2018-2019学年贵州省遵义航天高级中学高二上学期第一次月考数学（理）试题 解析版 14页

绝密★启用前 贵州省遵义航天高级中学2018-2019学年高二上学期第一次月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．在棱柱中（　　）‎ A． 只有两个面平行 B． 所有的棱都平行 C． 所有的面都是平行四边形 D． 两底面平行，且各侧棱也互相平行 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：棱柱中，上下底面平行，但上下底面不一定是平行四边形，侧面都是平行四边形，侧棱平行，并不是所有的棱平行，如长方体中有3组面平行，所以正确的是D,故选D.‎ 考点：棱柱的定义 ‎2．下列命题正确的是（　　）‎ A． 经过三点，有且仅有一个平面 B． 经过一条直线和一个点，有且仅有一个平面 C． 两两相交且不共点的三条直线确定一个平面 D． 四边形确定一个平面 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：A.经过不共线的三点，有且只有一个平面;故错误；B.经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面，故错误；C.不共线的三点确定一个平面，再根据公理1，可得线在平面内，所以正确；D.空间四边形的四点不在同一个平面，故错误.‎ 考点：平面 ‎3．空间两个角α，β的两边分别对应平行，且α=60°，则β为（　　）‎ A． 60° B． 120° C． 30° D． 60°或120°‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据等角定理，两个角的两边分别对应平行，则两个角相等或互补，所以为或，故选D.‎ 考点：等角定理 ‎4．正方体的边长为，则该正方体的外接球的直径长（　　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正方体外接球的直径就是体对角线的长度.‎ ‎【详解】‎ 外接球的直径为，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果正方体的棱长为，那么其外接球的直径为，内切球的直径为，与棱都相切的球的直径为.‎ ‎5．某空间几何体的三视图如图所示，该空间几何体的体积是(　　) ‎ A． 8 B． 10 C． D． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：该几何体是一个三棱锥，底面为直角边长分别为4，5的直角三角形，几何体的高为4，所以，该空间几何体的体积是，故选C。‎ 考点：三视图，几何体体积计算。‎ 点评：简单题，涉及三视图的题目，已成为高考保留题型，一般难度不大。要注意遵循三视图画法规则，正确还原几何体。‎ ‎6．已知圆锥的母线长为8，底面周长为6π，则它的体积为 A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据底面周长得到底面半径，再根据母线长得到高，最后利用公式计算体积.‎ ‎【详解】‎ 设底面圆的半径为，高为，则，故，又，所以.选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考察圆锥体积的计算，属于基础题.解题中注意底面的半径、高和母线长构成直角三角形.‎ ‎7．下列说法正确的是（ ）‎ A． 空间中，两不重合的平面若有公共点，则这些点一定在一条直线上 B． 空间中，三角形、四边形都一定是平面图形 C． 空间中，正方体、长方体、四面体都是四棱柱 D． 用一平面去截棱锥，底面与截面之间的部分所形成的多面体叫棱台 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由公理2可知A是正确的.‎ ‎【详解】‎ 空间四边形不是平面图形，故B错；四面体不是四棱柱，故C错；平行于底面的平面去截棱台，底面和截面之间的部分所形成的多面体才叫棱台，故D错；根据公理2可知A正确，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 在空间中，不同在一个平面内的四个点首尾相连得到的四边形为空间四边形，而棱柱至少是五面体（三棱柱）.‎ ‎8．如果一条直线上有一个点在平面外，那么( )‎ A． 直线上有无数点在平面外 B． 直线与平面相交 C． 直线与平面平行 D． 直线上所有点都在平面外 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 如果一条直线上有一个点在平面外，则直线与平面相交，则直线上有无数点在平面外，故选A ‎9．在△ABC中, 角A，B，C所对的边分别为a,b,c,已知a=2, b=4, C=, ‎ ‎ 则A=( )‎ A． B． 或 C． D． 或 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理及计算后可得的大小.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可以得到，故，‎ 所以，解得，‎ 因，故，选A.‎ ‎【点睛】‎ 三角形中共有七个几何量（三边三角以及外接圆的半径），一般地，知道其中的三个量（除三个角外），可以求得其余的四个量.‎ ‎（1）如果知道三边或两边及其夹角，用余弦定理；‎ ‎（2）如果知道两边即一边所对的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三条边）；‎ ‎（3）如果知道两角及一边，用正弦定理.‎ 注意如果要求其余四个量中某一个量，我们须结合题设条件正确选择正弦定理或余弦定理来解决问题.‎ ‎10．在等比数列中，已知，则 A． 12 B． 18 C． 24 D． 36‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由于，得，‎ 得或（舍去），则，故选B.‎ ‎11．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（   ）‎ A． 1：3 B． 1：（ ） C． 1：9 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 平行于底面的平面截圆锥可以得到一个小圆锥，利用它的底面与原圆锥的底面的面积之比得到相应的母线长之比，故可得截面分母线段长所成的两段长度之比.‎ ‎【详解】‎ 设截面圆的半径为，原圆锥的底面半径为，则，所以小圆锥与原圆锥的母线长之比为，故截面把圆锥母线段分成的两段比是.选B.‎ ‎【点睛】‎ 在平面几何中，如果两个三角形相似，那么它们的面积之比为相似比的平方，类似地，在立体几何中，平行于底面的平面截圆锥所得的小圆锥与原来的圆锥的底面积之比为，体积之比为（分别为小圆锥的底面半径和原圆锥的底面半径）.‎ ‎12．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M和N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值是（   ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据作平行线的方法作出两直线所成的角，然后通过余弦定理求得两直线所成角的余弦值．‎ ‎【详解】‎ 过点N作AM的平行线交AB于点E，则AE＝3EB，连接EC，‎ 设AB＝4，在△NEC中有，‎ 由余弦定理得，‎ ‎∴直线AM和CN所成的角的余弦值是．‎ 故选D．‎ ‎【点睛】‎ 利用几何法求异面直线所成角的步骤：‎ ‎①作：利用定义转化为平面角，对于异面直线所成的角，可固定一条，平移一条，或两条同时平移到某个特殊的位置，顶点选在特殊的位置上．‎ ‎②证：证明作出的角为所求角．‎ ‎③求：把这个平面角置于一个三角形中，通过解三角形求空间角．‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．正三角形ABC的边长为，那么△ABC的平面直观图△的面积为____.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平面直角坐标系中和斜坐标系中分别画出等边三角形和等边三角形的直观图，根据斜二测画法可以得到直观图的高，从而求出直观图的面积.‎ ‎【详解】‎ 如图，建立平面直角坐标系和斜坐标系，则 则，填.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查斜二测画法，一般地，平面图形的面积与其直观图的面积满足.‎ ‎14．一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱的表面积与侧面积的比是___‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用侧面展开图是正方形得到圆柱的底面半径与高的关系后可得圆柱的表面积与侧面积之比.‎ ‎【详解】‎ 设正方形的边长为，圆柱的底面半径为，则，，‎ 所以圆柱的全面积为，故侧面积与全面积之比为，填.‎ ‎【点睛】‎ 圆柱的侧面展开图是矩形，其一边的长为母线长，另一边的长为底面圆的周长，利用这个关系可以得到展开前后不同的几何量之间的关系.‎ ‎15．一个半径为6的球内切于一个正方体，则这个正方体的对角线长为_____ .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 正方体的内切球的直径就是正方体的棱长.‎ ‎【详解】‎ 因为球内切于正方体，故棱长为直径，体对角线的长为.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果正方体的棱长为，那么其外接球的直径为，内切球的直径为，与棱都相切的球的直径为.‎ ‎16．圆锥的表面积为㎡,且它的侧面展开图是一个半圆，圆锥的底面直径为___m ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用侧面展开图（半圆）的弧长就是底面圆的周长得到母线和半径的关系后可得到半径与表面积的关系，从这个关系式中解出半径即可.‎ ‎【详解】‎ 设圆锥的母线长为，底面的半径为，，所以，‎ 圆锥的表面积为，故，直径为，填.‎ ‎【点睛】‎ 圆锥的侧面展开图就是一个扇形，它的半径就是母线，它的弧长就是圆锥底面圆的周长，通过这个关系可以沟通母线与底面半径的关系.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．钝角ΔABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,.‎ ‎（1）求角C的大小；‎ ‎（2）若ΔABC的BC边上中线AD的长为，求ΔABC的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用正弦定理计算后可得的值.‎ ‎（2）在中利用余弦定理计算后可得周长.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理可得，故，‎ 又，或.‎ 若，则，三角形为直角三角形，舍去；‎ 若，则，符合，故.‎ ‎（2）法1：由余弦定理可得即 ‎，故，，又，故，‎ 所以周长为.‎ 法2：因为，所以，‎ 故，因，故即，，‎ 所以周长为.‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）在解三角形中，我们有时需要找出不同三角形之间相关联的边或角，由它们沟通分散在不同三角形的几何量． ‎ ‎（2）在中，若为边上的中线，则有．‎ ‎18．已知等差数列满足：.‎ ‎(1)求；‎ ‎ (2)令，求数列{bn}的前n项和Tn.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先算出，再由算出公差后可得通项公式.‎ ‎（2）利用裂项相消法求.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设等差数列的公差为，由得，故，‎ 所以. ‎ ‎（2），故 ‎.‎ ‎【点睛】‎ 一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：‎ ‎（1）若，则；‎ ‎（2） 且 ；‎ ‎（3）且为等差数列；‎ ‎（4） 为等差数列.‎ ‎19．如图，已知三棱锥的侧棱两两垂直，且，，是的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的余弦值；‎ ‎（2）求直线AE和平面OBC的所成角.‎ ‎【答案】（1）；（2） ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）建立空间直角坐标系，通过直线方向向量夹角的余弦值得到异面直线所成角的余弦值.‎ ‎（2）通过直线的方向向量与平面的法向量所成的角计算线面角.‎ ‎【详解】‎ 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，‎ ‎（1），，故 ‎，所以异面直线与所成角的余弦值为.‎ ‎（2）平面的法向量为，，故 ‎，因，故，故与平面所成的角为.‎ ‎【点睛】‎ 立体几何中空间中的角的计算，可以建立空间直角坐标系把角的计算归结为向量的夹角的计算，也可以构建空间角，把角的计算归结平面图形中的角的计算.注意求线面角 时，直线的方向向量与平面的法向量的夹角的关系是.‎ ‎20．在四棱锥中，底面是菱形，且,若平面与平面的交线为．‎ 求证：．‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由得到平面，从而得到即．‎ ‎【详解】‎ 因为，平面，平面，所以平面．又 平面，平面平面，故，所以．‎ ‎【点睛】‎ 空间中线线平行的证明，可以用平行公理或线面平行的性质定理，后者需要把线面平行中的直线放置在一个平面中且该平面与已知平面有交线．‎ ‎21．如图，一个三棱柱形容器中盛有水，且侧棱AA1=8，若侧面AA1B1B水平放置时，液面恰好过AC，BC，A1C1，B1C1的中点，当底面ABC水平放置时，液面高为多少？‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 按侧面放置时，液面以上部分为三棱柱，其体积为原来棱柱的，故可得水的体积为棱柱的，由此可得按底面放置时液面的高．‎ ‎【详解】‎ 设三棱锥的体积为，按侧面水平放置时液面以上部分的体积为，故水的体积为，设按底面放置时液面的高为，则，故．‎ ‎【点睛】‎ 一定形状的几何体容器，按不同位置放置时容器内的液体的体积计算方法不一致，可根据同一体积的不同计算方法得到关键几何量之间的相互关系．‎ ‎22．如图1是图2的三视图，在三棱锥B-ACD中，E,F分别是棱AB,AC的中点.‎ ‎（1）求证：BC//平面DEF；‎ ‎（2）求三棱锥A-DEF的体积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）证明线面平行，一般利用线面平行判定定理，即从线线平行出发给予证明，而线线平行的寻找与论证往往需要结合平几知识，如根据，分别是，‎ 的中点，利用三角形中位线得到，应用判定定理即得证. （2）求三棱锥的体积，关键在于确定高，即线面垂直，由题意不难 得到平面.再根据体积公式进一步计算体积 试题解析：证明：（1）∵，分别是，的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵平面，平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎（2）∵如图1得，，，‎ 又∵，‎ ‎∴平面.‎ 取的中点，连接，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴.‎ ‎∴平面，，‎ ‎∴.‎ 考点：1、平行关系、垂直关系；2、几何体的体积.‎ ‎【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.‎ ‎（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.‎ ‎（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.‎ ‎（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.‎