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- 2021-05-28 发布
鹤壁淇滨高中2017-2018学年下学期高二年级第一次月考
理科数学试卷
考试时间：120分钟 命题人：刘亚南
一、选择题（每题5分共60分）
1．已知函数，且，则的值为（ ）
A. 1 B. C. -1 D. 0
2．已知的图象如图所示，则与的大小关系是( )
A. B.
C. D. 与大小不能确定
3．曲线在点处的切线方程为（ ）
A. B. C. D.
4．下面四个推理不是合情推理的是( )
A. 由圆的性质类比推出球的有关性质
B. 由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和都是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
C. 某次考试张军的成绩是100分，由此推出全班同学的成绩都是100分
D. 蛇、海龟、蜥蜴是用肺呼吸的，蛇、海龟、蜥蜴是爬行动物，所以所有的爬行动物都是用肺呼吸的
5．已知f(x)为偶函数且f(x)dx=4，则f(x)dx等于( )
A. 0 B. 4 C. 8 D. 16
6．下列各阴影部分的面积S不可以用S＝求出的是( )
A. B. C. D.
7．用数学归纳法证明“1+2+22+…+=2n+3-1”,在验证n=1时,左边计算所得的式子为( )
A. 1 B. 1+2 C. 1+2+22 D. 1+2+22+23
8．用数学归纳法证明不等式的过程中,由到时,不等式的左边 ( )
A. 增加了一项
B. 增加了两项+
C. 增加了两项+,又减少了一项
D. 增加了一项,又减少了一项
9．由曲线y＝x2与直线y＝2x所围成的平面图形的面积为( )
A. B. C. D.
10．如图是函数的导函数的图象，给出下列命题：
①-2是函数的极值点；
②1是函数的极值点；
③的图象在处切线的斜率小于零；
④函数在区间上单调递增.
则正确命题的序号是（ ）
A. ①③ B. ②④ C. ②③ D. ①④
11．已知，则（ ）
A. B. C. D. 3
12．函数在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（每题5分共60分）
13．定积分__________.
14．已知函数，为的导函数，则的值为__________．
15．函数在处的切线方程为__________________．
16．甲、乙、丙三人中只有一人做了好事，他们各自都说了一句话，而且其中只有一句真话。
甲说：是乙做的。乙说：不是我做的。丙说：不是我做的。
则做好事的是_____________.(填甲、乙、丙中的一个)
三、解答题（17题10分，18-22题每题12分）
17．(10分)
(1)利用定积分的几何意义，求的值．
(2)计算定积分：；
18．(12分)设f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1的导数f′(x)满足f′(1)＝2a，f′(2)＝－b，其中常数a，b∈R.
(1)求a，b的值；
(2)求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程.
19．(12分)设函数f(x)＝－x3＋x2＋(m2－1)x(x∈R)，其中m>0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率；
(2)求函数的单调区间与极值．
20．(12分)已知，且在处取得极值．
(1)求的值；
(2)求在上的最值．
21．已知函数f(x)＝x2＋ln x.
(1)求函数f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
(2)求证：当x∈(1，＋∞)时，函数f(x)的图象在g(x)＝x3＋x2的下方．
22.数列{an}满足Sn＝2n－an(n∈N*)．
(1)计算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通项公式an；
(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．
参考答案
1．A2．A3．B4．C5．C6．D7．D8．C9．A.10．D11．A12．B
13．-6
14．1
15．
16．丙
17．（1）y＝ (－1≤x≤1)表示圆x2＋y2＝1在x轴上方的半圆(含圆与x轴的交点)．根据定积分的几何意义，知dx表示由曲线y＝与直线x＝－1，x＝1，y＝0所围成的平面图形的面积，
所以dx＝S半圆＝π.
（2）解：＝x3－cosx＝.
18．（1）因为f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，
所以f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
令x＝1，得f′(1)＝3＋2a＋b，又f′(1)＝2a，
所以3＋2a＋b＝2a，解得b＝－3.
令x＝2，得f′(2)＝12＋4a＋b，又f′(2)＝－b，所以12＋4a＋b＝－b，解得a＝－.
（2）所以f(x)＝x3－x2－3x＋1，从而f(1)＝－.
又f′(1)＝2×＝－3，所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为：y－＝－3(x－1)，即6x＋2y－1＝0.
19．试题解析：(1)当m＝1时，f(x)＝－x3＋x2，
f′(x)＝－x2＋2x，故f′(1)＝1.
所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x2＋2x＋m2－1.
令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.
因为m＞0，所以1＋m＞1－m.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
所以f(x)在(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)内是减函数，在(1－m,1＋m)内是增函数.
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)＝－ m3＋m2－.
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝m3＋m2－.
20．试题解析：（Ⅰ） ，
所以，因为在处取得极值
所以，解得，
经检验， 符合题意，因此．
（Ⅱ）由（1）得， ，
当变化时， 、变化如下表：
0
0
↗
↘
↗
由上表知：
当时， 取到最大值；当时， 取到最小值．
21．试题解析：(1)因为f(x)＝x2＋ln x，所以f′(x)＝2x＋.
因为x>1时，f′(x)>0，所以f(x)在[1，e]上是增函数，
所以f(x)的最小值是f(1)＝1，最大值是f(e)＝1＋e2.
(2)证明：令F(x)＝f(x)－g(x)＝x2－x3＋ln x，
所以F′(x)＝x－2x2＋＝＝＝.
因为x>1，所以F′(x)<0，所以F(x)在(1，＋∞)上是减函数，
所以F(x)