数学卷·2019届江苏省清江中学高二12月月考（2017-12） 11页

江苏省清江中学2017-2018学年高二12月月考 数学试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分．‎ ‎1．命题“”的否定是 . ‎ ‎2．抛物线上一点到焦点的距离是2，则点坐标为 .‎ ‎3．如图，函数的图象在点处的切线方程是，则 .‎ ‎4．已知正四棱锥中，底面面积为16，一条侧棱的长为3，则该棱锥的高为 .‎ ‎5．若条件：，条件：，且是的充分不必要条件，则的取值范围是 .‎ ‎6．以双曲线的右焦点为圆心，且与双曲线的渐近线相切的圆的方程为 .‎ ‎7．已知互不重合的直线，互不重合的平面，给出下列四个命题，其中错误的命题是 .‎ ‎①若，，则 ②若，，则 ‎③若，，则 ④若，，则 ‎8．若椭圆的离心率，则 .‎ ‎9．已知，函数在上是单调递增函数，则的取值范围是 .‎ ‎10．已知圆锥底面半径为，母线长是底面半径的3倍，底面圆周上有一点，则一个小虫自点出发在侧面上绕一周回到点的最短路程为 .‎ ‎11．设函数，若对任意的，都有，则实数 的取值范围是 .‎ ‎12．已知函数的图象在点处的切线恰好与直线平行，若在区间上单调递减，则实数的取值范围是 .‎ ‎13．已知椭圆的一个顶点为，离心率，直线交椭圆于两点，如果的重心恰好为椭圆的右焦点，直线方程为 ．‎ ‎14．设是定义在上的可导函数，且满足，则不等式的解集为 ． ‎ 二、解答题 （本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．（理）已知在平面直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标，曲线的极坐标方程.‎ ‎（1）判断直线与曲线的位置关系；‎ ‎（2）设为曲线上任意一点，求的取值范围.‎ ‎（文）已知：，：，若是的成分而不必邀条件，求实数的取值范围.‎ ‎16．如图，在四棱锥中，，，，.‎ ‎（1）在平面内找一点，使得直线平面，并说明理由；‎ ‎（2）证明：平面平面.‎ ‎17．（理）如图，在三棱柱中，是边长为4的正方形，平面平面，，.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎（文）已知椭圆：的离心率为，其中左焦点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若直线与椭圆交于不同的两点，且线段的中点在圆上，求的值.‎ ‎18．某企业拟建造如图所示的容器（不计算厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为立方米，且.假设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为（）千元，设该容器的建造费用为千元.‎ ‎（1）写出关于的函数表达式，并求该函数丶定义域；‎ ‎（2）求该容器的建造费用最小时的.‎ ‎19．如图，在平面直角坐标系中，椭圆：的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线相切.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）已知点，设是椭圆上关于轴对称的不同两点，直线与相交于点，求证：点在椭圆上.‎ ‎20.设，函数.‎ ‎（1）求的单调递增区间；‎ ‎（2）设，问是否存在极值，若存在，请求出极值，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）设是函数图象上任意不同的两点，线段的中点为，直线的斜率为，证明：.‎ 试卷答案 一、填空题 ‎1． 2． 3．2 4．1‎ ‎5． 6． 7．④ 8．3或 ‎9． 10． 11． 12．‎ ‎13． 14． ‎ 二、解答题 ‎15．（理）解：（1）由，消去得：‎ 由，得，即.‎ ‎∴，即.‎ 化为标准方程得：.‎ 圆心坐标为，半径为1，圆心到直线的距离 ‎，∴直线与曲线相离.‎ ‎（2）由为曲线上任意一点，可设，‎ 则，∴的取值范围是.‎ ‎（文）由题意得，：，∴.‎ ‎∴：或。‎ ‎：，∴：或 又∵是的成分而不必邀条件，‎ ‎∴或，解得或，∴.‎ ‎16.（1）取棱的中点，点即为所求的一个点，理由如下：‎ 连接，因为，，‎ 所以，且 所以四边形是平行四边形，从而 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）证明：由已知，，‎ 因为，，所以直线与相交，‎ 所以平面，从而.‎ 因为，，所以，且，‎ 连接，则四边形是平行四边形.‎ 所以，所以，又，‎ 所以平面平面.‎ ‎17、（理）(1)证明：因为为正方形，所以.‎ 因为平面平面，且垂直于这两个平面的交线，所以平面.‎ ‎（2）由（1）知，，由题知，所以.‎ 如图，以为原点建立空间直角坐标系，则，.‎ 设平面的法向量为，则 即 令，则，，所以 同理可得，平面的法向量为 所以.‎ 由题知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎（文）解：（1）由题意，得解得 ‎∴椭圆的方程为 线段的中点为，‎ 由消去得 ‎，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵点在圆上，‎ ‎∴，‎ ‎∴.‎ ‎18.解：（1）设容器为，则由题意，得 又，故，‎ 由于，所以 所以建造费用 因此，.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 由于，所以，故当，即时，‎ 令，则，‎ 所以 ‎①当即时，‎ 若，则，若，则 所以是函数的极小值点，也是最小值点.‎ ‎②当即时，若时，，函数单调减，所以是函数的最小值点.‎ 综上所述，当时，建造费用最小时；‎ 当时，建造费用最小时.‎ ‎19.（1）解：由题意知，因为离心率，所以，‎ 所以，所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）证明：由题意可设的坐标分别为，，则直线的方程为 ‎①‎ 直线的方程为②‎ 设，联立①②解得 因为，‎ 所以 整理得 所以，即 所以点坐标满足椭圆的方程，即点在椭圆上.‎ ‎20、（1）解：在区间上，‎ ‎（1）当时，∵，∴恒成立，的单调递增区间为；‎ ‎（2）当时，令，即，得 ‎∴的单调递增区间为 综上所述，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递增区间为 ‎（2）由 得 当时，恒有 ‎∴在上无极值；‎ 当时，令，得 ‎，，单调递增，‎ ‎，，单调递减.‎ ‎∴极大值，无极小值 综上所述，时，无极值；，有极大值，无极小值.‎ ‎（3）证明：‎ 又 ‎∴‎ 要证，即证 不妨设，即证，即证 设，即证 也就是要证，其中 事实上，设，‎ 则 ‎∴在上单调递增，因此，即结论成立.‎