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- 2021-05-28 发布
1.3.2函数的极值与导数
一、选择题
1、已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值和极小值，则a的取值范围为( )
A．－12 D．a<－3或a>6
2、函数f(x)＝x3－3bx＋3b在(0,1)内有且只有一个极小值，则( )
A．00 D．b<
3、函数f(x)的定义域为(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有极小值点( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4、函数f(x)＝x＋在x>0时有( )
A．极小值
B．极大值
C．既有极大值又有极小值
D．极值不存在
5、已知函数f(x)，x∈R，且在x＝1处，f(x)存在极小值，则( )
A．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
B．当x∈(－∞，1)时，f′(x)>0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
C．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0
D．当x∈(－∞，1)时，f′(x)<0；
当x∈(1，＋∞)时，f′(x)<0
6、函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)( )
A．无极大值点，有四个极小值点
B．有三个极大值点，两个极小值点
C．有两个极大值点，两个极小值点
D．有四个极大值点，无极小值点
二、填空题
7、函数f(x)＝x3－3a2x＋a(a>0)的极大值为正数，极小值为负数，则a的取值范围是________．
8、函数f(x)＝ax3＋bx在x＝1处有极值－2，则a、b的值分别为________、________.
9、若函数f(x)＝在x＝1处取极值，则a＝______.
三、解答题
10、已知函数f(x)＝(x－a)2(x－b)(a，b∈R，a0时，图象与x轴的左交
点两侧f′(x)的值分别大于零、小于零，右交点左右两侧f′(x)的值分别小于零、大于
零．所以才会有极大值和极小值．
∴4a2－12(a＋6)>0得a>6或a<－3.]
2、A [f′(x)＝3x2－3b，要使f(x)在(0,1)内有极小值，则，
即
，解得00，因此由f′(x)的图象知只
有1个极小值点，故选A.]
4、A [∵f′(x)＝1－，由f′(x)>0，
得x>1或x<－1，又∵x>0，∴x>1.
由得00，∴f(x)在(0，＋∞)上有极小值．]
5、C [∵f(x)在x＝1处存在极小值，
∴x<1时，f′(x)<0，x>1时，f′(x)>0，故选C.]
6、C
二、填空题
7、
解析 ∵f′(x)＝3x2－3a2(a>0)，∴f′(x)>0时得：x>a或x<－a，f′(x)<0时，得－a.
8、1 －3
解析 因为f′(x)＝3ax2＋b，
所以f′(1)＝3a＋b＝0.①
又x＝1时有极值－2，所以a＋b＝－2.②
由①②解得a＝1，b＝－3.
9、3
解析 f′(x)＝＝.
∵f′(1)＝0，∴＝0，∴a＝3.
三、解答题
10、(1)解 当a＝1，b＝2时，f(x)＝(x－1)2(x－2)，
因为f′(x)＝(x－1)(3x－5)，
故f′(2)＝1，又f(2)＝0，
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y＝x－2.
(2)证明 因为f′(x)＝3(x－a)(x－)，
由于a0；
当12时，f′(x)>0.
所以当x＝1时，f(x)取极大值f(1)＝－a；
当x＝2时，f(x)取极小值f(2)＝2－a，
故当f(2)>0或f(1)<0时，f(x)＝0仅有一个实根．
解得a<2或a>.
13、解 (1)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝3x2－12＝3(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝－2或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，
－2)
－2
(－2,2)
2
(2，
＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
极大值
极小值
从表中可以看出，当x＝－2时，函数f(x)有极大值，且f(－2)＝(－2)3－12×(－2)＝16；
当x＝2时，函数f(x)有极小值，
且f(2)＝23－12×2＝－16.
(2)函数f(x)的定义域为R.
f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝2xe－x－x2e－x
＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，
0)
0
(0,2)
2
(2，＋∞)
f′(x)
－
0
＋
0
－
f(x)
极小值
极大值
从表中可以看出，当x＝0时，函数f(x)有极小值，且f(0)＝0；
当x＝2时，函数f(x)有极大值，且f(2)＝.