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- 2021-05-28 发布
2017-2018学年陕西省黄陵中学高新部高二上学期第三学月考试数学
一、单项选择（60分）
1、已知函数的图象如图所示，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
2、已知正数满足，则的最小值为( )
A. 3 B. C. 4 D.
3、若正数满足： ，则的最小值为（ ）
A. B. C. D. 无最小值
4、 某公司租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物费与到车站的距离成正比，如果在距离车站12公里处建仓库，这两项费用和分别为3万元和12万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站（ ）
A. 5公里处 B. 6公里处 C. 7公里处 D. 8公里处
5、 设O为坐标原点，A（1，1），若点B（x,y）满足，则取得最小值时，点B的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 无数个
6、若a,b,c＞0且a(a+b+c)+bc=4-2,则2a+b+c的最小值为( )
（A）-1 (B) +1 (C) 2+2 (D) 2-2
7、若关于的不等式有实数解，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8、已知变量满足条件，若目标函数仅在点处取得最小值，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．或
9、P的坐标满足，过点P的直线与圆相交于A、B两点，则的最小值是（ ）
A． B．4 C． D．3
10、已知数列的前项和为，且， ，若对任意的， 恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
11、已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
12、已知等比数列的前项和公式，则其首项和公比分别为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（20分）
13、用表示不超过的最大整数，例如，，.已知数列
满足，，则 =_____.
14、已知实数满足，则的最小值为__________．
15、已知实数满足，若对任意的恒成立，则实数的取值范围为__________．
16、已知实数满足不等式组，且的最小值为，则实数__________．
三、解答题（70分，17题10分，其余12分）
17、双流中学2016年高中毕业的大一学生假期参加社会实践活动，为提高某套丛书的销量，准备举办一场展销会，据市场调查，当每套丛书售价定为元时，销售量可达到万套，现出版社为配合该书商的活动，决定进行价格改革，将每套丛书的供货价格分成固定价格和浮动价格两部分，其中固定价格为30元，浮动价格（单位：元）与销售量（单位：万套）成反比，比例系数为10，假设不计其他成本，即销售每套丛书的利润=售价供货价格.问：
（1）每套丛书售价定为100元时，书商所获得的总利润是多少万元？
（2）每套丛书售价定为多少元时，单套丛书的利润最大？
18、如图，动物园要围成相同的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成.
（1）现有可围36m长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？
（2）若使每间虎笼面积为24m2，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋总长度最小？
19、已知函数，
（Ⅰ）当时，求的最大值；
（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）证明
20、已知定义域为R的函数是奇函数.
（1）求的值；
（2）解不等式.
21、某科研小组研究发现：一棵水蜜桃树的产量（单位：百千克）与肥料费用（单位：百元）满足如下关系：，且投入的肥料费用不超过5百元.此外，还需要投入其他成本（如施肥的人工费等）百元.已知这种水蜜桃的市场售价为16元/千克（即16百元/百千克），且市场需求始终供不应求.记该棵水蜜桃树获得的利润为（单位：百元）.
（1）求利润函数的函数关系式，并写出定义域；
（2）当投入的肥料费用为多少时，该水蜜桃树获得的利润最大？最大利润是多少？
22、已知各项均为正数的等比数列中，，.
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
参考答案
一、单项选择
1、【答案】D
【解析】由图象可知：经过原点,∴f(0)=0=d，
∴.
由图象可得：函数f(x)在[？1,1]上单调递减,函数f(x)在x=？1处取得极大值。
∴f′(x)=3ax2+2bx+c？0在[？1,1]上恒成立,且f′(？1)=0.
得到3a？2b+c=0，即c=2b？3a，
∵f′(1)=3a+2b+c<0，
∴4b<0，即b<0，
∵f′(2)=12a+4b+c>0，
∴3a+2b>0，
设k=,则k=，
建立如图所示的坐标系,则点A(？1,？2)，
则k=式中变量a、b满足下列条件，
作出可行域如图：
∴k的最大值就是kAB=,k的最小值就是kCD,而kCD就是直线3a+2b
=0的斜率,kCD=，
∴0
∴
∴ (当且仅当时取等号)
则的最小值4
3、【答案】A
【解析】因为正数 满足 ，解得 ，同理 ，则 ，当且仅当 时取等号（此时 ）. 的最小值为 ，故选A.
4、【答案】B
【解析】
5、【答案】B
【解析】
6、【答案】D
【解析】若且 所以，∴ ，则()≥，选D.
7、【答案】A
【解析】.
8、【答案】C
【解析】
9、【答案】B
【解析】
10、【答案】B
【解析】由数列的递推公式可得 ： ，
则数列是首项为，公比为的等比数列，
，
分组求和可得： ，
题中的不等式即恒成立，
结合恒成立的条件可得实数的取值范围为
本题选择B选项.
11、【答案】C
【解析】由题意可得： ，由可得，
由等比数列的性质可得： 成等比数列，
则： ，综上可得：
，
当且仅当时等号成立.
综上可得，则的最小值为20.
本题选择C选项.
12、【答案】B
【解析】由题设令，令，求出，则公比，应选答案B。
二、填空题
13、【答案】0
【解析】
14、【答案】2
【解析】作出约束条件，如图所示；
由解得点B(1,3)；作出直线2x？y=0，对该直线进行平移，
可以发现经过点B时t=2x？y=2×1？3=？1，此时取得最小值为2.
15、【答案】
【解析】做出不等式组表示的平面区域如图所示， 表示阴影区域内的点到点 的距离的平方，数形结合可得 ，
结合恒成立的条件可得实数m的取值范围是.
16、【答案】6
【解析】做出可行域：
当直线经过B点时， 的最小值为.
此时，即，即
三、解答题
17、【答案】解：（Ⅰ）每套丛书定价为100元时，销售量为万套，
此时每套供货价格为元，
∴书商所获得的总利润为万元．
（Ⅱ）每套丛书售价定为元时，由得，，
依题意，单套丛书利润
∴，
∵，∴，
由，
当且仅当，即时等号成立，此时
．
答：（Ⅰ）当每套丛书售价定为100元时，书商能获得总利润为340万元；（Ⅱ）每套丛书售价定为140元时，单套利润取得最大值100元．
（说明：学生未求出最大值不扣分）．
试题分析：解：(1)每套丛书售价定为100元时，销售量为15－0.1×100＝5(万套)，此时每套供货价格为30＋＝32(元)，书商所获得的总利润为5×(100－32)＝340(万元)．
(2)每套丛书售价定为x元时，由
解得00，
由(150－x)＋≥2＝2×10＝20，
当且仅当150－x＝，即x＝140时等号成立，此时，Pmax
＝－20＋120＝100.
∴当每套丛书售价定为100元时，书商获得总利润为340万元，每套丛书售价定为140元时，单套丛书的利润最大，最大值为100元．
18、【答案】（1）4.5m、3m（2）48m
试题分析：(1)设每间虎笼长为xm，宽为ym，则面积S＝xy.，
由于2x＋3y≥2＝2，所以2≤18，得xy≤，即S≤，当且仅当2x＝3y时取等号．则
所以每间虎笼长、宽分别为4.5m、3m时，可使面积最大．
(2)设围成四间虎笼的钢筋网总长为lm，则l＝4x＋6y，且xy＝24，所以l＝4x＋6y＝2(2x＋3y)≥2×2＝4＝4×＝48(m)，当且仅当2x＝3y时取等号．
故每间虎笼长、宽分别为6m、4m时，可使钢筋网的总长最小为48m.
【解析】
19、【答案】解（Ⅰ）当 时，，
，…………………1分
当时，单调递增，当时，单调递减，
函数的最大值是. …………………2分
（Ⅱ），，
当时，恒成立，在上是减函数，
适合题意，………………… 2分
②当时，，在上是增函数，
∴，不能使在恒成立；……………1分
③当时，令，得，当时，
在上为增函数，∴当时，。
∴不能使在恒成立，…………………1分
综上：的取值范围是. …………………1分
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，,
取，，则
，
…………………4分
20、【答案】（1）;（2）
试题分析：（1）根据函数为奇函数可得和列出方程组可得结果；（2）结合函数的奇偶性及单调性可得不等式的解.
试题解析：（1）因为是奇函数，所以，即，
又因为知，，
（2）有（1）知，易知在R上为减函数，
又因为是奇函数，从而不等式，
转化为，所以
【解析】
21、【答案】（1）见解析（2）当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.
试题分析：（1）根据利润等于收入减成本列式：，由投入的肥料费用不超过5百元及实际意义得定义域，（2）利用基本不等式求最值：先配凑：，再根据一正二定三相等求最值.
试题解析：解：（1）（）.
（2）
.
当且仅当时，即时取等号.
故.
答：当投入的肥料费用为300元时，种植该果树获得的最大利润是4300元.
【解析】
22、【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).
试题分析：（Ⅰ）由已知条件求去等比数列的公比，再由公式求出通项公式；（Ⅱ）用错位相减法求出数列的前n项和。
试题解析;（Ⅰ）设等比数列的公比为，且，
∵
∴，又
∴
∴
（Ⅱ）由（Ⅰ）知
得
故（1）
∴（2）
得：，
∴