广东省茂名市2013届高三数学下学期模拟（二）测试试题（含解析）文 新人教A版 15页

广东省茂名市实验中学2013届高三 数学文周测2‎ 一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则集合 ‎ A． B． C． D．‎ ‎2. 为虚数单位，则复数的虚部为 A． B． C． D．‎ 第3题图 ‎3. 为了了解某学校2000名高中男生的身体发育 情况，抽查了该校100名高中男生的体重情况.‎ 根据所得数据画出样本的频率分布直方图，据 此估计该校高中男生体重在70～‎78kg的人数为 A．240 B．‎160 C．80 D．60‎ ‎4. 在平面直角坐标系中, 落在一个圆内的曲线可以是 ‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎5. ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6． 若对任意正数，均有，则实数的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7．曲线在点处的切线方程是 ‎ A. B. 　 ‎ C. 　 D. ‎ ‎8．已知命题：“对任意， 都有”；命题 ‎：“空间两条直线为异面直线的充要条件是它们不同在任何一个平面内”．则 A. 命题“”为真命题 B. 命题“”为假命题 ‎ C. 命题“”为真命题 D. 命题“”为真命题 第9题图 ‎9. 某零件的正（主）视图与侧（左）视图均是如图所示的图形（实线组成半径为的半圆，虚线是等腰三角形的两腰），俯视图是一个半径为的圆（包括圆心），则该零件的体积是 A． B． ‎ ‎ C． D． ‎ ‎10. 线段是圆的一条直径，离心率为的双曲线以 ‎ 为焦点．若是圆与双曲线的一个公共点，则 A. B. C. D. ‎ 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．‎ 第11题图 ‎（一）必做题：第11、12、13题为必做题．‎ ‎11. 按照右图的工序流程，从零件到成品最少 要经过______道加工和检验程序，导致废 品的产生有_____种不同的情形．‎ ‎12. 已知递增的等比数列中,‎ 则 . ‎ ‎13. 无限循环小数可以化为有理数，如，‎ 请你归纳出 （表示成最简分数．‎ ‎（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只能从中选做一题．‎ 第15题图 ‎14. (坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，直线（常数）与曲线相切，则 ．‎ ‎15．（几何证明选讲选做题）如图，是半圆的直径，‎ 弦和弦相交于点，且，则 ‎ ．‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量 且与的夹角为 ‎（1）求的值及角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎17．（本小题满分12分）‎ 设函数，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “且”发生的概率.‎ ‎ (1) 若随机数；‎ ‎ (2) 已知随机函数产生的随机数的范围为, 是算法语句和的执行结果．(注: 符号“”表示“乘号”)‎ ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱上，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：‎ 第18题图 ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的最小值为且关于的不等式的解集为 ‎,‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的零点个数.‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 如图，是抛物线上的两动点（异于原点），且的角平分线垂直于轴，直线与轴，轴分别相交于.‎ ‎(1) 求实数的值，使得； ‎ 第20题图 ‎(2）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过. 求椭圆焦距的最大值及此时的方程.‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 定义数列： ，且对任意正整数，有 ‎.‎ ‎（1）求数列的通项公式与前项和； ‎ ‎（2）问是否存在正整数，使得？若存在，则求出所有的正整数对 ‎；若不存在，则加以证明.‎ 数学（文科）参考答案及评分标准 说明：‎ ‎1. 本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则．‎ ‎2. 对计算题当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后续部分的解答有较严重的错误，就不再给分．‎ ‎3. 解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．‎ ‎4. 只给整数分数，选择题和填空题不给中间分数．‎ 一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算。共10小题，每小题5分，满分50分．‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 C C ‎ A D ‎ B ‎ A ‎ B C ‎ C D 二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满分20分．其中第14、15两小题是选作题，考生只能选做一题，如果两题都做，以第14题的得分为最后得分．‎ ‎11． （第一空3分，第二空2分） 12． 13. 14． 15． ‎ 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．‎ ‎16．（本小题满分12分）‎ 在中，角为锐角,记角所对的边分别为设向量 且与的夹角为 ‎（1）求的值及角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积．‎ ‎【说明】 本小题主要考查向量的数量积和夹角的概念，以及用正弦或余弦定理解三角形，三角形的面积公式，考查了简单的数学运算能力．‎ 解：（1）‎ ‎ 3分 ‎，‎ ‎ 5分 ‎ 7分 ‎（2）(法一) ,及,‎ ‎, 即(舍去)或 10分 故 12分 ‎(法二) ,及,‎ ‎. 7分 ‎, ‎ ‎,‎ ‎. 10分 ‎ 故 12分 ‎17．（本小题满分12分）‎ 设函数，其中是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求事件A “且”发生的概率.‎ ‎ (1) 若随机数；‎ ‎ (2) 已知随机函数产生的随机数的范围为, 是算法语句和的执行结果．(注: 符号“”表示“乘号”)‎ ‎【说明】本题主要考查随机数、随机函数的定义，古典概型，几何概型，线性规划等基础知识，考查学生转换问题的能力，数据处理能力．‎ 解：由知，事件A “且”，即 1分 ‎ (1) 因为随机数，所以共等可能地产生个数对，‎ 列举如下：‎ ‎，‎ ‎ 4分 事件A ：包含了其中个数对，即：‎ ‎ 6分 所以，即事件A发生的概率为 7分 ‎(2) 由题意，均是区间中的随机数，产生的点均匀地分布在边长为4的正方形区域中（如图），其面积. 8分 事件A ：所对应的区域为如图所示的梯形（阴影部分），‎ 其面积为：. 10分 所以，‎ 即事件的发生概率为 12分 ‎18．（本小题满分14分）‎ 如图，四棱柱的底面是平行四边形，分别在棱 上，且．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若平面，四边形是边长为的正方形，且，，求线段的长, 并证明：‎ 第18题图 ‎【说明】本题主要考察空间点、线、面位置关系，考查线线、线面平行的性质和判定，线线垂直的性质和判定，考查空间想象能力、运算能力、把空间问题转化为平面问题的意识以及推理论证能力．‎ 证明：（1）四棱柱的底面是平行四边形，‎ ‎ 1分 平面平面 平面 平面 3分 平面，‎ 平面平面 4分 ‎，‎ 四点共面. 5分 平面平面,平面平面,‎ ‎ 7分 ‎（2） 设 ‎ 四边形,四边形都是平行四边形，‎ 为，的中点，为，的中点. 8分 连结由(1)知,从而.‎ ‎，，‎ ‎ 10分 平面,四边形是正方形,‎ ‎，，均为直角三角形,得 ‎,‎ ‎ ‎ ‎，即. 12分 平面平面 ‎. ‎ 平面 平面 13分 平面 ‎ ‎ 14分 ‎ ‎19．（本小题满分14分）‎ 已知二次函数的最小值为且关于的不等式的解集为 ‎,‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）求函数的零点个数.‎ ‎【说明】本题主要考查二次函数与一元二次不等式的关系，函数零点的概念，导数运算法则、用导数研究函数图像的意识、考查数形结合思想，考查考生的计算推理能力及分析问题、解决问题的能力．‎ 解：（1）是二次函数, 且关于的不等式的解集为 ‎,‎ ‎, 且. 4分 ‎ ‎,且,‎ ‎ 6分 ‎ 故函数的解析式为 ‎(2) ,‎ ‎. 8分 ‎ ‎ 的取值变化情况如下：‎ 单调增加 极大值 单调减少 极小值 单调增加 ‎ ‎ ‎ 11分 ‎ 当时, ； 12分 ‎ 又. 13分 ‎ 故函数只有1个零点,且零点 14分 ‎ ‎20．（本小题满分14分）‎ 如图，是抛物线上的两动点（异于原点），且的角平分线垂直于轴，直线与轴，轴分别相交于.‎ 第20题图 ‎(1) 求实数的值，使得； ‎ ‎(2）若中心在原点，焦点在轴上的椭圆经过. 求椭圆焦距的最大值及此时的方程.‎ ‎【说明】本题主要考查直线的斜率、抛物线的切线、‎ 两直线平行的位置关系，椭圆的基本性质，‎ 考查学生运算能力、推理论证以及分析问 题、解决问题的能力，考查数形结合思想、‎ 化归与转化思想．‎ 解: (1) 设 ‎ 由的角平分线垂直于轴知，直线与直线的倾斜角互补，从而斜率之和等于，即化简得. 3分 ‎ 由点知直线的方程为.‎ 分别在其中令及得. 5分 ‎ 将的坐标代入中得,‎ 即, 7分 ‎ 所以 8分 ‎ ‎ (2) 设椭圆的方程为,‎ 将,代入,得, 9分 ‎ 解得, 由得. 10分 ‎ 椭圆的焦距 ‎（或） 12分 ‎ 当且仅当时,上式取等号, 故, 13分 ‎ 此时椭圆的方程为 14分 ‎ ‎21．（本小题满分14分）‎ 定义数列： ，且对任意正整数，有 ‎.记数列前项和为.‎ ‎(1) 求数列的通项公式与前项和； ‎ ‎（2）问是否存在正整数，使得？若存在，则求出所有的正整数对 ‎；若不存在，则加以证明.‎ ‎【说明】考查了等差、等比数列的通项公式、求和公式，数列的分组求和等知识，考查了学生变形的能力，推理能力，探究问题的能力，分类讨论的数学思想、化归与转化的思想以及创新意识．‎ 解：（1）对任意正整数， ，‎ ‎. 1分 ‎ ‎ 所以数列是首项,公差为等差数列；数列是首项 ‎,公比为的等比数列. 2分 ‎ ‎ 对任意正整数,,. 3分 ‎ 所以数列的通项公式 或 4分 ‎ 对任意正整数,‎ ‎. 5分 ‎ ‎ 6分 ‎ 所以数列的前项和为. ‎ 或 7分 ‎ ‎ (2) ‎ ‎,‎ 从而,由知 8分 ‎ ‎①当时, ,即； 9分 ‎ ‎②当时, ,即； 10分 ‎ ‎ ‎③当时, ,则存在,‎ 使得 从而,得,‎ ‎，得,即. 13分 ‎ 综上可知,符合条件的正整数对只有两对：与 14分 ‎