数学理卷·2019届湖北省巴东一中高二上学期第三次月考试卷（2017-12）x 6页

‎ 高二年级2017年秋季学期第三次月考 数学（理科）试卷 命题人：佘媛媛 张世林 ‎★ 祝考试成功 ★‎ 第Ⅰ卷 选择题 一、选择题：（本题共12小题，每题5分，共60分．请将正确选项填涂在答题卡中相应位置．）‎ 1. 为了调查高二年级名学生对学校食堂午餐学生浪费饭菜的情况，打算从中抽取一个容量为的样本，考虑采取系统抽样，则分段间隔为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 2. 设复数 （为虚数单位），则的共轭复数为（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 3. 已知点，点与关于平面对称，点与关于 轴对称，则的长为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 4. 春节期间和谐小区从初一至初八连续8天举办大型文艺汇演，居民甲随机 选择其中的连续3天观看演出，那么他在初一至初四期间连续3天看演出 的概率为（ ）‎ A. B. C. D.‎ 5. 我国古代名著《九章算术》用“辗转相除法”求两个正整数的最大公约数是一个 伟大创举.其程序框图如图，当输入时，输出的（ ）‎ ‎ A．17 B．19 C．27 D．57‎ 6. 四棱锥的底面是一个正方形，平面，，‎ 是棱的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ 7. 若是上的减函数,且，设，，若“”是 “”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ 8. 函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D．‎ 9. 用数学归纳法证明： 时，在第二步证明从到成立时，左边增加的项数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 10. 已知函数，则曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A . B. C. D. ‎ 11. 已知抛物线的焦点到准线的距离为, 且上的两点关于直线对称, 并且, 那么=（ ）‎ A. B. C. 2 D. 3 ‎ 1. 已知函数与的图象有三个不同的公共点，其中 为自然对数的底数，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷 非选择题 二、填空题：（本题共4小题，每题5分，共20分．请在答题卡中相应位置作答．）‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ y ‎1‎ ‎3.5‎ ‎7‎ ‎8‎ 2. 已知与之间的关系数据如右表所示，且关于的回归直线方程为，则表中的= ． ‎ 3. 某珠宝店丢了一件珍贵珠宝，以下四人中只有一人说的是真话，只有一人偷了珠宝．甲：我没有偷；乙：丙是小偷；丙：丁是小偷；丁：我没有偷．根据以上条件，可以判断偷珠宝的人是 ．‎ 4. 从圆内任取一点，则到直线的距离小于的概率 ． ‎ 5. 已知双曲线，A1，A2是实轴的顶点，F是右焦点，B(0,b)是虚轴的一个顶 点，若在线段上（不含端点）存在不同的两点，使得构成以为 斜边的直角三角形，则双曲线的离心率e的取值范围是__________ ． ‎ 三、解答题：（本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请在答题卡中相应位置作答．）‎ 6. 图中是抛物线拱桥，当水面在时，拱顶离水面米，水面宽米，问:（1）水下降米后，水面宽多少？‎ ‎（2）若在水面上有一宽为米，高为米的船，能否安全通过拱桥？‎ 7. 己知命题：函数有零点；命题：关于的不等式的解集是R；若“” 是假命题，“”是真命题，求实数的取值范围.‎ 8. 近年来,我国许多省市雾霾天气频发,为增强市民的环境保护意识,某市面向全市征召名义务宣传志愿者,成立环境保护宣传组织.现把该组织的成员按年龄分成5组:第1组[20,25),第2组[25,30),第3组[30,35),第4组[35,40),第5组[40,45],得到的频率分布直方图如图所示,已知第2组有35人．‎ ‎（1）求该组织的人数，并求出志愿者年龄的中位数；‎ ‎（2）若在第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者，再从中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验,求第3组至少有1名志愿者被抽中的概率．‎ 1. 如图，在斜三棱柱中，侧面与侧面都是菱形，‎ ‎，．（1）求证：；‎ ‎（2）若，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值．‎ ‎21．已知.（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）当时，证明对于任意的都成立．‎ ‎22.已知椭圆的离心率为，右顶点，直线l与x轴交于点A，与y轴交于点E．（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）若直线l与椭圆C的另一交点为D，P为弦AD的中点，是否存在着定点Q，使得恒成立？若存在，求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由；‎ ‎（3）若‎//‎ ，交椭圆C于点M，在（2）的条件下，求的最小值．‎ 高二年级2017年秋季学期第三次月考数学（理科）试卷参考答案 ‎1-12：B C A D D B B A C A A B 13. 14.甲 15. 16. ‎ ‎17.解析：（1）建立如图所示的直角坐标系，设抛物线的标准方程为，‎ 则点再抛物线上，代入抛物线方程得，所以抛物线方程为.‎ 当时，，当水下降米后，水面宽米.……5分 ‎（2）设，则当时，到水面 的距离为米，而船高米，所以不能安全通过. ………10分 ‎18.解析：当命题为真命题时，则，解得；……………3分 当命题若为真命题时，有零点有解有解，令 ，则在上单调递增，即得．…………6分 因为为真，为假，所以一真一假，即“真假”或“假真”．‎ 所以或……………………………………………………………………………11分 所以．故实数的取值范围是．……………12分 ‎19.解析：（1）由题意第2组的人数为35=5×0.07×n,得到n=100,故该组织有100人. …… 2分 由频率分布直方图知，中位数在，设中位数为，‎ 则，解得，‎ 根据频率分布直方图估计志愿者年龄的中位数为；………………………………………6分 ‎（2）第3组人数为0.06×5×100=30，第4组人数为0.04×5×100=20，第5组人数为0.02×5×100=10，所以每组抽取的人数分别为：第3组；第4组；第5组．……8分 记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1,‎ 则从6名志愿者中抽取2名志愿者有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),‎ ‎(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种．‎ 其中第3组的3名志愿者A1,A2,A3至少有一名志愿者被抽中的有(A1,A2),(A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),‎ ‎(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2),(A3,C1),共有12种．‎ 则第3组至少有1名志愿者被抽中的概率为． …………………12分 ‎20.解析：（1）证明：连，，则和皆为正三角形．‎ 取中点，连，，则，， ……………………………2分 则平面，则 ………………………………………………………5分 ‎（2）由（1）知，，又，所以．如图所示，分别以，，为正方向建立空间直角坐标系， ……………………7分 则，，，‎ 设平面的法向量为，‎ 因为，，‎ 所以取，‎ 同理，面的法向量取， ……………………………………………10分 则，………………………………………………11分 平面与平面所成的锐二面角的余弦值．…………………………………12分 ‎21. 解析：（1）的定义域为，.‎ 当时，由 ，由 ，‎ ‎ 在上单调递增，在上单调递减．………………2分 当时，.‎ ‎(i)当即时，由，由，‎ ‎ 在上单调递增，在上单调递减．………………3分 ‎(ii) 当即时，， 在上单调递增．………………4分 ‎(iii) 当即时，由，由， 在上单调递增，在上单调递减．………………5分 综上所述，当时， 在上单调递增，在上单调递减．‎ 当时， 在上单调递增，在上单调递减．‎ 当时， 在上单调递增．‎ 当时， 在上单调递增，在上单调递减．…………6分 ‎（2）证明：由（1）知，当时，‎ ‎．‎ 设，，则．……8分 由在上恒成立，则在上单调递增，可得，当且仅当时取得等号．……………………………………………………………………8分 又，设，其对称轴为，则在上单调递减.‎ 因为，在上有唯一的零点，记为，所以当时，，即，当时，，即.‎ 所以在上单调递增，在上单调递减．……………………………………10分 由，可得，当且仅当时取得等号．‎ 所以，‎ 即对于任意的都成立．…………………………………………12分 ‎22解析：（1）由椭圆右顶点A(3，0)，a=3‎，椭圆的离心率e=ca=‎‎5‎‎3‎，‎ 则c=‎‎5‎，b‎2‎‎=a‎2‎-c‎2‎=4‎，‎∴‎椭圆的标准方程：x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎；………………………3分 ‎（2）由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程y=k(x-3)‎，‎ 联立y=k(x-3)‎x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎，消去y，整理得：‎(9k‎2‎+4)x‎2‎-54k‎2‎x+81k‎2‎-36=0‎，‎ 设D(xD，yD)‎，则‎3xD=‎‎81k‎2‎-36‎‎9k‎2‎+4‎，则xD‎=‎27k‎2‎-12‎‎9k‎2‎+4‎，yD=k(xD-3)=-‎‎24k‎9k‎2‎+4‎，‎ ‎∴D(‎27k‎2‎-12‎‎9k‎2‎+4‎，-‎24k‎9k‎2‎+4‎)‎‎，由P为弦AD的中点，则P(‎27‎k‎2‎‎9k‎2‎+4‎，-‎12k‎9k‎2‎+4‎)‎，‎ ‎∴‎直线OP的斜率kOP‎=-‎‎4‎‎9k，对于直线l的方程y=k(x-3)‎，令x=0‎，则E(0，-3k)‎，‎ 假设存在定点Q(m，n)，m≠0‎，满足OP⊥EQ，直线EQ的斜率kEQ‎=‎n+3km，‎ ‎∴kOP⋅kEQ=-‎4‎‎9k⋅n+3km=-1‎‎，整理得‎4n+12k-9km=0‎，由‎4n+(12-9m)k=0‎恒成立，‎ 则‎12-9m=0‎‎4n=0‎，解得：m=‎‎4‎‎3‎n=0‎，则定点Q的坐标为‎(‎4‎‎3‎，0)‎；…………………7分 ‎（3）由OM//l，则直线OM的方程y=kx，设M(xM，yM)‎，‎ 由x‎2‎‎9‎‎+y‎2‎‎4‎=1‎y=kx，解的：xM‎=±‎‎6‎‎9k‎2‎+4‎，‎ 由‎|AD|+|AE|‎‎|OM|‎‎=丨xD-3丨+丨xE-3丨丨xM丨=‎6-‎‎27k‎2‎-12‎‎9k‎2‎+4‎‎6‎‎9k‎2‎+4‎=‎1‎‎2‎(‎9k‎2‎+12‎‎9k‎2‎+4‎)=‎1‎‎2‎(‎9k‎2‎+4‎+‎8‎‎9k‎2‎+4‎)‎ ‎ ‎≥2‎9k‎2‎+4‎‎×‎‎8‎‎9k‎2‎+4‎=‎1‎‎2‎×2×2‎2‎=2‎2‎，‎当且仅当‎9k‎2‎+4‎‎=‎‎8‎‎9k‎2‎+4‎，‎ 即k=±‎‎2‎‎3‎时，取等号，‎∴‎当k=±‎‎2‎‎3‎时，‎|AD|+|AE|‎‎|OM|‎的最小值‎2‎‎2‎．……………………………12分 月考数学双向细目表 题号 内容 难度 求建议 ‎1‎ 随机抽样 易 ‎2‎ 复数的运算 易 ‎3‎ 空间向量及其运算 易 ‎4‎ 古典概型 易 ‎5‎ 程序框图 易 ‎6‎ 空间几何体求夹角的问题 中 ‎7‎ 充要条件 中 ‎8‎ 函数图象问题 中 ‎9‎ 数学归纳法 中 ‎10‎ 函数的切线问题 中 ‎11‎ 抛物线的性质 中 ‎12‎ 导数研究单调性的综合问题 难 ‎13‎ 回归直线的应用 易 ‎14‎ 逻辑推理题 易 ‎15‎ 几何概型 中 ‎16‎ 双曲线离心率的范围问题 难 ‎17‎ 圆锥曲线的简单性质 易 ‎18‎ 逻辑联接词的应用 易 ‎19‎ 统计+概率 中 ‎20‎ 立体几何（建系设点）‎ 中 ‎21‎ 导数研究函数的性质（单调性、极值、求参数）‎ 中难 ‎22‎ 椭圆的综合应用 难