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- 2021-05-28 发布
此卷只装订不密封
班级 姓名 准考证号 考场号 座位号
2020年全国I卷高考考前适应性试卷
文 科 数 学（一）
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．函数的零点是（ ）
A．， B．， C． D．
2．已知集合，且，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．设是两条不同直线，、是两个不同平面，则下列命题中错误的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，则
4．计算的值为（ ）
A． B． C． D．
5．等差数列的首项为23，公差是整数，从第7项开始为负值，则公差为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数的一部分图象如图所示，如果，，，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，，，，则锐角等于（ ）
A．30° B．75° C．60° D．45°
8．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别
A
B
C
产品数量（件）
1300
样本容量（件）
130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C的产品数量是（ ）
A．800 B．700 C．600 D．900
9．某个几何体的三视图如图所示，根据图中标出的长度，那么这个几何体的体积是（ ）
A． B． C． D．
10．已知某程序框图如图所示，则该程序运行后输出的结果为（ ）
A．0．6 B．0．4 C．0．2 D．0．8
11．如图，定圆半径为，圆心为，则直线与直线的交点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
12．过抛物线的焦点作直线交抛物线于，两点，若，则直线的倾斜角等于（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．函数在处的导数是________．
14．若函数，且的图象经过点，则_________．
15．如图所示，直线与双曲线的渐近线交于，两点，记，．任取双曲线上的点，若（、），则、满足的一个等式是 ．
16．已知圆，，是三个两两垂直的平面与球的球面的交线，其半径分别为，，，且圆，，的公共点在球面上，则球的表面积为 ．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（12分）在中，，，．
（1）求的值；
（2）求的值．
18．（12分）某幼儿园在“六·一儿童节"开展了一次亲子活动，此次活动由宝宝和父母之一（后面以家长代称）共同完成，幼儿园提供了两种游戏方案：方案一宝宝和家长同时各抛掷一枚质地均匀的正方体骰子（六个面的点数分别是1，2，3，4，5，6），宝宝所得点数记为，家长所得点数记为；方案二宝宝和家长同时按下自己手中一个计算器的按钮（此计算器只能产生区间的随机实数），宝宝的计算器产生的随机实数记为，家长的计算器产生的随机实数记为．
（1）在方案一中，若，则奖励宝宝一朵小红花，求抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率；
（2）在方案二中，若，则奖励宝宝一本兴趣读物，求按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．
19．（12分）如图，四棱锥中，底面是菱形，，，
是的中点，点在侧棱上．
（1）求证：平面；
（2）若是PC的中点，求证：平面；
（3）若，试求的值．
20．（12分）如图，已知椭圆上两定点，，直线与椭圆相交于A、B两点（异于P、Q两点）．
（1）求证：为定值；
（2）当时，求A、P、B、Q四点围成的四边形面积的最大值．
21．（12分）已知函数(为实常数)．
（1）若，求证：函数在上是增函数；
（2）求函数在上的最小值及相应的值；
（3）若存在，使得成立，求实数的取值范围．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．（10分）【选修4-4：坐标系与参数方程】
在极坐标系中，已知点到直线的距离为3．
（1）求实数的值；
（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点的轨迹方程，并指出轨迹是什么图形．
23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】
已知定义在区间上，设，且．
（1）求证：；
（2）若，求证：．
2020年全国I卷高考考前适应性试卷
文 科 数 学（一）答 案
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．【答案】B
【解析】，得或．
2．【答案】A
【解析】可知，
而，，那么，则．
3．【答案】B
【解析】对于，，与还可能异面．
4．【答案】D
【解析】．
5．【答案】B
【解析】可得，第7项开始为负值，说明，且，
得，，
又公差是整数，所以公差为．
6．【答案】C
【解析】易知，，由图象知，那么，
又，那么，那么A、B、D错误．
7．【答案】D
【解析】，，则，则锐角等于45°．
8．【答案】A
【解析】设C产品的样本容量为，则A产品的样本容量为，由B知抽取的比例为
，
故，故，所以C产品的数量为800．
9．【答案】D
【解析】该几何体是一个三棱锥，底面积为，高为1，
则这个几何体的体积是．
10．【答案】C
【解析】第一次循环，，；
第二次循环，，；
第三次循环，，；
第四次循环，，；
第五次循环，，；
第六次循环，，；
第七次循环，，；
第八次循环，，；
…
依次可得第2011次循环，，；
第2012次循环，，．知输出．
11．【答案】C
【解析】易知，，而圆与轴有两个交点，则，
又圆与轴没有交点，则，则，
可以解出两直线的交点为，
，则，则，同理得，，
那么可得，，那么交点在第三象限．
12．【答案】B
【解析】设直线的斜率为，则的方程为，
设、，由，可得，
则，，
而，，
那么由，可得，
则，则，那么，
而直线的倾斜角满足，那么，则．
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13．【答案】4
【解析】，则，
则在处的导数是4．
14．【答案】
【解析】可得，即，则，那么．
15．【答案】
【解析】可得，，∴，
∴，代入双曲线方程得．
16．【答案】
【解析】分析图形知球的半径为，那么球的表面积为．
三、解答题：本大题共6个大题，共70分，
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）在中，，
则，，，
由正弦定理，则．
（2）在中，根据余弦定理，得，
于是，从而，
，
所以．
18．【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）由题意，宝宝和家长所得点数，所有取值所得基本事件总数为36，
而满足的有，，共3组，
则抛掷一次后宝宝得到一朵小红花的概率．
（2）由题，，则所有取值组成一个边长为5的正方形，其面积为25．
满足不等式所占区域面积为，
则按下一次按钮后宝宝得到一本兴趣读物的概率．
19．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【解析】（1）因为E是AD的中点，PA=PD，所以，
因为底面ABCD是菱形，，所以AB=BD，
又因为E是AD的中点，所以．
因为，所以．
（2）连结AC交BD于点O，连结OQ，
因为O是AC中点，Q是PC的中点，
所以OQ为中位线，所以．
因为，，所以．
（3）设四棱锥，的高分别为，，
所以，，
因为，，所以，
因为，所以．
20．【答案】（1）证明见解析；（2）．
【解析】（1）设，，
联立直线与椭圆的方程，可得，
则，
，
用，，
代入可得
．
（2），
因为，在直线的两侧，，
当时，为其面积的最大值．
21．【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）．
【解析】（1）当时，，
当，，
故函数在上是增函数．
（2），当时，．
若，在上非负（仅当，时，），
故函数在上是增函数，此时；
若，当时，，
当时，，此时是减函数；
当时，，此时是增函数，
故；
若，在上非正（仅当，时，），
故函数在上是减函数，此时，
综上可知，当时，的最小值为1，相应的值为1；
当时，的最小值为，相应的值为；
当时，的最小值为，相应的值为．
（3）不等式化为，
∵，∴且等号不能同时取到，
所以，即，因而（），
令（），则，
当时，，，，
从而（仅当时取等号），所以在上为增函数，
故的最小值为，所以的取值范围是．
22．【答案】（1）；（2），点的轨迹是一个圆．
【解析】（1）以极点为原点，极轴为轴的正半轴，建立直角坐标系，
则点的直角坐标为，直线的直角坐标方程为，
由点到直线的距离为，∴．
（2）由（1）得直线的方程为，
设，，则，①
因为点在直线上，所以，②
将①代入②，得，则点的轨迹方程为．
化为直角坐标方程为，则点的轨迹是一个圆．
23．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】（1），
∵，，
∴．
（2），
要证，只要证，
进一步只要证明，
只要证明，
因为，所以，
所以成立，所以结论成立．