2019-2020学年湖北省黄石市高二上学期期末数学试题（解析版） 15页

‎2019-2020学年湖北省黄石市高二上学期期末数学试题 一、单选题 ‎1．命题“都有”的否定是（ ）‎ A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有 ‎【答案】B ‎【解析】按照全称命题的否定的原则来处理即可 ‎【详解】‎ 由全称命题的否定为特称命题,‎ 可得命题“都有”的否定是“都有”,‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查全称命题的否定,属于基础题 ‎2．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）‎ A．充分条件 B．必要条件 C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】根据等价命题，便宜Þ没好货，等价于，好货Þ不便宜，故选B．‎ ‎【考点定位】考查充分必要性的判断以及逻辑思维能力，属中档题。‎ ‎3．下列问题中，最适合用分层抽样方法抽样的是( )‎ A．某电影院有32排座位，每排有40个座位，座位号是1～40.有一次报告会坐满了听众，报告会结束以后为听取意见，要留下32名听众进行座谈 B．从10台冰箱中抽出3台进行质量检查 C．某乡农田有山地8 000亩，丘陵12 000亩，平地24 000亩，洼地4 000亩，现抽取农田480亩估计全乡农田平均产量 D．从50个零件中抽取5个做质量检验 ‎【答案】C ‎【解析】‎ A的总体容量较大，宜采用系统抽样方法；B的总体容量较小，用简单随机抽样法比较方便；C总体容量较大，且各类田地的产量差别很大，宜采用分层抽样方法；D与B类似．‎ ‎【考点】抽样方法．‎ ‎4．一个总体中有600个个体，随机编号为001，002，…，600，利用系统抽样方法抽取容量为24的一个样本，总体分组后在第一组随机抽得的编号为006，则在编号为051~125之间抽得的编号为（ ）‎ A．056，080，104 B．054，078，102‎ C．054，079，104 D．056，081，106‎ ‎【答案】D ‎【解析】将总体平均分组可知每组人数，根据系统抽样原则等距抽取得到结果.‎ ‎【详解】‎ 将总体平均分为组，则每组有人 ‎，，‎ 故编号为之间抽得的编号为：，，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 泵体考查抽样方法中的系统抽样问题，属于基础题.‎ ‎5．某班对一次实验成绩进行分析，利用随机数表法抽取样本时，先将50个同学按01，02．03，…50进行编号，然后从随机数表第9行第11列的数开始向右读，则选出的第6个个体是（ ）（注：表为随机数表的第8行和第9行） ‎ ‎63 01 63 78 59 16 95 55 67 19 98 10 50 71 75 12 86 73 58 07 44 39 52 38 79‎ ‎33 21 12 34 29 78 64 56 07 82 52 42 07 44 38 15 51 00 13 42 99 66 02 79 54‎ A．00 B．13 C．42 D．44‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据随机数表抽取原则按序得到所抽取的个体即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 第行第列开始读取，依次得到的编号为：（舍）、（舍）、（舍）、、（舍）、（舍）、、（重复，舍）、、、、（舍）、（舍）、‎ 即第个个体为 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查简单随机抽样方法中的随机数表法，关键是明确随机数表抽取时，超出所给编号范围和重复抽取的编号需去除.‎ ‎6．如图，已知空间四边形，其对角线为，分别是对边的中点，点在线段上，，现用基向量表示向量，设，则的值分别是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据向量的加减法运算和数乘运算原则可表示出，进而得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎，，‎ 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用基底表示向量，关键是能够熟练掌握向量的加减法运算和数乘运算原则.‎ ‎7．从装有2个白球和2个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的事件是 A．至少有一个黑球与都是黑球 B．至少有一个黑球与至少有一个白球 C．恰好有一个黑球与恰好有两个黑球 D．至少有一个黑球与都是白球 ‎【答案】C ‎【解析】列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可 ‎【详解】‎ 对于A：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：两个都是黑球，∴这两个事件不是互斥事件，∴A不正确 对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有一个白球”可以同时发生，如：一个白球一个黑球，∴B不正确 对于C：事件：“恰好有一个黑球”与事件：“恰有两个黑球”不能同时发生，但从口袋中任取两个球时还有可能是两个都是白球，∴两个事件是互斥事件但不是对立事件，∴C正确 对于D：事件：“至少有一个黑球”与“都是白球”不能同时发生，但一定会有一个发生，‎ ‎∴这两个事件是对立事件，∴D不正确 故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题 ‎8．如图是一边长为8的正方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先求正方形和中间白色大圆的面积，然后由相切关系可知中间黑色大圆和4个小圆的半径，求黑色部分的面积，最后求概率.‎ ‎【详解】‎ 正方形的面积为，内切圆半径为4，中间黑色大圆的半径为2，黑色小圆的半径为1，所以白色区域的面积为，所以黑色区域的面积为，所以在正方形图案上随机取一点，该点取自黑色区域的概率 ‎ .‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查面积比值类型的几何概型，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，注意用规则图形的面积表示不规则图形的面积.‎ ‎9．在100，101，…，999这些数中，各位数字按严格递增或严格递减顺序排列的数的个数是 （ ）‎ A．120 B．168 C．204 D．216‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由题可知分为两大类，第一类不含0时，从9个数字中任选3个，则这个数字递增或递减的顺序确定是两个三位数，共有个；第二类含0时，从9个数字中任选2个数，它们只有递减一种结果，共有个。根据分类计数原理知共有168+36=204个。故选C。‎ ‎【考点】计数原理 ‎10．如图，的二面角的棱上有两点，直线分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于．已知，则的长为 ‎ ‎ A． B．7 C． D．9‎ ‎【答案】C ‎【解析】如下图，作连CE,所以ABDE为矩形，，AB=DE=4，,,选C.‎ ‎11．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示。为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和估计抽取的高中生近视人数分别为（ ）‎ A．200，40 B．200，20 C．200，10 D．100，10‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用总量乘以抽取比例即可得到样本容量；根据图表知高中生近视率为，由此计算可得结果.‎ ‎【详解】‎ 样本容量 估计抽取高中生近视人数为人 故选：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查统计中样本容量、样本与总体之间的关系等知识，属于基础题.‎ ‎12．已知长方体，，，为线段上一点，且，则与平面所成的角的正弦值为(    )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】以D为坐标原点,DA,DC,DD1为x,y,z轴建立空间直角坐标系，则 ‎ 设平面一个法向量为 ，则由 ‎ 因为 ，所以与平面所成的角的正弦值为 ‎，选A 点睛：利用法向量求解空间线面角的关键在于“四破”：第一，破“建系关”，构建恰当的空间直角坐标系；第二，破“求坐标关”，准确求解相关点的坐标；第三，破“求法向量关”，求出平面的法向量；第四，破“应用公式关”.‎ 二、填空题 ‎13．在正方体中，点分别是的中点，则和所成角的余弦值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】以为原点建立空间直角坐标系，设棱长为，根据异面直线所成角的空间向量求法可求得结果.‎ ‎【详解】‎ 以为原点可建立如下图所示的空间直角坐标系 设正方体棱长为，则，，，‎ ‎，‎ 即异面直线与所成角的余弦值为 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量法求解异面直线所成角的问题，易错点是忽略异面直线所成角的范围为，造成求解余弦值时符号错误.‎ ‎14．某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有__________种（用数字作答）．‎ ‎【答案】36‎ ‎【解析】先选出学生选报的社团，共有种选法，再把这3名同学分配到这两个社团，共有，故恰有2个社团没有同学选报数有．‎ ‎15．已知命题，命题，若是的充分不必要条件，则的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解不等式可得命题，，∵是的充分不必要条件，，∴，∴∴，所以的取值范围为.‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法，充分条件与必要条件.‎ ‎16．已知一组正数的方差，则数据的平均数为________.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】试题分析：由题意，，所以 ‎ ‎．‎ ‎【考点】方差与均值．‎ 三、解答题 ‎17．（本小题共13分）‎ 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者。‎ ‎（Ⅰ）求甲、乙两人同时参加岗位服务的概率；‎ ‎（Ⅱ）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率。‎ ‎【答案】（Ⅰ）‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）记甲、乙两人同时参加岗位服务为事件，那么，‎ 即甲、乙两人同时参加岗位服务的概率是。‎ ‎（Ⅱ）设甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件，那么，‎ 所以，甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是。‎ ‎18．已知命题p：，命题q:|2a-1|<3．‎ ‎(1)若命题p是真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎(2)若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(1) (2)‎ ‎【解析】（1）根据命题为真命题，分类讨论a是否为0；再根据开口及判别式即可求得a的取值范围．‎ ‎（2）‎ ‎【详解】‎ 根据复合命题真假，讨论p真q假，p假q真两种情况下a的取值范围．‎ ‎（1）命题是真命题时，在范围内恒成立，‎ ‎∴①当时，有恒成立； ‎ ‎②当时，有，解得：； ‎ ‎∴的取值范围为：.‎ ‎（2）∵是真命题，是假命题，∴.一真一假， ‎ 由为真时得：，故有：①真假时，有得：；‎ ‎②假真时，有得： ； ‎ ‎∴的取值范围为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了命题真假及复合命题真假的简单应用，求参数的取值范围，属于基础题．‎ ‎19．已知的展开式中第二项与第三项的二项式系数之和为36．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求展开式中含的项及展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎【答案】（I）；（II）.‎ ‎【解析】分析：（1）由条件利用二项式系数的性质求得n的值;‎ ‎(2) 二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于，求得r的值，可得展开式中含的项,进而得到展开式中二项式系数最大的项.‎ 详解：（I）由题意知，第二项的二项式系数为，第三项的二项式系数为， ‎ ‎,, ‎ ‎ ‎ 得或（舍去）. ‎ ‎(II)的通项公式为：‎ ‎，令8﹣5k=3，求得k=1，‎ 故展开式中含的项为．‎ 又由知第5项的二项式系数最大，此时 .‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．‎ ‎20．为庆祝国庆节，某中学团委组织了“歌颂祖国，爱我中华”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出60名，将其成绩(成绩均为整数)分成[40，50)，[50，60)，…，[90，100)六组，并画出如图所示的部分频率分布直方图，观察图形，回答下列问题：‎ ‎（1）求第四组的频率，并补全这个频率分布直方图；‎ ‎（2）请根据频率分布直方图，估计样本的众数、中位数和平均数．（每组数据以区间的中点值为代表）‎ ‎【答案】（1）第四组的频率为0.3，直方图见解析；（2）众数：75，中位数：，均分为71分 ‎【解析】（1）由各组的频率和等于1求解第四组频率，再补全直方图即可 ‎（2）利用最高的矩形得众数；利用左右面积相等求中位数；利用组中值估算抽样学生的平均分 ‎【详解】‎ ‎(1)因为各组的频率和等于1，所以第四组的频率为.‎ 补全的频率分布直方图如图所示．‎ ‎(2)众数为：，‎ 设中位数为x,则 ‎ 抽取学生的平均分约为45×0.1＋55×0.15＋65×0.15＋75×0.3＋85×0.25＋95×0.05＝71(分)，所以可估计这次考试的平均分为71分．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了频率分布直方图、用样本估计总体、等可能事件的概率，同时考查了作图能力，属于中档题．‎ ‎21．如图，在三棱锥中，平面平面，，，，，分别为线段，上的点，且，，.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)若直线与平面所成的角为，求平面与平面所成的锐二面角．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据线面垂直的判定定理，直接证明，即可得出结果；‎ ‎（2）先由题意得到，，两两互相垂直，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的法向量，由向量夹角公式，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意知，，，‎ 所以，‎ 所以，所以，‎ 又易知，‎ 所以，‎ 所以，又，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为平面平面，交线为，‎ 所以平面，所以，‎ 因为，，‎ 所以平面；‎ ‎(2)由(1)知，，两两互相垂直，所以可建立如图所示的直角坐标系，‎ 因为直线与平面所成的角为，即，所以，‎ 则，，，，‎ 所以，，．‎ 因为，，所以，‎ 由(1)知，所以，‎ 又平面，所以，‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 所以为平面的一个法向量．‎ 设平面的法向量为，则，‎ 所以，令，得，，‎ 所以为平面的一个法向量．‎ 所以，‎ 所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为，‎ 故平面与平面所成的锐二面角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查证明线面垂直，以及求二面角的大小，熟记线面垂直的判定定理，以及二面角的空间向量的求法即可，属于常考题型.‎ ‎22．如图所示，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，为棱的中点.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）设点在线段上，且直线与平面所成角的正弦值是，求线段的长.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，通过可证得结论；‎ ‎（2）根据二面角的空间向量求法可求得结果；‎ ‎（3）利用共线向量和向量线性运算表示出，根据直线与平面所成角的空间向量求法可构造方程求得，从而得到，求解的模长即为所求结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）以为原点可建立如下图所示空间直角坐标系 则，，，，，‎ ‎，‎ ‎ ‎ ‎（2）由（1）知：，‎ 平面，平面 ‎ 又，平面， 平面 平面的一个法向量为 设平面的法向量 则，令，则， ‎ ‎ ‎ 二面角的正弦值为 ‎（3）由（1）知：，‎ 设， ‎ 平面，平面 ‎ 又，平面， 平面 平面的一个法向量为 设为直线与平面所成角 则，解得：‎ 则 ，即的长为 ‎【点睛】‎ 本题考查空间向量法解决立体几何中的垂直关系证明、二面角的求解、根据线面角求解其他量的问题；考查学生对于空间向量法的掌握情况，属于常考题型.‎