福建省莆田市仙游县郊尾中学2019-2020学年高一上学期期中考试数学试题 14页

www.ks5u.com 郊尾中学高一期中数学试卷 一、选择题 ‎1.已知集合，，若，则（ ）‎ A. B. C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：∵，，若，则或，则，又当时，集合出现重复元素，因此或.故选C.‎ 考点：集合中子集的概念与集合中元素的互异性.‎ ‎2.函数的定义域是（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，分子根号下的式子大于或等于零，分母不为零，据此列出的不等式组，求解即可．‎ ‎【详解】解：要使原式有意义只需：‎ ‎，解得且，‎ 故函数的定义域为．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】求函数的定义域分两类，一是实际问题中函数的定义域，有变量的实际意义确定；二是一般函数的定义域，由使式子有意的的范围确定，一般是列出不等式组求解．注意结果要写成集合或区间的形式．‎ ‎3.下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据两个函数的定义域和对应关系是否都相同,来判断是否是同一函数.‎ ‎【详解】对于A:， ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；‎ 对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;‎ 对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;‎ 对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的概念,属基础题.‎ ‎4.函数且的图象一定过定点（ ）‎ A. (2,1) B. (2,2) C. (0,2) D. (2,-3)‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据指数函数，定点坐标，可求解.‎ ‎【详解】由题意，当，即时，是定值，‎ 即定点为，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查了指数函数过定点问题，属于常考题型，要熟练掌握.‎ ‎5.已知，则（ ）‎ A. 0 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：可设，求得后代入即可.‎ 详解：设，则，∴，‎ 故选A.‎ 点睛：本题考查求函数值问题，解题时可以先求出函数解析式，再求值；也可象本题解法一样用整体思想求解.‎ ‎6.设， 则 （ ）‎ A. y3>y1>y2 B. y2>y1>y3 C. y1>y2>y3 D. y1>y3>y2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件化为底为2的指数，再根据指数函数单调性确定大小.‎ ‎【详解】因为，为单调递增函数，所以即y1>y3>y2，选D.‎ ‎【点睛】本题考查指数函数单调性，考查基本化简应用能力.‎ ‎7.设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据题意，画出函数图象如下图所示，由图可知与异号的区间是.‎ 考点：函数的奇偶性与单调性.‎ ‎【思路点晴】本题主要考查函数的奇偶性，考查函数的单调性，考查数形结合的数学思想方法.由于函数是奇函数，所以图象关于原点对称，结合和函数在上单调递增，可以画出函数在上的函数图象，根据对称性画出上的图象.如果函数是偶函数，则图象关于轴对称，的图象也关于轴对称.‎ ‎8.若函数的最大值与最小值之和为3，则（ ）‎ A. 9 B. 7 C. 6 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论的取值范围，分别计算最大值与最小值之和，得到，再平方，即可求解.‎ ‎【详解】当时，函数单调递增，，‎ 当时，函数单调递减，，‎ 综上，‎ 两边平方得，，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】指数函数求最值问题，需讨论底数取值范围，当时，函数单调递增；当时，函数单调递减.‎ ‎9.有以下四个结论：①lg(lg 10)＝0；②ln(ln e)＝0；③若10＝lg x ， 则x＝100；④若e＝ln x ， 则x＝e2.其中正确的是( )‎ A. ①③ B. ②④ C. ①② D. ③④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过底数与真数相同得对数是1，真数为1的对数为0判断出①②对；通过对数式与指数式间的转化判断出③④错．‎ ‎【详解】对于①∵lg（lg10）=lg1=0，故①对 对于②∵ln（lne）=ln1=0∴②对 对于③，∵10=lgx∴x=1010∴③错 对于④，∵e=lnx∴x=ee∴④错 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查两个特殊的对数值：底数与真数相同得对数是1，1的对数为0、考查对数式与指数式间的互化，属于基础题.‎ ‎10.已知，则x的取值范围为（ ）‎ A. B. C. (0，2) D. R ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 讨论底的范围，由配方法可求得，再由指数函数单调性，可解不等式.‎ ‎【详解】恒成立，‎ 根据指数函数单调性，单调递增，‎ ‎，解得，即的取值范围是 故选：B.‎ 点睛】利用单调性解不等式，单调递增，若，则.‎ ‎11.已知为奇函数，，，则（ ）‎ A. -6 B. 3 C. 6 D. -3‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求解，再由为奇函数，，‎ ‎【详解】令代入，‎ 由是奇函数，则 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，奇函数定义：在定义域内，.‎ 二、填空题 ‎12.已知，则不等式的解集为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 当时，，解得 ；当时，，恒成立，解得：，合并解集为 ，故填：.‎ ‎13.函数的值域是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数解析式导出，利用指数式的有界性，，即可求解y的取值范围，即为值域.‎ ‎【详解】由函数解析式，，‎ ‎，解得 则值域为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】指数函数，值域为，即恒成立.‎ ‎14.已知函数f(x)＝为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，则a＋b＝________．‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由奇函数定义，列出等式可求得b的值，由奇函数定义域的对称性可列式求得a的值.‎ ‎【详解】因为函数为定义是区间[－2a，3a－1]上的奇函数，所以－2a＋3a－1＝0，所以a＝1.‎ 又，所以b＝1.故a＋b＝2.‎ ‎【点睛】本题考查奇函数的定义以及奇函数定义域的特点，注意由解析式判断函数奇偶性要利用定义法，判断函数奇偶性的第一步就是要判断函数定义域是否关于原点对称.‎ ‎15.对于定义在R上的函数，有下述命题：①若是奇函数，则的图象关于点对称；②若函数的图象关于直线对称，则为偶函数；③函数在上为减函数；④函数与的图象关于直线对称．其中正确命题的序号_______.‎ ‎【答案】①②③‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对称性及函数平移可判断各命题①②④的正误，由幂函数图像性质可判断③.‎ ‎【详解】对于①，是奇函数，图像关于对称，向右平移1个单位是 ‎，则的图像关于点对称，①正确；‎ 对于②，图像关于对称，是向左平移1个单位，则图像关于对称，即是偶函数，②正确；‎ 对于③，反比例函数，在上单调递减，③正确；‎ 对于④，和的图像关于直线对称，④错误；‎ 故答案为：①②③‎ ‎【点睛】本题考查了函数图像变换及对称问题，考查了幂函数的单调性，函数对称性：当满足，则函数关于对称.‎ 三、解答题 ‎16.设集合，集合 ，‎ ‎ (1)若，求 ； (2)若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ 试题分析：首先把a=5代入，得到集合A，再利用集合运算求出集合A与B的交集；再根据集合A与B的并集为B，说明集合A是集合B的子集，利用数轴画出符合要求的集合A与B，根据子集要求控制集合两端点，列出不等式，解出a的范围；解题时注意集合的交、并、补的运算的定义，无限数集求交、并、补时，使用的工具是数轴.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时， ， ‎ ‎ ‎ ‎ （2）由 ‎ ‎ 得 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】注意集合的运算定义，在进行集合的交、并、补运算时要注意使用工具，有限数集使用韦恩图，无限数集使用数轴，点集使用数轴，交集就是找两个书数集的公共元素，并集就是找两个集合的所有元素，重复的出现一次，补集就是属于全集的元素除去该集合内的元素，特别是求补集要注意区间的开闭.‎ ‎17.计算：（1）； ‎ ‎（2）.‎ ‎【答案】（1） （2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据指数式运算法则，将根式转化成分数指数幂再进行运算.‎ ‎（2）根据对数式的运算法则，整理，进行化简、运算.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】（1）根式与指数幂转化公式：‎ ‎（2）对数运算法则：，.‎ ‎18.（1）若，化简：.‎ ‎（2）若，试用a，b表示.‎ ‎【答案】（1）1 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）运用指数幂运算法则，化简第一个分式，同底数幂的乘法：底数不变指数相加，即可求解.‎ ‎（2）运用对数式的换底公式，化成以10为底的常用对数，再根据对数运算法则，对数加法，即可表达原式.‎ ‎【详解】（1）原式 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）‎ ‎ ‎ 原式 ‎ 则原式 ‎【点睛】（1）指数式运算法则：，负分数指数幂：；‎ ‎（2）常用对数等式：，对数加法：.‎ ‎19.已知函数，且.‎ ‎（1）求的值； ‎ ‎（2）判断函数的奇偶性；‎ ‎（3）判断函数在上是增函数还是减函数？并证明.‎ ‎【答案】（1）-1 （2）奇函数 （3）增函数，证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将代入，即可求解a值；‎ ‎（2）先求定义域，再根据奇偶性定义判断；‎ ‎（3）根据定义法判断单调性，设，判断的正负，进而判断单调性.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎（2）定义域关于原点对称，‎ ‎，故是奇函数；‎ ‎（3）（定义法）‎ 设 ‎ ‎ ‎ ‎ 即函数是增函数.‎ ‎【点睛】（1）待定系数法：将函数值代入解析式，求解参数a；‎ ‎（2）判断函数奇偶性前，先判断定义域是否关于原点对称，关于原点对称的函数才可以用定义判断奇偶性;‎ ‎（3）函数单调性定义，设，若，则函数单调递增.‎ ‎20.已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．‎ ‎(1)求函数g(x)的定义域；‎ ‎(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．‎ ‎∴，∴＜x＜，‎ 函数g（x）的定义域（，）．‎ ‎（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，‎ ‎∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），‎ ‎∴，∴＜x≤2，‎ 故不等式g（x）≤0的解集是 （，2]．‎ ‎21.已知函数是定义在上偶函数，且当时，.‎ ‎（1）写出函数的解析式；‎ ‎（2）若函数，；求的最小值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用函数为偶函数，求得当时函数的解析式，由此求得函数的解析式.（2）利用配方法化简的解析式，根据其对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，结合二次函数的性质求得的最小值的表达式.‎ ‎【详解】解：（1）时，，‎ ‎∵为偶函数，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）时，，‎ 对称轴，‎ ‎①当时，即时，在区间上单调递增，‎ 所以：‎ ‎②当，即时，在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 所以：‎ ‎③当，即时，区间上单调递减，‎ 所以.‎ 综上所述，‎ ‎【点睛】本小题主要考查已知函数的奇偶性求函数的解析式，考查二次函数最小值的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.‎ ‎ ‎