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- 2021-05-28 发布
福建师大附中2019-2020学年上学期期末考试
高二数学试卷
时间：
120分钟
满分：
150分
命题：
审核：
试卷说明：
（1）本卷共四大题，23小题，解答写在答卷的指定位置上，考试结束后，只交答卷。
（2）考试过程中不得使用计算器或具有计算功能的电子设备。
第Ⅰ卷（选择题，共70分）
一、单项选择题：每小题5分，共50分.在每小题给出的选项中，只有一个选项是正确的。
1．已知空间向量,共线，则实数的值是( ▲ )
A． B． C．或 D．或
2. 设是可导函数，且，则( ▲ )
A. B. C. D.
3. 正方体中，是的中点，是底面的中心，是棱上任意一点，则直线与直线所成的角是( ▲ )
A. B. C. D. 与点的位置有关
4. 已知正四面体的各棱长为1，点是的中点，则的值为( ▲ )
A. B. C. D.
5. 在长方体中，，，则与平面所成角的正弦值为( ▲ )
A． B． C． D．
6. 函数在[－2,2]的图象大致为( ▲ )
A B C D
7．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是( ▲ )
A． B． C． D．
8.在空间直角坐标系中，四面体的顶点坐标分别是，，，.则点到面的距离是( ▲ )
A. B. C. D.
9．已知函数恰有两个零点，则实数的取值范围是( ▲ )
A． B． C． D．
10.已知是定义在上的偶函数，且当时,有
,则不等式的解集为( ▲ )
A. B. C. D.
二、多项选择题：每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。
-3
x
y
-1
1
O
-2
y=f’(x)
11.定义在上的可导函数的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是( ▲ )
A．－3是的一个极小值点；
B．－2和－1都是的极大值点；
C．的单调递增区间是；
D．的单调递减区间是．
12．定义在的函数，已知()是它的极大值点，则以下结论正确的是( ▲ )
A．是的一个极大值点
B．是的一个极小值点
C． 是的一个极大值点
D．是的一个极小值点
13．设，，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( ▲ )
A． B． C． D．
A1
C
M
A
D
E
B
14．如图，矩形中，，为边的中点.将沿直线翻折成(点不落在底面內). 若为线段的中点，则在翻转过程中，以下命题正确的是( ▲ )
A．四棱锥体积最大值为
B. 线段长度是定值；
C. 平面一定成立；
D. 存在某个位置，使；
Ⅱ卷（非选择题，共80分）
三、填空题：每小题5分,共20分。
15.已知函数，则= ▲
16.过原点与曲线相切的直线方程为 ▲
17.若函数在区间上有最小值，则实数的取值范围是 ▲
18.已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是 ▲ ，该几何体的外接球半径为 ▲
四、解答题：5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
19.(10分) 已知函数在处有极值.
(1) 求的值；
(2) 求的单调区间.
20. (12分)如图，三棱柱ADEBCG中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点，EA⊥AB，AD＝AE＝EF＝1，平面ABGE⊥平面ABCD．
(1) 求证：AF⊥平面FBC；
(2) 求锐二面角BFCD的平面角的大小．
21．(12分)如图，有一块半径为20米，圆心角的扇形展示台，展示台分成了四个区域：三角形，弓形，扇形和扇形（其中）.某次菊花展依次在这四个区域摆放：泥金香、紫龙卧雪、朱砂红霜、朱砂红霜.预计这三种菊花展示带来的日效益分别是：泥金香50元/米2，紫龙卧雪30元/米2，朱砂红霜40元/米2.
B
O
A
D
C
M
(1) 设，试建立日效益总量关于的函数关系式；
(2) 试探求为何值时，日效益总量达到最大值.
22. (12分)在如图所示的六面体中，面是边长为的正方形，面是直角梯形，，，.
(1) 求证：//平面；
(2) 若二面角为，求直线和平面所成角的正弦值.
23. (14分)已知函数，
(1) 当时，试讨论方程的解的个数；
(2) 若曲线和上分别存在点，使得是以原点为直角顶点的直角三角形，且斜边的中点在y轴上，求实数a的取值范围.
福建师大附中2019-2020学年上学期期末考试
高二数学参考答案
一、单项选择题
题号
1
2[来
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
A
C
A
B
B
D
A
C
C
二、多项选择题
题号
11
12
13
14
答案
ACD
AD
BCD
ABC
三、 填空题
15. 3 16. 17. 18.,
四、解答题
19.解：(1)，
依题意知，解得，
(2) 由(1)知，,
令，则或（舍去）.
当时，；当时，；
因此，的单调递减区间为，单调递增区间为.
20. 解：(1)证明：∵平面ABGE⊥平面ABCD，
平面ABGE∩平面ABCD=AB
又由四边形ABCD是矩形知，BC⊥AB，BC⊂平面ABCD
∴BC⊥平面ABGE，
∵AF⊂平面ABGE，
∴BC⊥AF．
在△AFB中，AF＝BF＝，AB＝2，
∴AF2＋BF2＝AB2，
即AF⊥BF，又B F∩BC＝B，
∴AF⊥平面FBC．
(2)分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(1,2,0)，E (0,0,1)，B(0,2,0)，F(0,1,1)，∴＝(－1,0,1)，＝(0,2,0)，
设n1＝(x，y，z)为平面CDEF的法向量，
则即
令x＝1，得z＝1，即n1＝(1,0,1)，
取n2＝＝(0,1,1)为平面BCF的一个法向量，
∴cos〈n1，n2〉＝＝，
∴锐二面角BFCD的平面角的大小是．
21.(1)依题意得，，则
其中，
(2) ，
令，得，
当，，当时，，
所以，是函数的极大值点，且唯一；
从而当时，日效益总量可取得最大值.
22．证明：（1）法一：连接相交于点，取的中点为,连接.
是正方形，是的中点，,
又因为,所以且，
所以四边形是平行四边形，
，又因为平面,平面
平面法二：延长相交于点,连接.
因为，
是的中点，所以且，
所以四边形是平行四边形，
，又因为平面,平面
平面
（2）是正方形，是直角梯形，，
,平面,同理可得平面.
又平面，所以平面平面,
又因为二面角为，
所以,,,由余弦定理得,
所以,又因为平面，,所以平面，
法一：以为坐标原点，为轴、为轴、为轴建立空间直角坐标系.则,
所以,设平面的一个法向量为，则即令，则，
所以
设直线和平面所成角为，
则
23. (1)当,,；
又的定义域为；
当时，恒成立.
所以，在上单调递减，在也单调递减，图象如右图所示.
因此，当即时，方程无解；
当即时，方程有唯一解.
(2),函数在上单调递减，
.设,由斜边的中点轴上可得，,,
即，,
设,则,
,,
即实数的取值范围是.