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- 2021-05-28 发布
大庆实验中学2018-2019学年度下学期开学考试
高二 数学（文）试题
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一．选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设集合，则（ ）
A． B． C. D．
2．若复数满足，则的虚部为（ ）
A． B． C. D．
3．下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递减的是（ ）
A． B． C. D．
4．命题“”的否定是（ ）
A． B．
C. D．
5．一组数据从小到大的顺序排列为，其中，已知该组数据的中位数是众数的倍，则该组数据的平均数为（ ）
A． B． C. D．
6．设是空间两条直线，是空间两个平面，则下列命题中不正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
7. 数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长四尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等。如上右图，是源于其思想的一个程序框图，若输入的分别为，则输出的（ ）
A． B． C. D．
8．圆，若直线与圆交于两点,则弦长的最小值是（ ）
A． B． C. D．
9.某三棱锥的三视图如下左图所示，则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C. D．
10. 下列说法正确的是（ ）
A．是的充分不必要条件
B．命题的否定是
C．命题的逆命题为真命题
D．命题为真命题
11、某图书出版公司到实验中学开展奉献爱心图书捐赠活动，某班级获得了某一品牌的图书共四本，其中数学、英语、物理、化学各一本，现将这4本书随机发给该班的甲、乙、丙、丁四个人，每人一本，并请这四个人在看自己得到的赠书之前进行预测，结果如下：
甲说：乙或丙得到物理书；
乙说：甲或丙得到英语书；
丙说：数学书被甲得到；
丁说：甲得到物理书。
最终结果显示：甲、乙、丙、丁四个人的预测均不正确，那么甲、乙、丙、丁四个人得到的书分别为（ ）
A．化学、英语、数学、物理 B．英语、化学、数学、物理
C. 化学、英语、物理、数学 D．数学、英语、化学、物理
12. 过抛物线的焦点作斜率大于的直线交抛物线于两点（在的上方），且与准线交于点，若，则（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二．填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．已知为虚数单位，则复数的模为 .
14．某校高一年级有个学生，高二年级有个学生，高三年级有个学生，采用分层抽样抽一个容量为的样本，高一年级被抽取人，高二年级被抽取人，则此学校共有学生 人.
15．在实验中学文科数学组微信群的一次抢红包活动中，所发红包的总金额为元，被随机分配为共个红包，由甲和乙等位教师抢，每人只能抢一次，则甲和乙两人抢到的金额之和不低于元的概率是 （用分数表示）
16．设分别为双曲线的左、右焦点，点是双曲线左支上一点，是线段的中点，且，，则双曲线的离心率为 .
三．解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
设为等差数列的前项和，已知．
（1）求数列的通项公式； （2）求，并求的最小值．
18．（本小题满分12分）
已知函数.
（1）求的最小正周期及单调递增区间； （2）当时，求的值域．
19．（本小题满分12分）
设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表：
年份
2012
2013
2014
2015
2016
2017
时间代号
1
2
3
4
5
6
储蓄存款(千亿元)
3.5
5
6
7
8
9.5
（1）求关于的回归方程,（请用最简分数作答）；
（2）请用所学知识分析2012年到2017年城乡居民人民币储蓄存款的变化情况，
并预测该地区2019年的人民币储蓄存款.
附公式: , .
20．（本小题满分12分）
年北京冬奥会的申办成功与“亿人上冰雪”口号的提出，将冰雪这个冷项目迅速炒“热”，北京某综合大学计划在一年级开设冰球课程，为了解学生对冰球运动的兴趣，随机从该校一年级学生中抽取了人进行调查，其中女生中对冰球运动有兴趣的占，而男生有人表示对冰球运动没有兴趣．
（1）完成列联表，并回答能否有的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”？
有兴趣
没兴趣
合计
男
女
合计
（2）已知在被调查的女生中有名数学系的学生，其中名对冰球有兴趣，现在从这名学生中随机抽取人，求至少有人对冰球有兴趣的概率．
附：临界值表、公式
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
21．（本小题满分12分）
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，
直线的参数方程为，圆的极坐标方程为.
（1）求直线的普通方程与圆的直角坐标方程；
（2）设曲线与直线交于两点，若点的直角坐标为,求的值.
22．（本小题满分12分）
如图，椭圆经过点,离心率，直线的方程为.
（1）求椭圆的方程；
（2）设过椭圆右焦点的直线与直线相交于点，记直线的斜率分别为，问：是否存在常数，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.
大庆实验中学2018-2019学年度下学期开学考试
高二 数学（文） 参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
【解析】
（1）设数列的公差为，由题意得，由得
所以的通项公式为
（2）由（1）得，所以当时，取得最小值，最小值为.
【解析】（1）由
的最小正周期
令，解得
故的单调递增区间
（2），，
,则的值域是.
【解析】
（1）,
（2）2012年到2017年储蓄存款逐年增长，每年约增长2019年预测存款为千亿元.
【解析】（1）根据已知数据得到如下列联表
有兴趣
没有兴趣
合计
男
45
10
55
女
30
15
45
合计
75
25
100
由列联表中的数据可得
所以有90%的把握认为“对冰球是否有兴趣与性别有关”．
(2)记5人中对冰球有兴趣的3人为A、B、C，对冰球没有兴趣的2人为x,y，
则从这5人中随机抽取3人的基本事件为：（Axy），（Bxy），（Cxy），（ABx），
（ABy），（BCx），（BCy），（ACx），（ACy），（ABC），共10种情况，
至少2人对冰球有兴趣的基本事件为：（ABC），（ABx），（ABy），（BCx），（BCy）
（ACx），（ACy）共7种， 设至少2人对冰球有兴趣为事件D,
【解析】解析：（1）直线的普通方程为： ，
，所以．
所以曲线的直角坐标方程为（或写成）．.
（2）点P（2，1）在直线上，且在圆C内，把代入,得,设两个实根为,则，即异号.
所以.
【解析】
（1）由在椭圆上，得，
又，得，由①②，得，，，故椭圆
的方程为
（2）显然直线斜率一定存在，设直线的方程为
由，∴，，
∴
又将代入得，
∴，∴故存在常数符合题意.