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- 2021-05-29 发布
广西钦州市钦州港经济技术开发区中学2017年秋季学期12月份考试
高二文科数学试卷
第I卷（选择题 共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，在每小题题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．设命题，则是（ ）
A. B.
C. D.
2．下列说法中正确的是( )．
A．一个命题的逆命题为真，则它的逆否命题一定为真
B．“a>b”与“a＋c>b＋c”不等价
C．“若a2＋b2＝0，则a，b全为0”的逆否命题是“若a，b全不为0，则a2＋b2≠0”
D．一个命题的否命题为真，则它的逆命题一定为真
3.已知函数f（x）=（2+x）2﹣3x，则f′（1）为（ ）
A．6 B．0 C．3 D．7
4．命题“，则或”的逆否命题为（ ）
A. 若，则且 B. 若，则且
C. 若且，则 D. 若或，则
5．以下四个命题既是特称命题又是真命题的是( )．
A．锐角三角形的内角是锐角或钝角B．至少有一个实数x，使x2≤0
C．两个无理数的和必是无理数D．存在一个负数x，使>2
6.已知函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是（ ）
A．a≥3 B．a=3 C．a≤3 D．0＜a＜3
7．已知双曲线的渐近线万程，则的值为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
8．椭圆x2＋4y2＝1的离心率为( )．
A. B. C. D.
9.抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，A、B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=60°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．2
10．如果方程表示双曲线，则实数k的取值范围是（ ）
A. k<一1 B. k>一1 C. k>1 D. k>1或k<一1
11．函数y＝x4－2x2＋5的单调减区间为( )．
A．(－∞，－1)及(0，1) B．(－1，0)及(1，＋∞)
C．(－1，1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞)
12.已知F是椭圆C： +=1（a＞b＞0）的右焦点，点P在椭圆C上，且线段PF与圆（其中c2=a2﹣b2）相切于点Q，且=2，则椭圆C的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题（本大题共4小题，，每小题5分，共20分）
13．命题“若x＝1或x＝2，则x2－3x＋2＝0”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题的个数是________．
14．命题p：∃x0∈R，x＋2x0＋4<0的否定为：________．
15.某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料，瓶子的制造成本是0.8πr2
分，其中r是瓶子的半径，单位是厘米．已知每出售1mL饮料，制造商可获利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半径为6cm，则瓶子半径为 cm时，每瓶饮料的利润最小．
16．设，当x∈（0，1）时取得极大值，当x∈（1，2）时取得极小值，则的取值范围为 ．
三、解答题 (本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)
17命题不等式的解集是．命题：函数在定义域内是增函数，若为假命题， 为真命题，求的取值范围．
18.已知函数f（x）=x3+x﹣16．
（1）求满足斜率为4的曲线的切线方程；
（2）直线l为曲线y=f（x）的切线，且经过原点，求直线l的方程．
19．(16分)设函数f（x）=lnx﹣ax2﹣bx．
（1）若x=1是f（x）的极大值点，求a的取值范围．
（2）当a=0，b=﹣1时，函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，求正数λ的值．
20．已知双曲线与椭圆有公共的焦点，并且椭圆的离心率与双曲线的离心率之比为，求双曲线的方程．
21.如图所示，矩形ABCD为本市沿海的一块滩涂湿地，其中阴影区域有丹顶鹤活动，曲线AC是以AD所在直线为对称轴的抛物线的一部分，其中AB=1km，BC=2km，现准备开发一个面积为0.6km2的湿地公园，要求不能破坏丹顶鹤活动区域．问：能否在AB边上取点E、在BC边上取点F，使得△BEF区域满足该项目的用地要求？若能，请给出点E、F的选址方案；若不能，请说明理由．
22.（本题满分12分）
已知椭圆C：，离心率为．
（I）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设椭圆C的下顶点为A，直线l过定点，与椭圆交于两个不同的点M、N，且满足|AM|=|AN|．求直线l的方程．
参考答案：
1. D2.B3.C4.C5.B6.A7.C8.A9.C10.B11.A12.A
13.4 14.∀x∈R，x2＋2x＋4≥0 15.A 16. （﹣∞，﹣3）∪（2，+∞）．
17解析．∵命题p：不等式的解集是，∴，解得，∵命题q：函数在定义域内是增函数，∴，解得由为假命题， 为真命题，可知一真一假，当真假时，由，当假真时，由，或，综上可知的取值范围为： ，或
18.解：（1）设切点坐标为（x0，y0），
函数f（x）=x3+x﹣16的导数为f′（x）=3x2+1，
由已知得f′（x0）=k切=4，即，解得x0=1或﹣1，
切点为（1，﹣14）时，切线方程为：y+14=4（x﹣1），即4x﹣y﹣18=0；
切点为（﹣1，﹣18）时，切线方程为：y+18=4（x+1），即4x﹣y﹣14=0；…（7分）
（2）设切点坐标为（x0，y0），
由已知得f'（x0）=k切=，且，
切线方程为：y﹣y0=k（x﹣x0），
即，
将（0，0）代入得x0=﹣2，y0=﹣26，
求得切线方程为：y+26=13（x+2），即13x﹣y=0．
19：解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，由f'（1）=0，得b=1﹣a．
∴．…（2分）
①若a≥0，由f'（x）=0，得x=1．
当0＜x＜1时， f'（x）＞0，此时f（x）单调递增；
当x＞1时，f'（x）＜0，此时f（x）单调递减．
所以x=1是f（x）的极大值点．…（5分）
②若a＜0，由f'（x）=0，得x=1，或x=．
因为x=1是f（x）的极大值点，所以＞1，解得﹣1＜a＜0．
综合①②：a的取值范围是a＞﹣1．…（8分）
（Ⅱ）因为函数F（x）=f（x）﹣λx2有唯一零点，
即λx2﹣lnx﹣x=0有唯一实数解，
设g（x）=λx2﹣lnx﹣x，
则．令g'（x）=0，2λx2﹣x﹣1=0．
因为λ＞0，所以△=1+8λ＞0，
方程有两异号根设为x1＜0，x2＞0．
因为x＞0，所以x1应舍去．
当x∈（0，x2）时，g'（x）＜0，g（x）在（0，x2）上单调递减；
当x∈（x2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）在（x2，+∞）单调递增．
当x=x2时，g'（x2）=0，g（x）取最小值g（x2）．…（12分）
因为g（x）=0有唯一解，所以g（x2）=0，
则即
因为λ＞0，所以2lnx2+x2﹣1=0（*）
设函数h（x）=2lnx+x﹣1，因为当x＞0时，
h（x）是增函数，所以h（x）=0至多有一解．
因为h（1）=0，所以方程（*）的解为x2=1，
代入方程组解得λ=1．
20． 试题解析：椭圆的焦点为，离心率为，
由题意知双曲线的焦点为，离心率，∴双曲线的实轴长为6，
∴双曲线的方程为．
21：解：△BEF区域满足该项目的用地要求等价于△BEF面积的最大值不小于0.6 km2，
以A为原点，AB所在直线为x轴，
AD所在直线为y轴，
建立如图所示平面直角坐标系，
则A（0，0），B（1，0），C（1，2），D（0，2），
设曲线AC所在的抛物线的方程为x2=2py（p＞0），
代入点C（1，2）得p=，
得曲线AC的方程为y=2x2（0≤x≤1），
欲使得△BEF的面积最大，必有EF与抛物线弧AC相切，
设切点为P（t，2t2），0≤t≤1，
由y=2x2得y′=4x，故点P（t，2t2）处切线的斜率为4t，
切线的方程为y﹣2t2=4t（x﹣t），
即y=4tx﹣2t2，
当t=0时显然不合题意，故0＜t≤1，
令x=1得yP=4t﹣2t2，令y=0得xK=t，
则S△BEF=BE•BF=（1﹣）（4t﹣2t2）=t3﹣2t2+2t，
设f（t）=t3﹣2t2+2t，0＜t≤1，
则f′（t）=（3t﹣2）（t﹣2），
令f′（t）＞0得0＜t＜，令f′（t）＜0得＜t≤1，
故f（t）在（0，）上递增，在（，1]上递减，
故f（t）max=f（）=，
而＜0.6，故该方案所得△BEF区域不能满足该项目的用地要求
22.I）由题意可得e==，
+=1，且a2﹣b2=c2，
解得a=，b=1，
即有椭圆的方程为+y2=1；
（Ⅱ）若直线的斜率不存在，M，N为椭圆的上下顶点，
即有|AM|=2，|AN|=1，不满足题设条件；（6分）
设直线l：y=kx+（k≠0），与椭圆方程+y2=1联立，
消去y，可得（1+3k2）x2+9kx+=0，
判别式为81k2﹣4（1+3k2）•＞0，化简可得k2＞，①
设M（x1，y1），N（x2，y2），可得x1+x2=﹣，
y1+y2=k（x1+x2）+3=3﹣=，
由|AM|=|AN|，A（0，﹣1），可得
=，
整理可得，x1+x2+（y1+y2+2）（）=0，（y1≠y2）
即为﹣+（+2）•k=0，
可得k2=，即k=±，
代入①成立．
故直线l的方程为y=±x+．