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- 2021-05-29 发布
专题限时集训(五) 数列的通项与求和
[建议A、B组各用时：45分钟]
[A组 高考达标]
一、选择题
1．(2016·济南模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝( )
A．2n＋1 B．2n
C．2n－1 D．2n－2
A [由Sn＝2an－4可得Sn－1＝2an－1－4(n≥2)，两式相减可得an＝2an－2an－1(n≥2)，即an＝2an－1(n≥2)．又a1＝2a1－4，a1＝4，所以数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，则an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A.]
2．数列{an}满足a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则a5＝( )
A. B.
C．5 D．6
A [因为a1＝1，且当n≥2时，an＝an－1，则＝，所以a5＝····a1，即a5＝××××1＝.故选A.]
3.＋＋＋…＋的值为( )
A. B.－
C.－ D.－＋
C [∵＝＝
＝，
∴＋＋＋…＋＝
＝
＝－.]
4．在等差数列{an}中，a1＝－2 012，其前n项和为Sn，若－＝2 002，则S2 014的值等于( )
A．2 011 B．－2 012
C．2 014 D．－2 013
C [等差数列中，Sn＝na1＋d，＝a1＋(n－1)，即数列是首项为a1＝－2 012，公差为的等差数列．因为－＝2 002，所以(2 012－10)＝2 002，＝1，所以S2 014
＝2 014[(－2 012)＋(2 014－1)×1]
＝2 014，选C.]
5．数列{an}满足a1＝1，且对任意的m，n∈N*都有am＋n＝am＋an＋mn，则＋＋＋…＋等于( )
A. B.
C. D.
A [令m＝1，得an＋1＝an＋n＋1，即an＋1－an＝n＋1，于是a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，上述n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n，
所以an＝1＋2＋3＋…＋n＝，
因此＝＝2，
所以＋＋＋…＋
＝2
＝2＝.故选A.]
二、填空题
6．(2016·西安模拟)设Sn是数列{an}的前n项和，an＝4Sn－3，则S4＝__________. 【导学号：67722025】
[∵an＝4Sn－3，∴当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1，当n≥2时，∵4Sn＝an＋3，∴4Sn－1＝an－1＋3，∴4an＝an－an－1，∴＝－，∴{an}是以1为首项，－为公比的等比数列，∴S4＝＝×＝.]
7．(2016·广州二模)设数列{an}的前n项和为Sn，若a2＝12，Sn＝kn2－1(n∈N*)，则数列的前n项和为__________．
[令n＝1得a1＝S1＝k－1，令n＝2得S2＝4k－1＝a1＋a2＝k－1＋12，解得k＝4，所以Sn＝4n2－1，＝＝＝，则数列的前n项和为＋＋…＋＝＝.]
8．已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋1(n∈N*)，且a1＝1，则通项公式an＝________.
n∈N* [由Sn＝2an＋1(n∈N*)可得Sn－1＝2an(n≥2，n∈N*)两式相减得：
an＝2an＋1－2an，即＝(n≥2，n∈N*)．
又由a1＝1及Sn＝2an＋1(n∈N*)可得a2＝，
所以数列{an}从第二项开始成一个首项为a2＝，公比为的等比数列，
故当n>1，n∈N*时有an＝·n－2，
所以有an＝n∈N*.]
三、解答题
9．(2016·太原二模)已知数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn成等差数列．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)数列{bn}满足bn＝(log2a2n＋1)×(log2a2n＋3)，求数列的前n项和Tn.
[解] (1)∵，an，Sn成等差数列，∴2an＝Sn＋，1分
当n＝1时，2a1＝S1＋，∴a1＝，2分
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴＝2，4分
∴数列{an}是首项为，公比为2的等比数列，an＝2n－2(n∈N*).6分
(2)∵bn＝log2a2n＋1×log2a2n＋3＝log222n＋1－2×log222n＋3－2
＝(2n－1)(2n＋1)，8分
∴＝×＝，10分
∴Tn＝1－＋－＋…＋－
＝＝.12分
10．已知首项都是1的两个数列{an}，{bn}(bn≠0，n∈N*)满足anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0.
(1)令cn＝，求数列{cn}的通项公式；
(2)若bn＝3n－1，求数列{an}的前n项和Sn.
[解] (1)因为anbn＋1－an＋1bn＋2bn＋1bn＝0(bn≠0，n∈N*)，
所以－＝2，2分
即cn＋1－cn＝2.3分
又c1＝＝1，
所以数列{cn}是以首项c1＝1，公差d＝2的等差数列，故cn＝2n－1.5分
(2)由bn＝3n－1知an＝cnbn＝(2n－1)3n－1，7分
于是数列{an}的前n项和
Sn＝1·30＋3·31＋5·32＋…＋(2n－1)·3n－1，8分
3Sn＝1·31＋3·32＋…＋(2n－3)·3n－1＋(2n－1)·3n，9分
相减得－2Sn＝1＋2·(31＋32＋…＋3n－1)－(2n－1)·3n＝－2－(2n－2)3n，11分
所以Sn＝(n－1)3n＋1.12分
[B组 名校冲刺]
一、选择题
1．已知函数y＝loga(x－1)＋3(a>0，a≠1)所过定点的横、纵坐标分别是等差数列{an}的第二项与第三项，若bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，则T10等于( )
A. B.
C. D.
B [y＝loga(x－1)＋3恒过定点(2,3)，
即a2＝2，a3＝3，又{an}为等差数列，
∴an＝n，∴bn＝，
∴T10＝1－＝，故选B.]
2．已知数列{an}中，a1＝－60，an＋1＝an＋3，则|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|等于( )
A．445 B．765
C．1 080 D．3 105
B [∵an＋1＝an＋3，∴an＋1－an＝3，∴{an}是以－60为首项，3为公差的等差数列，
∴an＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
令an≤0，得n≤21，∴前20项都为负值．
∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a20)＋a21＋…＋a30＝－2S20＋S30.
∵Sn＝n＝×n，∴|a1|＋|a2|＋|a3|＋…＋|a30|＝765，故选B.]
3．设数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，{Sn＋nan}为常数列，则an＝( )
A. B.
C. D.
B [由题意知，Sn＋nan＝2，当n≥2时，(n＋1)an＝(n－1)an－1，
从而···…·＝··…·，有an＝，当n＝1时上式成立，所以an＝.故选B.]
4．(2016·湖北七校2月联考)中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了( )
A．192里 B．96里
C．48里 D．24里
B [由题意，知每天所走路程形成以a1为首项，公比为的等比数列，则＝378，解得a1＝192，则a2＝96，即第二天走了96里．故选B.]
二、填空题
5．(2016·山西四校联考)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n(n∈N*)，则S2 016＝__________.
【导学号：67722026】
3×21 008－3 [∵数列{an}满足a1＝1，an＋1·an＝2n①，∴n＝1时，a2＝2，n≥2时，an·an－1＝2n－1②，∵①÷②得＝2，∴数列{an}的奇数项、偶数项分别成等比数列，∴S2 016＝＋＝3×21 008－3.]
6．设数列{an}的前n项和为Sn，若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝__________，S5＝__________.
1 121 [∵an＋1＝2Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝2Sn＋1，
∴Sn＋1＝3Sn＋1，∴Sn＋1＋＝3，
∴数列是公比为3的等比数列，
∴＝3.
又S2＝4，∴S1＝1，∴a1＝1，
∴S5＋＝×34＝×34＝，
∴S5＝121.]
三、解答题
7．设数列{an}满足a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，n∈N*.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Sn.
[解] (1)因为a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－1an＝，①
所以当n≥2时，a1＋3a2＋32a3＋…＋3n－2an－1＝，②2分
①－②得3n－1an＝，所以an＝(n≥2).4分
在①中，令n＝1，得a1＝，满足an＝，所以an＝(n∈N*).6分
(2)由(1)知an＝，故bn＝＝n×3n.
则Sn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n，③
3Sn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1，④8分
③－④得－2Sn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1，11分
所以Sn＝＋(n∈N*).12分
8．(2016·烟台二模)已知函数f(x)＝，数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝，Sn＋1＝f(Sn)(n∈N*)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设Tn＝S＋S＋…＋S，当n≥2时，求证：4Tn＜2－.
[解] (1)由题意可知，Sn＋1＝，两边取倒数得：＝＝＋2，
即－＝2，又＝2，所以数列是首项为2，公差为2的等差数列.3分
故＝2＋2(n－1)＝2n，所以Sn＝，5分
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝－.7分
所以an＝8分
(2)证明：由(1)可知，S＝，当n≥2时，＜，10分
所以Tn＜，
即4Tn＜2－.12分