数学文卷·2018届江西省新余四中、上高二中2018届高三第一次联考（2017 8页

‎2018届新余四中、上高二中第一次联考文科数学试题 ‎1.要得到函数f(x)＝cos的图像，只需将函数g(x)＝sin的图像(C　　)‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 ‎2.已知函数f（x）=-（||<）的图象关于y轴对称，则f（x）在区间 [-,]上的最大值为（　A　）‎ ‎. 1      .    .    . 2 3.在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sin A＝，a＝2，S△ABC＝，则b的值为(　A　)‎ A. B. C.2 D.2 ‎4.若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(‎3a＋2b)，则a与b的夹角为(　A　)‎ A. B. C. D.π ‎5. 已知,是单位向量，,的夹角为90°，若向量满足：|--|=2，则||的最大值为（　D　） ‎ ‎.2-    .    . 2      .2+‎ ‎6.设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于(　A　)‎ A.150 B.－200‎ C.150或－200 D.400或－50‎ ‎7.已知对一切都成立，则的值为（ C ）‎ A．，， B．，， ‎ C.，， D．，，‎ ‎8.设实数x,y满足则max{2x+3y-1,x+2y+2}的取值范围是（　B　）‎ ‎.[2,9] .[2,9） .[-1,8] .以上都不对 ‎9.已知数列中， 为数列的前项和，当时，恒有 成立，若，则的值是 （ B ） ‎ A． B. C. D. ‎ ‎10.已知数列{}满足：+=(n+1)cos(n2,nN*),是数列{}的前n项和，若 ‎+m=1010, m>0, 则的最小值为（　A　）‎ ‎.2 . .2 .2+‎ ‎11.在中，已知 ，为线段上的点，且 则的最大值为（ C ）‎ A.1 B‎.2 C.3 D.4‎ ‎12．已知函数是定义域为的偶函数. 当时，， 若关于的方程（）,有且仅有6个不同实数根，则实数的取值范围是（ D ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎13.若向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，已知2a－3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是__∪____________．‎ ‎14.已知等差数列的前项和为，若，则取最大值的 9 ．‎ ‎15.设α，β∈(0，π)，sin(α＋β)＝，tan ＝，则cos β的值是__－______.‎ ‎16.在中，，是边的一个三等分点（靠近点），记.当取最大值时，则的值为 .‎ ‎17. 正项数列{an}的前n项和Sn满足：S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)令bn＝，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：对于任意的n∈N+，都有Tn＜.‎ ‎17.(1)解　由S－(n2＋n－1)Sn－(n2＋n)＝0，‎ 得[Sn－(n2＋n)](Sn＋1)＝0.‎ 由于{an}是正项数列，所以Sn＞0，Sn＝n2＋n.‎ 于是a1＝S1＝2，‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2＋n－(n－1)2－(n－1)＝2n.综上，数列{an}的通项an＝2n.‎ ‎(2)证明　由于an＝2n，bn＝，‎ 则bn＝＝.‎ Tn＝ ‎＝＜＝.‎ ‎18.设数列{an}的前n项和为Sn.已知2Sn＝3n＋3.‎ ‎(1)求{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足anbn＝log3an，求{bn}的前n项和Tn.‎ ‎18.解　(1)因为2Sn＝3n＋3，‎ 所以‎2a1＝3＋3，故a1＝3，‎ 当n≥2时，2Sn－1＝3n－1＋3，‎ 此时2an＝2Sn－2Sn－1＝3n－3n－1＝2×3n－1，‎ 即an＝3n－1，‎ 所以an＝ ‎(2)因为anbn＝log3an，所以b1＝，‎ 当n≥2时，bn＝31－nlog33n－1＝(n－1)·31－n.‎ 所以T1＝b1＝；‎ 当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝＋[1×3－1＋2×3－2＋…＋(n－1)×31－n]，‎ 所以3Tn＝1＋[1×30＋2×3－1＋…＋(n－1)×32－n]，‎ 两式相减，得2Tn＝＋(30＋3－1＋3－2＋…＋32－n)－(n－1)×31－n＝＋－(n－1)×31－n ‎＝－，所以Tn＝－，‎ 经检验，n＝1时也适合.‎ 综上可得Tn＝－.‎ ‎19.已知向量，向量，函数 ‎(1)求的最小正周期；‎ ‎(2)已知，，分别为内角，，的对边，为锐角，，，且恰是在，上的最大值，求，和的面积.‎ ‎19.解：(1) …………2分 ‎ …………5分 因为，所以 …………6分 ‎ (2) 由(Ⅰ)知： 时, ‎ 由正弦函数图象可知,当时取得最大值 所以, …………8分 由余弦定理，∴∴ ……10分 从而 ……12分 ‎20.在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，．‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值．‎ ‎20.解：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，‎ 则 ……………2分 解得，， ……………4分 所以，． ……………6分 ‎（2）由（1）得，故，……………7分 当为奇数时，，随的增大而减小，所以；…………8分 当为偶数时，，随的增大而增大，所以，…………9分 令，，则，故在时是增函数．‎ 故当为奇数时，； ……………10分 当为偶数时，， ……11分 综上所述，的最大值是，最小值是． ……12分 ‎21.已知椭圆的焦点坐标为(-1,0)，(1,0)，过垂直于长轴的直线交椭圆于P、Q两点，且|PQ|=3，‎ ‎（1） 求椭圆的方程；‎ ‎（2） 过的直线l与椭圆交于不同的两点M、N，则△MN的内切圆的面积是否存在最大值？若存在求出这个最大值及此时的直线方程；若不存在，请说明理由. ‎ ‎21．（1） 设椭圆方程为=1（a>b>0）,由焦点坐标可得c=1………1分 由PQ|=3，可得=3，‎ 解得a=2，b=，故椭圆方程为=1 ……………4分 ‎ （2） 设M，N,不妨>0, <0,设△MN的内切圆的径R，‎ 则△MN的周长=‎4a=8，（MN+M+N）R=4R 因此最大，R就最大， ， …………6分 由题知，直线l的斜率不为零，可设直线l的方程为x=my+1，‎ 由得+6my-9=0，‎ 得，， ………………8分 则AB（）==，令t=,则t≥1,………10分 则,令f（t）=3t+，当t≥1时， f(t)在［1,+∞)上单调递增，有f(t)≥f(1)=4, ≤=3,即当t=1,m=0时，≤=3, =4R，∴=，这时所求内切圆面积的最大值为π.‎ 故直线l:x=1，△AMN内切圆面积的最大值为π…………………12分 ‎22.已知函数.‎ ‎（1）若时，函数存在两个零点，求的取值范围；‎ ‎（2）若时，不等式在上恒成立，求的取值范围.‎ ‎22. 解：（1）令得………………1分 ‎0‎ 递减 极小值 递增 ‎ ……………………3分 且 有两个不等实根 ‎ 即 ‎ ‎------------------5分 ‎（2），令 则 又，，在在单调递增…………6分 又 ‎①当，即时，，‎ 所以在内单调递增，，‎ 所以．………………8分 ‎②当，即时，由在内单调递增，‎ 且 使得 ‎0‎ 递减 极小值 递增 所以的最小值为，‎ 又，所以， ‎ 因此，要使当时，恒成立，只需，即即可．‎ 解得，此时由，可得．‎ 以下求出的取值范围．‎ 设，， 得，‎ 所以在上单调递减，从而 ……11分 综上①②所述，的取值范围．………………12分