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- 2021-05-29 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷
一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）
1．若，则x+y= ．
2．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m= ．
3．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第 象限的角．
4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件 ．
5．把行列式按照第二列展开，则 ．
6．已知||=3，||=5， =12，则向量与向量的夹角余弦为 ．
7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a= ．
8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ= ．
9．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是 ．
10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为 ．
11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是 ．
12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为 ．
13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：
①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；
②函数f（x）一定存在零点；
③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；
④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．
那么所有真命题的序号是 ．
14．已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b（m＜n，m，n∈N*），则am+n=”．现已知数列{bn}（bn＞0，n∈N*）为等比数列，且bm=a，bn=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到bm+n= ．
二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）
15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（ ）
A．[1，2） B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（ ）
A． B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤
17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
18．数列{an}满足a1=10，an+1=an+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则（﹣[]）=（ ）
A．1 B． C． D．
三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明）
19．解不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＜0（a∈R）．
20．已知数列{an}的前项和为Sn，Sn=1+tan（t≠1且t≠0，n∈N*）
（1）求证：数列{an}是等比数列
（2）若Sn=1，求实数t的取值范围．
21．如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在
边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．
（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；
（2）求S的最大值，并求此时θ的值．
22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．
（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．
（2）已知函数fM（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足fM（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．
（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．
23．在数列{an}中，an=（n∈N*）．从数列{an}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{bn}，并称{bn}为数列{an}的k项子列．例如数列，，，为{an}的一个4项子列．
（Ⅰ）试写出数列{an}的一个3项子列，并使其为等差数列；
（Ⅱ）如果{bn}为数列{an}的一个5项子列，且{bn}为等差数列，证明：{bn}的公差d满足﹣＜d＜0；
（Ⅲ）如果{cn}为数列{an}的一个m（m≥3）项子列，且{cn}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+cm≤2﹣．
2016-2017学年上海交大附中高二（上）摸底数学试卷
参考答案与试题解析
一．填空题（满分56分）（本大题共14小题，每小题只要求直接填写结果，填对得4分否则一律得零分）
1．若，则x+y= 1 ．
【考点】几种特殊的矩阵变换．
【分析】先根据矩阵的乘法化简成二元一次方程组，然后解方程组即可求出x和y的值，从而求出x+y的值．
【解答】解：∵，
∴解得
即x+y=1
故答案为：1
2．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B⊆A，则实数m= 1 ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】根据题意，若B⊆A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
【解答】解：由B⊆A，m2≠﹣1，
∴m2=2m﹣1．解得m=1．
验证可得符合集合元素的互异性，
此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B⊆A满足题意．
故答案为：1
3．已知θ为象限角且cot（sinθ）＞0则θ是第 一、二 象限的角．
【考点】三角函数值的符号．
【分析】由正弦函数的值域结合cot（sinθ）＞0可得0＜sinθ≤1，进一步得到象限角θ的范围．
【解答】解：∵﹣1≤sinθ≤1，且cot（sinθ）＞0，
∴0＜sinθ≤1，
∴θ为第一或第二象限角．
故答案为：一、二．
4．已知函数f（x）=（a2﹣1）x2+（a﹣1）x+3写出对任意的x∈R，f（x）＞0的一个充分非必要条件 a=1 ．
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】取a=1结合充分必要条件的定义，验证即可．
【解答】解：a=1时，f（x）=3＞0，成立，
而f（x）＞0时，a不一定是1，
故答案为：a=1．
5．把行列式按照第二列展开，则 ﹣3×+2×+2× ．
【考点】三阶矩阵．
【分析】利用行列式展开的方法，即可得出结论．
【解答】解：把行列式按照第二列展开得到﹣3×+2×+2×．
故答案为：﹣3×+2×+2×．
6．已知||=3，||=5， =12，则向量与向量的夹角余弦为 ．
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】可直接由夹角余弦公式求出向量与向量的夹角余弦
【解答】解：∵||=3，||=5， =12，
∴向量与向量的夹角余弦为==．
故答案为．
7．我国古代名著《九章算术》用“更相减损术”求两个正整数的最大公约数是一个伟大的创举，这个伟大创举与古老的算法﹣﹣“辗转相除法”实质一样，如图的程序框图源于“辗转相除法”．当输入a=6102，b=2016时，输出的a= 18 ．
【考点】程序框图．
【分析】模拟程序框图的运行过程，该程序执行的是欧几里得辗转相除法，求出运算结果即可．
【解答】解：模拟程序框图的运行过程，如下；
a=6102，b=2016，
执行循环体，r=54，a=2016，b=54，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r=18，a=54，b=18，
不满足退出循环的条件，执行循环体，r=0，a=18，b=0，
满足退出循环的条件r=0，退出循环，输出a的值为18．
故答案为：18．
8．若sinθ+cosθ=（0＜θ＜π），则tanθ= ﹣2 ．
【考点】同角三角函数基本关系的运用．
【分析】已知等式两边平方，利用完全平方公式及同角三角函数间基本关系求出sinθ﹣cosθ的值，进而求出sinθ与cosθ的值，即可求出tanθ的值．
【解答】解：已知等式sinθ+cosθ=①，
两边平方得：（sinθ+cosθ）2=1+2sinθcosθ=，即2sinθcosθ=﹣，
∵0＜θ＜π，
∴cosθ＜0，sinθ＞0，即sinθ﹣cosθ＞0，
∴（sinθ﹣cosθ）2=1﹣2sinθcosθ==，即sinθ﹣cosθ=②，
联立①②，解得：sinθ=，cosθ=﹣，
则tanθ=﹣2，
故答案为：﹣2
9．M={x|2x2﹣5x﹣3=0}，N={x|mx=1}，若N⊆M，则实数m的取值集合是 {0，﹣2， } ．
【考点】集合的包含关系判断及应用．
【分析】分N=∅和N≠∅两种情况进行讨论，根据集合包含关系的判断和应用，分别求出满足条件的m值，并写成集合的形式即可得到答案．
【解答】解：解：∵M={x|2x2﹣5x﹣3=0}={﹣，3}
又∵N⊆M，
若N=∅，则m=0；
若N≠∅，则N={﹣}，或N={3}，
即m=﹣2或m=
故满足条件的实数m∈{0，﹣2， }．
故答案为：{0，﹣2， }．
10．实数x满足|x2﹣x﹣2|+||=|x2﹣x﹣2+|，则x的解集为 {x|﹣1≤x＜0或x≥2} ．
【考点】绝对值三角不等式．
【分析】由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，列出关于x的不等式组，求出不等式组的解集，同时考虑分母不为0得到x不等于0，即可得到x的范围．
【解答】解：由已知条件得到x2﹣x﹣2与同号或均为0，
∴
∴﹣1≤x＜0或x≥2．
∴解集为{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．
故答案为：{x|﹣1≤x＜0或x≥2}．
11．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）=k有三个不同的实根，则实数k的取值范围是 （﹣1，0） ．
【考点】根的存在性及根的个数判断．
【分析】令y=k，画出f（x）和y=k的图象，通过读图一目了然．
【解答】解：画出函数f（x）的图象（红色曲线），
如图示：
，
令y=k，由图象可以读出：﹣1＜k＜0时，
y=k和f（x）有3个交点，
即方程f（x）=k有三个不同的实根，
故答案为：（﹣1，0）．
12．幂函数f（x）=x（m∈Z）的图象与坐标轴无公共点，且关于y轴对称，则m的值为 1 ．
【考点】指数函数的图象与性质．
【分析】利用幂函数的图象及性质求解．
【解答】解：由题意：坐标轴无公共点，且关于y轴对称，图象只能在一二象限，且是单调减函数．
∴m2﹣2m﹣3＜0，且m2﹣2m﹣3是偶数，m∈Z．
解得：m=1，
故答案为：1．
13．已知函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），给出下列四个命题：
①当且仅当a=0时，f（x）是偶函数；
②函数f（x）一定存在零点；
③函数在区间（﹣∞，a]上单调递减；
④当0＜a＜1时，函数f（x）的最小值为a﹣a2．
那么所有真命题的序号是 ①④ ．
【考点】命题的真假判断与应用；函数奇偶性的性质；函数的零点．
【分析】（1）当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项；
（2）二次函数的零点是函数与X轴交点的横坐标，举个反例即可；
（3）分段函数单调性要根据每段函数解析式来求，举个反例即可；
（4）当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．
【解答】解：由于函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R），
①当a=0时，f（x）=x2，则f（x）是偶函数；
当f（x）是偶函数时，函数解析式中不能含有奇数次项，则﹣2a=0，即a=0．
故①为真命题．
②∵△=4a2﹣4a=4a（a﹣1），当0＜a＜1时，△＜0，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，
此时函数f（x）不存在零点，∴②是假命题．
③由于函数f（x）=x2﹣2ax+a在区间（﹣∞，a]上单调递减，
但函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）是由函数f（x）=x2﹣2ax+a把X轴下方图象沿X轴旋转180度得到的，
则函数f（x）=|x2﹣2ax+a|（x∈R）在区间（﹣∞，a]上单调递减不一定成立．
故③是假命题．
④当0＜a＜1时，函数f（x）=|x2﹣2ax+a|=x2﹣2ax+a＞0恒成立，此时函数f（x）的最小值为a﹣a2．
故④是真命题．
故答案为①④．
14．已知命题：“若数列{an}为等差数列，且am=a，an=b（m＜n，m，n∈N*），则am+n=”．现已知数列{bn}（bn＞0，n∈N*）为等比数列，且bm=a，bn=b（m＜n，m，n∈N*），若类比上述结论，则可得到bm+n= ．
【考点】类比推理．
【分析】首先根据等差数列和等比数列的性质进行类比，等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的，很快就能得到答案．
【解答】解：等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，
等差数列中的bn﹣am可以类比等比数列中的，
等差数列中的可以类比等比数列中的．
故bm+n=，
故答案为
二．选择题（满分20分）（本大题共4小题，每小题5分，均为单选题）
15．若f（x）=lg（x2﹣2ax+1+a）在区间（﹣∞，1]上递减，则a的取值范围为（ ）
A．[1，2） B．[1，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
【考点】复合函数的单调性．
【分析】由题意，在区间（﹣∞，1]上，a的取值需令真数x2﹣2ax+1+a＞0，且函数u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上应单调递减，这样复合函数才能单调递减．
【解答】解：令u=x2﹣2ax+1+a，则f（u）=lgu，
配方得u=x2﹣2ax+1+a=（x﹣a）2 ﹣a2+a+1，故对称轴为x=a，如图所示：
由图象可知，当对称轴a≥1时，u=x2﹣2ax+1+a在区间（﹣∞，1]上单调递减，
又真数x2﹣2ax+1+a＞0，二次函数u=x2﹣2ax+1+a在（﹣∞，1]上单调递减，
故只需当x=1时，若x2﹣2ax+1+a＞0，
则x∈（﹣∞，1]时，真数x2﹣2ax+1+a＞0，
代入x=1解得a＜2，所以a的取值范围是[1，2）
故选A．
16．设a＞0，b＞0，则以下不等式中恒成立的是（ ）
A． B．a3+b3≥2ab C．a2+b2≥2a+2b D．≤
【考点】基本不等式．
【分析】利用基本不等式的性质依次进行判断即可得出．
【解答】解：对于A： ，当且仅当a=b时取等号．故A对．
对于B：a3+b3=≥=2，当且仅当a=b时取等号．故B不对．
对于C：a2+b2﹣2a﹣2b=（a﹣1）2+（b﹣1）2﹣2，即a2+b2≥2a+2b﹣2，故C不对，
对于D：，
那么： =a﹣b﹣a﹣b+2=﹣2b+2=2≥0，∴D不对．
故选：A．
17．已知函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），则函数g（x）=cos（2x﹣φ）的图象（ ）
A．关于点（，0）对称
B．可由函数f（x）的图象向右平移个单位得到
C．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
D．可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到
【考点】余弦函数的对称性．
【分析】由条件利用诱导公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：∵函数f（x）=2sinxsin（x+3φ）是奇函数，其中φ∈（0，），∴φ=，
∴f（x）=2sinxsin（x+）=sin2x=cos（2x﹣）=cos2（x﹣），
则函数g（x）=cos（2x﹣φ）=cos（2x﹣）=cos2（x﹣） 的图象可由函数f（x）的图象向左平移个单位得到的，
故选：C．
18．数列{an}满足a1=10，an+1=an+18n+10（n∈N*）记[x]表示不超过实数x的最大整数，则（﹣[]）=（ ）
A．1 B． C． D．
【考点】数列的极限．
【分析】由已知变形，利用累加法求得数列通项公式，然后代入（﹣[]）求得答案．
【解答】解：由an+1=an+18n+10，得a1=10，
又a1=10，
∴a2﹣a1=18×1+10，
a3﹣a2=18×2+10，
…
an﹣an﹣1=18（n﹣1）+10，
累加得：an=a1+18[1+2+…+（n﹣1）]+10（n﹣1）=．
∴﹣[]===．
则（﹣[]）=．
故选：D．
三．解答题（满分74分）（本大题共5题，写出必要的解题步骤和说明）
19．解不等式ax2+（2﹣a）x﹣2＜0（a∈R）．
【考点】一元二次不等式的解法．
【分析】将原不等式化为（ax+2）（x﹣1）＜0分a=0，a＞0，a＜0三种情况进行讨论．a=0、a＞0易解不等式；当a＜0时，按照对应方程的两根大小分三种情况讨论即可．
【解答】解：将原不等式化为（ax+2）（x﹣1）＜0，
（1）当a=0时，有x＜1；
（2）当a＞0时，有（x+）（x﹣1）＜0，解得﹣＜x＜1，
（3）当a＜0时，有（x+）（x﹣1）＞0，
若﹣＞1时，即﹣2＜a＜0，解得x＜1或x＞﹣，
若﹣=1时，即a=﹣2，解得x≠1，
若﹣＜1时，即a＜﹣2，解得x＜﹣，或x＞1，
综上，a=0时，不等式的解集为{x|x＜1}；﹣2＜a＜0时，不等式的解集为{x|x＜1或x＞﹣}；
当a=﹣2时，不等式的解集为{x|x∈R，且x≠1}；
当a＜﹣2时，不等式的解集为{x|x＜﹣或x＞1}；
当a＞0时，不等式的解集为{x|﹣＜x＜1}．
20．已知数列{an}的前项和为Sn，Sn=1+tan（t≠1且t≠0，n∈N*）
（1）求证：数列{an}是等比数列
（2）若Sn=1，求实数t的取值范围．
【考点】数列的极限；等比数列的通项公式．
【分析】（1）利用条件，再写一式，两式相减，即可证明数列{an}是等比数列
（2）若Sn=1， [1﹣]=1，可得0＜||＜1，即可求实数t的取值范围．
【解答】（1）证明：∵Sn=1+tan，
∴n≥2时，Sn﹣1=1+tan﹣1，
两式相减可得an=tan﹣tan﹣1，
∴=，
∴数列{an}是等比数列；
（2）解：由题意，S1=1+ta1，∴a1=，∴an=，
若Sn=1，则 [1﹣]=1，
∴0＜||＜1，
∴，
∵t≠1且t≠0，
∴，且t≠0．
21．如图，ABCD是边长为10海里的正方形海域．现有一架飞机在该海域失事，两艘海事搜救船在A处同时出发，沿直线AP、AQ向前联合搜索，且∠PAQ=（其中点P、Q分别在边BC、CD上），搜索区域为平面四边形APCQ围成的海平面．设∠PAB=θ，搜索区域的面积为S．
（1）试建立S与tanθ的关系式，并指出θ的取值范围；
（2）求S的最大值，并求此时θ的值．
【考点】解三角形的实际应用．
【分析】（1）利用S=SABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ，可得S与tanθ的关系式；
（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2），利用基本不等式，可求S的最大值，并求此时θ的值．
【解答】解：（1）S=SABCD﹣S△ABP﹣S△ADQ…2分
=…4分
=…6分
（2）令t=1+tanθ，t∈（1，2）…8分
…10分
∵，（当且仅当时，即，等号成立）…12分
∴当时，搜索区域面积S的最大值为（平方海里）
此时，…14分．
22．（理）定义区间（c，d），[c，d），（c，d]，[c，d]的长度均为d﹣c，其中d＞c．
（1）已知函数y=|2x﹣1|的定义域为[a，b]，值域为[0，]，写出区间[a，b]长度的最大值与最小值．
（2）已知函数fM（x）的定义域为实数集D=[﹣2，2]，满足fM（x）=（M是D的非空真子集）．集合A=[1，2]，B=[﹣2，﹣1]，求F（x）=的值域所在区间长度的总和．
（3）定义函数f（x）=+++﹣1，判断函数f（x）在区间（2，3）上是否有零点，并求不等式f（x）＞0解集区间的长度总和．
【考点】函数零点的判定定理；分段函数的应用．
【分析】（1）利用数形结合求出即可；（2）中求出两区间长度作和即可；（3）找出①②③三个关系式，比较得出结论．
【解答】解：（1），
解得x=﹣1或，
|2x﹣1|=0，解得x=0，
画图可得：区间[a，b]长度的最大值为log23，
最小值为．
（2）
当x∈A∪B，，
当x∈（﹣1，1），，
所以x∈[﹣2，2]时，
所以值域区间长度总和为．
（3）由于当2＜x＜3时，取x=2.001，f（2.001）＞0，
取x=2.999，f（2.999）＜0，
所以方程f（x）=0在区间（2，3）内有一个解
考虑函数f（x）=+++﹣1，
由于当x＜1时，f（x）＜0，
故在区间（﹣∞，1）内，不存在使f（x）＞0的实数x；
对于集合{1，2，3，4}中的任一个k，由于当k﹣1＜x＜k时，
取x=k+0.001，f（x）＞0，取x=k+1﹣0.001，f（x）＜0
又因为函数y=f（x）在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内单调递减，
所以方程f（x）=0在区间（1，2），（2，3），（3，4），（4，+∞）内各有一个解；
依次记这4个解为x1，x2，x3，x4，
从而不等式f（x）＞0的解集是E=（1，x1）∪（2，x2）∪（3，x3）∪（4，x4），
故得所有区间长度的总和为S=（x1﹣1）+（x2﹣2）+（x3﹣3）+（x4﹣4）=x1+x2+x3+x4﹣10…①
对f（x）＞0进行通分处理，分子记为p（x），
p（x）
=（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）+2（x﹣1）（x﹣3）（x﹣4）+3（x﹣1）（x﹣2）（x﹣4）+4（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）﹣（x﹣1）（x﹣2）（x﹣3）（x﹣4）
如将p（x）展开，其最高项系数为﹣1，
设p（x）=﹣x4+a3x3+a2x2+a1x+a0…②
又有p（x）=﹣（x﹣x1）（x﹣x2）（x﹣x3）（x﹣x4）…③
对比②③中p（x）的x3系数，（x1+x2+x3+x4）=1+2+3+4+（1+2+3+4）=20
可得：S=x1+x2+x3+x4﹣10=10．
23．在数列{an}中，an=（n∈N*）．从数列{an}中选出k（k≥3）项并按原顺序组成的新数列记为{bn}，并称{bn}为数列{an}的k项子列．例如数列，，，为{an}的一个4项子列．
（Ⅰ）试写出数列{an}的一个3项子列，并使其为等差数列；
（Ⅱ）如果{bn}为数列{an}的一个5项子列，且{bn}为等差数列，证明：{bn}的公差d满足﹣＜d＜0；
（Ⅲ）如果{cn}为数列{an}的一个m（m≥3）项子列，且{cn}为等比数列，证明：c1+c2+c3+…+cm≤2﹣．
【考点】数列与不等式的综合；等差关系的确定；等差数列的性质．
【分析】（Ⅰ）根据新定义的规定，从原数列中找出符合条件的一个数列，注意本题答案不唯一；
（Ⅱ）先利用反证法推出新数列的第一项不等于1，再利用等差数列中项与项的关系，得到公差的取值范围；
（Ⅲ）对于新数列，先研究其首项，再利用公比是有理数，对公比进行分类研究，得到本题的结论．
【解答】（Ⅰ）解：答案不唯一．如3项子列，，；
（Ⅱ）证明：由题意，知1≥b1＞b2＞b3＞b4＞b5＞0，
所以d=b2﹣b1＜0．
假设b1=1，
由{bn}为{an}的一个5项子列，得，
所以．
因为b5=b1+4d，b5＞0，
所以4d=b5﹣b1=b5﹣1＞﹣1，即．
这与矛盾．
所以假设不成立，即b1≠1．
所以，
因为b5=b1+4d，b5＞0，
所以，即，
综上，得．
（Ⅲ）证明：由题意，设{cn}的公比为q，
则．
因为{cn}为{an}的一个m项子列，
所以q为正有理数，且q＜1，．
设，且K，L互质，L≥2）．
当K=1时，
因为，
所以=，
所以．
当K≠1时，
因为是{an}中的项，且K，L互质，
所以a=Km﹣1×M（M∈N*），
所以=．
因为L≥2，K，M∈N*，
所以．
综上，．
2016年11月2日