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- 2021-05-28 发布
大连市20172018学年度第一学期期末考试试卷
高二数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.抛物线的准线方程为（ ）
A． B． C． D．
2.命题：“”的否定是（ ）
A． B．
C． D．
3.若，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．
4.已知是等差数列，，则该数列前项和等于（ ）
A． B． C. D．
5.命题，命题，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知实数满足，则的最小值是（ ）
A． B． C. D．
7.已知的顶点在椭圆上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在边上，则的周长是（ ）
A． B． C. D．
8.平行六面体中，向量两两的夹角均为，且，
,则等于（ ）
A． B． C. D．
9.已知直线与曲线相切，则的值为（ ）
A． B． C. D．
10.关于的不等式的解集为，则关于的不等式的
解集为（ ）
A． B． C. D．
11.已知双曲线的一个焦点与抛物线的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为（ ）
A． B． C. D．
12.若的定义域为，恒成立，，则的解集为（ ）
A． B． C. D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.是公比为正数的等比数列，若则数列的前项和为．
14.直线与椭圆相交于两点，则．
15.为椭圆左右焦点，为椭圆上一点，垂直于轴，且三角形为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为．
16.点是圆上的动点，定点，线段的垂直平分线与直线的交点为，则点的轨迹方程是．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 过抛物线的焦点的一条直线与抛物线交于两点.
求证：
18.已知等差数列的前项和为，且
（1）求数列的通项公式；
（2）等比数列，若，求数列的前项和
19.如图，四边形是直角梯形，平面,
（1）求直线与平面所成角的余弦；
（2）求平面和平面所成角的余弦.
20.已知函数在与时都取得极值.
（1）求的值与函数的单调区间；
（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.
21.如图，四棱柱中，侧棱底面,为棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的正弦值.
22.已知椭圆的中心是坐标原点，它的短轴长，焦点，点，且
（1）求椭圆的标准方程；
（2）是否存在过点的直线与椭圆相交于两点，且以线段为直径的圆过坐标原点，若存在，求出直线的方程；不存在，说明理由.
试卷答案
一、选择题
1-5: 6-10: 11、12：
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：当过焦点的直线垂直于轴时，则成立，
当直线不与轴垂直时，设
得
所以 .
18.解：（1） 由，得，所以
又因为，所以公差
从而
（2）由上可得，所以公比
从而，
所以，.
19.解：（1） 如图建系，
平面，故平面的一个法向量为
设与平面所成的角为则
故，即与平面所成的角余弦为
（2）平面的一个法向量为
,设平面的一个法向量为，
由 令可得平面的一个法向量为
显然，平面和平面所成角为锐角，不妨设为则
即平面和平面所成角的余弦.
20．解：（1）
由得
，
变化时变化如下表
所以函数的递增区间是与，递减区间是；
（2），当时，
为极大值，而，则为最大值，
要使恒成立，则只需要，得
21.解：如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，依题意得
（1）证明：易得,于是,
所以
（2）,设平面的一个法向量，
则,即消去，得，不妨令，所以平面的一个法向量为
由（1）知，又平面，
所以平面，故为平面的一个法向量，
于是,
从而
所以二面角的正弦值为
22.解：（1） 由题意知，
由，得，解得：
椭圆的方程为
离心率为
（2），设直线的方程为
联立， 得
设，则
由已知得，得，即
解得：，
符合直线的方程为.