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- 2021-05-28 发布
高一数学期中试题
1.已知角的终边经过点，则
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三角函数定义，求出，即可得到的值．
【详解】因为，，所以．
故选：A．
【点睛】本题主要考查已知角终边上一点，利用三角函数定义求三角函数值，属于基础题．
2.设两个单位向量的夹角为，则（ ）
A. 1 B. C. D. 7
【答案】B
【解析】
【分析】
由，然后用数量积的定义，将的模长和夹角代入即可求解.
【详解】，
即.
故选：B
【点睛】本题考查向量的模长，向量的数量积的运算，属于基础题.
3.在中，内角所对的边分别为.若,则角的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据正弦定理将边化角，可得，由可求得，根据的范围求得结果.
【详解】由正弦定理得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查正弦定理边角互化的应用，涉及到两角和差正弦公式、三角形内角和、诱导公式的应用，属于基础题.
4.已知D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，则xy的取值范围是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用已知条件推出x+y＝1，然后利用x，y的范围，利用基本不等式求解xy的最值．
【详解】解：D，E是边BC的三等分点，点P在线段DE上，若，可得，x，，
则，当且仅当时取等号，并且，函数的开口向下，
对称轴为：，当或时，取最小值，xy的最小值为：．则xy的取值范围是：
故选D．
【点睛】本题考查函数的最值的求法，基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力．
5.已知，是奇函数，直线与函数的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为，则（ ）
A. 在上单调递减 B. 在上单调递减
C. 在上单调递增 D. 在上单调递增
【答案】A
【解析】
【分析】
首先整理函数的解析式为，由函数为奇函数可得，由最小正周期公式可得，结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可.
【详解】由函数的解析式可得：，
函数为奇函数，则当时：.令可得.
因为直线与函数的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为
结合最小正周期公式可得：，解得：.
故函数的解析式为：.
当时，，函数在所给区间内单调递减；
当时，，函数在所给区间内不具有单调性；
据此可知，只有选项A的说法正确.
故选A.
【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用，考查了三角函数的周期性、单调性，三角函数解析式的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
6.在中，，，是边的中点.为
所在平面内一点且满足，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
根据平面向量基本定理可知，将所求数量积化为；由模长的等量关系可知和为等腰三角形，根据三线合一的特点可将和化为和，代入可求得结果.
【详解】为中点
和为等腰三角形
，同理可得：
本题正确选项：
【点睛】本题考查向量数量积的求解问题，关键是能够利用模长的等量关系得到等腰三角形，从而将含夹角的运算转化为已知模长的向量的运算.
7.在中，角，，所对的边为，，，且为锐角，若，，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用正弦定理化简，再利用三角形面积公式，即可得到，由
，求得，最后利用余弦定理即可得到答案．
【详解】由于，有正弦定理可得： ，即
由于在中，，，所以，
联立 ，解得：，
由于为锐角，且，所以
所以在中，由余弦定理可得：，故（负数舍去）
故答案选D
【点睛】本题考查正弦定理，余弦定理，以及面积公式在三角形求边长中的应用，属于中档题．
8.已知是边长为4的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
建立平面直角坐标系，表示出点的坐标，利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算，求得最小值，即可求解.
【详解】由题意，以中点为坐标原点，建立如图所示的坐标系，
则，
设，则，
所以
，
所以当时，取得最小值为，
故选A.
【点睛】
本题主要考查了平面向量数量积的应用问题，根据条件建立坐标系，利用坐标法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.
二、多选题
9.已知，如下四个结论正确的是（ ）
A. ； B. 四边形为平行四边形；
C. 与夹角的余弦值为； D.
【答案】BD
【解析】
【分析】
求出向量坐标，再利用向量的数量积、向量共线以及向量模的坐标表示即可一一判断.
【详解】由，
所以，，， ,
对于A，，故A错误；
对于B，由，，则，
即与平行且相等，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，故D正确；
故选：BD
【点睛】本题考查了向量的坐标运算、向量的数量积、向量模的坐标表示，属于基础题.
10.下列各式中，值为的是（ ）
A. B. C.
D. E.
【答案】BCE
【解析】
【分析】
利用二倍角公式计算可得.
【详解】解：不符合，；
符合，；
符合，；
不符合，；
符合，．
故选：．
【点睛】本题考查二倍角公式的应用，特殊角的三角函数值，属于基础题.
11.已知的内角所对的边分别为，下列四个命题中正确的命题是（ ）
A. 若，则一定是等边三角形
B. 若，则一定是等腰三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 若，则一定是锐角三角形
【答案】AC
【解析】
【分析】
利用正弦定理可得，可判断；由正弦定理可得，可判断；由正弦定理与诱导公式可得，可判断；由余弦定理可得角为锐角，角不一定是锐角，可判断.
【详解】由，利用正弦定理可得，即，是等边三角形，正确；
由正弦定理可得，或，
是等腰或直角三角形，不正确；
由正弦定理可得，即，
则等腰三角形，正确；
由正弦定理可得，角为锐角，角不一定是锐角，不正确，故选AC.
【点睛】本题主要考查正弦定理与余弦定理的应用，以及三角形形状的判断，属于中档题. 判断三角形状的常见方法是：（1）通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断；(2)利用正弦定理、余弦定理，化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断；（3）根据余弦定理确定一个内角为钝角进而知其为钝角三角形.
12.已知函数，则下面结论正确的是（ ）
A. 为偶函数 B. 的最小正周期为
C. 的最大值为2 D. 在上单调递增
【答案】ABD
【解析】
【分析】
首先将化简为，选项A，的定义域为，，故A正确。根据的周期和最值可判断B正确，C不正确。根据可判定D正确。
【详解】，
选项A，的定义域为，
，故A正确。
B选项，的最小正周期为，故B正确。
C选项，，故C不正确。
D选项， 由的图像，
由图可知：在上单调递增，故D正确。
故选ABD
【点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性，同时考查三角函数最值和单调区间，属于中档题。
三、填空题
13.在中，角所对的边分别为.若,，则角的大小为____________________.
【答案】
【解析】
本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求角以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力．由得，所以
由正弦定理得，所以A=或（舍去）、
14.已知，则________
【答案】
【解析】
【分析】
利用诱导公式化简已知条件，求得值，利用“1”的代换的方法将所求表达转化为只含的式子，由此求得表达式的值.
【详解】由得，故.所以，分子分母同时除以得.
故答案为.
【点睛】本小题主要考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，考查“1”的代换以及齐次式的计算，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
15.已知函数，若对任意都有（）成立，则的最小值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据和的取值特点，判断出两个值都是最值，然后根据图象去确定最小值.
【详解】因为对任意成立，所以取最小值，取最大值；
取最小值时，与必为同一周期内的最小值和最大值的对应的，则，且，故.
【点睛】任何一个函数，若有对任何定义域成立，此时必有：，.
16.设非零向量，的夹角为，记，若，均为单位向量，且，则向量与的夹角为__________．
【答案】
【解析】
【分析】
根据题意得到，，再根据向量点积的公式得到向量夹角即可.
【详解】由题设知，若向量，的夹角为，则，的夹角为.由题意可得，
，
.
∵，，，，向量与的夹角为.
故答案为.
【点睛】这个题目考查了向量数量积的应用，以及向量夹角的求法，平面向量数量积公式有两种形式，一是，二是
，主要应用以下几个方面:(1)求向量的夹角， （此时往往用坐标形式求解）；（2）求投影， 在 上的投影是；（3）向量垂直则;(4)求向量 的模（平方后需求）.
四、解答题
17.设两个非零向量与不共线，
（1）若，，，求证：三点共线；
（2）试确定实数，使和同向.
【答案】（1）证明见解析（2）
【解析】
【分析】
（1）根据向量的运算可得，再根据平面向量共线基本定理即可证明三点共线；
（2）根据平面向量共线基本定理，可设，由向量相等条件可得关于和的方程组，解方程组并由的条件确定实数的值.
【详解】（1）证明：因为，，，
所以.
所以共线，
又因为它们有公共点，
所以三点共线.
（2）因为与同向，
所以存在实数，使，
即.
所以.
因为是不共线的两个非零向量，
所以
解得或
又因为，
所以.
【点睛】本题考查了平面向量共线定理的应用，三点共线的向量证明方法应用，属于基础题.
18.在中，角，，的对边分别为，，，且.
（1）求的值；
（2）若，边上的中线，求的面积.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析】
（1）对题中等式应用正弦定理化简后即可求出角；
（2）首先根据余弦定理和中线求出边，再根据三角形面积公式求出三角形面积即可.
【详解】（1）∵，
∴由正弦定理得：，
即，
又∵，∴，∴，
又，所以；
（2）由，，知，
在中，由余弦定理得，
解得，故，
∴.
【点睛】本题主要考查了利用正弦定理余弦定理求解三角形，属于基础题.
19.在中，角，，的对边分别为，，，.
（1）求角的大小；
（2）已知，且的外接圆的半径为，若，求的值.
【答案】（1）；（2）9
【解析】
【分析】
（1）化简得到，根据余弦定理计算得到答案.
（2）根据正弦定理得到，再利用余弦定理得到，联立方程得到，再利用余弦定理得到答案.
【详解】（1），，
由余弦定理可得，，，.
（2），外接圆的半径为，
由正弦定理可得，可得，，①
由余弦定理可得：，
解得：，②
联立①②可得：，或，由，可得，
，
.
【点睛】本题考查了正弦定理，余弦定理解三角形，向量的数量积，意在考查学生的计算能力和应用能力.
20.设向量，，其中，，函数的图象在轴右侧的第一个最高点（即函数取得最大值的点）为，在原点右侧与轴的第一个交点为.
（1）求函数的表达式；
（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，，且，求边长.
【答案】（1）；（2）3
【解析】
【分析】
（1），根据周期得到，代入点得到，得到解析式.
（2）解得，根据得到，再利用余弦定理计算得到答案.
【详解】（1）因为，
由题意，，，
将点代入，得，
所以，又因，，
即函数的表达式为.
（2）由，即，又，，
由，知，所以，
由余弦定理知
，所以.
【点睛】本题考查了向量的数量积，三角函数解析式，余弦定理，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
21.已知两个不共线的向量，满足，，.
（1）若，求角值；
（2）若与垂直，求的值；
（3）当时，存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）
【解析】
【分析】
（1）根据向量平行得到，解得答案.
（2）根据向量垂直得到，故，得到答案.
（3）化简得到，由得，故，解得答案.
【详解】（1），故，，
故角的集合为.
（2）由条件知，，又与垂直，
所以，所以.
所以，故.
（3）由，得，即，
即，，
所以.
由得，又要有两解，故，
即，又因为，所以.
即的范围.
【点睛】本题考查了根据向量平行求参数，根据向量垂直求模，方程解的个数问题，意在考查学生的计算能力，转化能力，综合应用能力.
22.已知，，，且，其中.
(1)若与的夹角为60°，求k的值；
(2)记，是否存在实数k，使得对任意的恒成立?若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) ；(2) ．
【解析】
【分析】
(1)由两边平方得，，展开即可求出k的值；
(2)根据，可求出，再将变形为
，设，然后解不等式组，即可求出实数k的取值范围．
【详解】(1) 由得，，因为，
所以，即，解得．
(2)由(1)可知，，所以，
变形为，设，所以对任意的恒成立，即有， ，解得 ．
【点睛】本题主要考查数量积的运算以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．