因此所求 m 的值为-1 或 3. 21.函数 f(x)=ex-alnx-b 在点 P(1，f(1))处的切线方程为 y=0. (Ⅰ)求实数 a，b 的值； (Ⅱ)求 f(x)的单调区间； (Ⅲ) x≥1，lnex-kex≤0 成立，求实数 k 的取值范围. 解析：(Ⅰ)求得 f(x)的导数，可得切线的斜率，由条件可得 e-a=e-b=0，求得 a，b 的值； (Ⅱ)求得 f(x)的解析式和导数，运用函数的单调性可得 f(x)的单调区间； (Ⅲ)由 lnex-kex≤0 得 1+lnx-kex≤0，即有 k≥1 ln x x e  ，设 h(x)= ，x≥1，只须 k ≥h(x)max，由(Ⅱ)的结论，即可得到所求 k 的范围. 答案：(Ⅰ)f′(x)=ex- a x ，依题意得 f(1)=0，f′(1)=0， 则有 0 0 e b a e e a b e            ， ， ， ； (Ⅱ)由(Ⅰ)得 f(x)=ex-elnx-e，f′(x)=ex- e x ，由于 f′(x)在区间(0，+∞)上为增函数， 且 f′(1)=0， 则当 0＜x＜1 时，f′(x)＜f′(1)=0；当 x＞1 时，f′(x)＞f′(1)=0， 故函数 f(x)的减区间是(0，1)，增区间是(1，+∞)； (Ⅲ)由 lnex-kex≤0 得 1+lnx-kex≤0，所以 k≥1 ln x x e  ， 设 h(x)= ，x≥1，只须 k≥h(x)max， 由(Ⅱ)知当 x≥1 时，f(x)≥f(1)=0，即 ex≥e(lnx+1)对 x≥1 恒成立. 即1 ln 1 x x ee   (当且仅当x=1时取等号)，所以函数h(x)max=h(1)= 1 e ，故 k的取值范围是[ 1 e ， +∞). 22.在直角坐标系 xOy 中，点 P 的坐标为(-1，0)，直线 l 的参数方程为 1 cos sin xt yt          ， (t 为参数).以坐标原点 O 为极点，以 x 轴的非负半轴为极轴，选择相同的单位长度建立极坐标 系，圆 C 极坐标方程为ρ =2. (Ⅰ)当α = 3  时，求直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程； (Ⅱ)直线 l 与圆 C 的交点为 A、B，证明：|PA|-|PB|是与α 无关的定值. 解析：(1)当α = 3  时，消去参数 t 可得直线的普通方程，根据ρ 2=x2+y2 求出圆的直角坐标 方程； (2)将直线的参数方程代入曲线，根据 t 的几何意义写出定值. 解析：(Ⅰ)当α =π 3 时，l 的参数方程为 11 2 3 2 xt yt        ， (t 为参数)， 消去 t 得 y= 33x  .由圆 C 极坐标方程为ρ =2，得 x2+y2=4. 故直线 l 的普通方程为 y= 3 (x+1)，圆 C 的直角坐标方程为 x2+y2=4. (Ⅱ)将 代入 x2+y2=4 得，t2-2tcosα -3=0. 设其两根分别为 t1，t2，则 t1t2=-3. 由 t 的几何意义知|PA|·|PB|=|t1|·|t2|=3.故|PA|·|PB|为定值 3(与α 无关). 23.设 f(x)=|x-2|+2|x+1|. (Ⅰ)求不等式 f(x)≤6 的解集； (Ⅱ) x∈[-2，1]，|f(x)-m|≤2，求实数 m 的取值范围. 解析：(1)根据零点分段法去掉绝对值，分别解出不等式取并集； (Ⅱ)由(1)可得函数 f(x)的图象，求出函数的最值，对不等式去掉绝对值，并参变分离，将 最值代入不等式求解即可. 答案：(Ⅰ)   31 4 1 2 3 () () ( 2) xx f x x x xx         ， ， ， ＜ ＜ ， ， ， 当 x≤-1 时，-3x≤6；当-1＜x＜2 时，x+4≤6；当 x≥2 时，3x≤6； 即-2≤x≤-1 或-1＜x＜2 或 x=2， 即由 f(x)≤6，解得-2≤x≤2， 故不等式 f(x)≤6 的解集为[-2，2]. (Ⅱ)由(Ⅰ)及一次函数的性质知： f(x)在区间[-2，-1]为减函数，在区间[-1，1]上为增函数， 而 f(-2)=6＞f(1)=5， 故在区间[-2，1]上，f(x)min=f(-1)=3，f(x)max=f(-2)=6. 由|f(x)-m|≤2 m-2≤f(x)≤m+2. 所以 m+2≥f(x)max 且 m-2≤f(x)min， 于是 m+2≥6 且 m-2≤3， 故实数 m 的取值范围是[4，5].