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- 2021-05-28 发布
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第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的.
1.若,则下列不等式成立的是( )
A . B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：
考点：不等式性质
2.命题“对任意,都有”的否定为( )
A．对任意,都有 B．不存在,都有
C．存在,使得 D．存在,使得
【答案】D
【解析】
试题分析：全称命题的否定是特称命题，需将结论加以否定，因此命题“对任意,都有”的否定为：存在,使得
考点：全称命题与特称命题
3.一个年级有12个班,每个班有50名学生,随机编号为1～50,为了了解他们课外的兴趣,要求每班第40号学生留下来进行问卷调查,这运用的抽样方法是( )
A．分层抽样 B．抽签法 C．随机数表法 D．系统抽样法
【答案】D
【解析】
试题分析：当总体容量N较大时，采用系统抽样，
将总体分成均衡的若干部分指的是将总体分段，
在第1段内采用简单随机抽样确定一个起始编号，
在此编号的基础上加上分段间隔的整倍数即为抽样编号
考点：系统抽样方法
4.给定两个命题p, q,若p是q的必要而不充分条件,则p是q的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
试题分析：∵¬p是q的必要而不充分条件，
∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，
其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，
则p是¬q的充分不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定
5.为了测算如图阴影部分的面积, 作一个边长为6的正方形将其包含在内,并向正方形内随机投掷800个点,已知恰有200个点落在阴影部分内,据此,可估计阴影部分的面积是( )
A．12 B．9
C．8 D．6【来.源：全,品…中&高*考*网】
【答案】B
【解析】
试题分析：根据题意，设阴影部分的面积为S，则正方形的面积为36，
向正方形内随机投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，
则向正方形内随机投掷一点，其落到阴影部分的概率P= ；
而，则，
解可得，S=9；1
考点：模拟方法估计概率
6.设双曲线 (a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0,则a的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
试题分析：的渐近线为，
∵与3x±2y=0重合，
∴a=2．
考点：双曲线的简单性质
7.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析：程序执行中的数据变化如下：
不成立，输出
考点：程序框图
8.总体由编号为01,02,…,19,20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取5个个体,选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字,则选出来的第5个个体的编号为( )
A. 08 B．07 C．02 D．01
【答案】D
【解析】
试题分析：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字中小于20的编号依次为08，02，14，07，02，01，．其中第二个和第四个都是02，重复．
可知对应的数值为08，02，14，07，01，
则第5个个体的编号为01
考点：随机抽样
9.已知F1(－1,0),F2(1,0)是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交椭圆C于A,B两点,且＝3,则C的方程为( )
A. ＋y2＝1 B. C. D
【答案】C
【解析】
试题分析：设椭圆的方程为，
可得，所以…①
∵AB经过右焦点且垂直于x轴，且|AB|=3
∴可得A（1，），B（1，- ），代入椭圆方程得，…②
联解①②，可得，
∴椭圆C的方程为1
考点：椭圆的标准方程
10.为了普及环保知识,增强环保意识,某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试,得分(十分制)如图所示,假设得分的中位数为me,众数为mo,则( )
A．me＝mo B．mo＜me
C．me＜mo D．不能确定
【答案】B
【解析】【来.源：全,品…中&高*考*网】
试题分析：由频率分布直方图得：
众数=5，
得分的中位数为= =8，
∴mo＜me
考点：频率分布直方图
11.已知F是抛物线y2＝x的焦点,A,B是该抛物线上的两点,|AF|＋|BF|＝3,则线段AB的中点到y轴的距离为( )
A． B．1 C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：：∵F是抛物线y2＝x的焦点，
F（，0）准线方程x=−，
设A，B，
根据抛物线的定义抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离|AF|=，|BF|=，
∴|AF|+|BF|=
解得，
∴线段AB的中点横坐标为，
∴线段AB的中点到y轴的距离为．
考点：抛物线的简单性质
12.过双曲线的右顶点作斜率为的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为.若,则双曲线的离心率是( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
考点：直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.一支田径运动队有男运动员56人,女运动员42人.现用分层抽样的方法抽取若干人,若抽取的男运动员有8人,则抽取的女运动员有________人．
【答案】6
【解析】
试题分析：设抽到女运动员的人数为n则
解得n=6
考点：分层抽样方法
14.设数列都是等差数列.若a1＋b1＝7,a3＋b3＝21,则a5＋b5＝________.
【答案】35
【解析】
试题分析：由等差数列性质可知
考点：等差数列的性质
15.已知P(4,2)是直线l被椭圆截得线段的中点,则直线l的方程为_______
【答案】
【解析】
试题分析：由题意得，斜率存在，设为 k，则直线l的方程为 y-2=k（x-4），即 kx-y+2-4k=0，
代入椭圆的方程化简得 （1+4k2）x2+（16k-32 k2）x+64 k2-64k-20=0，
∴，解得 k=- ，故直线l的方程为 x+2y-8=01
考点：直线与圆锥曲线的关系
16.设满足约束条件,若目标函数的最大值为1,则的最小值为 .【来.源：全,品…中&高*考*网】
【答案】4
【解析】
试题分析：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分OAC），
由z=ax+by（a＞0，b＞0），则，
平移直线，由图象可知当直线经过点是，直线的截距最大，此时z最大为1．
由，解得．即C（1，1），
代入目标函数z=ax+by得a+b=1．
∴，
当且仅当即a=b=时取等号，
∴的最小值为4
考点：简单线性规划的应用
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(本小题满分10分)
已知m∈R,命题p:对任意x∈10,1],不等式2x－2≥m2－3m恒成立;命题q:存在x∈1－1,1],使得m≤ax成立.
(Ⅰ)若p为真命题,求m的取值范围;
(Ⅱ)当a＝1,若p且q为假,p或q为真,求m的取值范围.
【答案】(Ⅰ) 11,2] (Ⅱ) (－∞,1)∪(1,2]
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由对任意x∈10，1]，不等式2x－2≥m2－3m恒成立，知m2-3m≤-2，由此能求出m的取值范围．（Ⅱ）由a=1，且存在x∈1-1，1]，使得m≤ax成立，推导出命题q满足m≤1，由p且q为假，p或q为真，知p、q一真一假．由此能求出a的范围
试题解析：(Ⅰ)∵对任意x∈10,1],不等式2x－2≥m2－3m恒成立,
∴(2x－2)min≥m2－3m.即m2－3m≤－2.解得1≤m≤2.
因此,若p为真命题时,m的取值范围是11,2]．
(Ⅱ)∵a＝1,且存在x∈1－1,1],使得m≤ax成立,∴m≤1,111]
命题q为真时,m≤1.∵p且q为假,p或q为真,
∴p,q中一个是真命题,一个是假命题．
当p真q假时,则解得1＜m≤2;
当p假q真时, 即m＜1.
综上所述,m的取值范围为(－∞,1)∪(1,2].
考点：复合命题的真假；一元二次不等式的解法
18..(本小题满分12分)
已知等比数列{an}的各项均为正数,且2a1＋3a2＝1, .
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an,求数列的前n项和．
【答案】(Ⅰ) an＝(Ⅱ)
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设出等比数列的公比q，由，利用等比数列的通项公式化简后得到关于q的方程，由已知等比数列的各项都为正数，得到满足题意q的值，然后再根据等比数列的通项公式化简，把求出的q的值代入即可求出等比数列的首项，根据首项和求出的公比q写出数列的通项公式即可；（Ⅱ）把（Ⅰ）求出数列{an}的通项公式代入设bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an，利用对数的运算性质及等差数列的前n项和的公式化简后，即可得到bn的通项公式，求出倒数即为的通项公式，然后根据数列的通项公式列举出数列的各项，抵消后即可得到数列{}的前n项和
试题解析：(Ⅰ)设数列{an}的公比为q,由＝9a2a6得＝9,所以q2＝.
由条件可知q＞0,故q＝.由2a1＋3a2＝1得2a1＋3a1q＝1,所以a1＝.
故数列{an}的通项公式为an＝.
(Ⅱ)bn＝log3a1＋log3a2＋…＋log3an＝－(1＋2＋…＋n)＝－.
故.
所以数列的前n项和为
考点：等比数列的通项公式；数列的求和1
19.(本小题满分12分)
为了比较两种治疗失眠症的药(分别称为A药,B药)的疗效,随机地选取20位患者服用A药,20位患者服用B药,这40位患者在服用一段时间后,记录他们日平均增加的睡眠时间(单位:h),试验的观测结果如下:服用A药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
0.6, 1. 2, 2.7, 1.5, 2.8, 1.8, 2.2, 2.3, 3.2, 3.5, 2.5, 2.6, 1.2, 2.7, 1.5, 2.9, 3.0, 3.1, 2.3, 2.4
服用B药的20位患者日平均增加的睡眠时间:
3.2, 1.7, 1.9, 0.8, 0.9, 2.4, 1.2, 2.6, 1.3, 1.4, 1.6, 0.5, 1.8, 0.6, 2.1, 1.1, 2.5, 1.2, 2.7, 0.5
(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪种药的疗效更好？
(Ⅱ)根据两组数据完成下面茎叶图,从茎叶图看,哪种药的疗效更好？
【答案】(Ⅰ) ,A药的疗效更好(Ⅱ) A药的疗效更好
【解析】
试题分析：（1）利用平均数的计算公式即可得出，据此即可判断出结论；（2）利用已知数据和茎叶图的结构即可完成
试题解析：(Ⅰ)计算得A＝2.3, B＝1.6,从计算结果来看,A药的疗效更好.
(Ⅱ)
从以上茎叶图可以看出,A药疗效的试验结果有的叶集中在茎2,3上,
而B药疗效的试验结果有的叶集中在茎0,1上,由此可看出A药的疗效更好．
考点：茎叶图；极差、方差与标准差
20.(本小题满分12分)
从某居民区随机抽取10个家庭,获得第i个家庭的月收入xi(单位:千元)与月储蓄yi(单位:千元)的数据资料,算得＝80, ＝20, ＝184, ＝720.
(Ⅰ)求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程y＝bx＋a;【来.源：全,品…中&高*考*网】
(Ⅱ)判断变量x与y之间是正相关还是负相关;
(Ⅲ)若该居民区某家庭月收入为7千元,预测该家庭的月储蓄.
【答案】(Ⅰ) y＝0.3x－0.4(Ⅱ) 正相关(Ⅲ) 1.7
【解析】
考点：线性回归方程
21.(本小题满分12分)
已知抛物线的焦点为,直线与轴交点为,与的交点为,且.
(Ⅰ)求的方程;
(Ⅱ)过的直线与相交于两点,若的垂直平分线与相交于两点,且四点在同一圆上,求的方程.
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) 或
【解析】
试题分析：（Ⅰ）设点Q的坐标为（，4），把点Q的坐标代入抛物线C的方程，求得
，根据求得 p的值，可得C的方程．（Ⅱ）设l的方程为 x=my+1 （m≠0），代入抛物线方程化简，利用韦达定理、中点公式、弦长公式求得弦长|AB|．把直线l′的方程代入抛物线方程化简，利用韦达定理、弦长公式求得|MN|．由于MN垂直平分线段AB，故AMBN四点共圆等价于|AE|=|BE|=|MN|，由此求得m的值，可得直线l的方程
试题解析：(Ⅰ)设点,,则由抛物线定义知,
所以得,即的方程为;
(Ⅱ)如右图所示,设,
中点为,,则由
得,其中恒成立,
所以,
,
易求得,又,
所以,,即,
代入中得,,其中恒成立,
故,,
又易求得的中点,
故,而由共圆知,
,即,代入得
,同时约去且化简得
,又,所以,即,也即直线或.
考点：直线与圆锥曲线的综合问题
22.(本小题满分12分)【来.源：全,品…中&高*考*网】
已知真命题:“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件为“函数是奇函数”．
(Ⅰ)将函数的图象向左平移1个单位,再向上平移2个单位,求此时图象对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数图象对称中心的坐标;
(Ⅱ)求函数图象对称中心的坐标;
(Ⅲ)已知命题:“函数的图象关于某直线成轴对称图象”的充要条件为“存在实数和,使得函数是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明)．
【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) (Ⅲ) 此命题是假命题
【解析】
试题分析：（1）先写出平移后图象对应的函数解析式为y=（x+1）3-3（x+1）2+2，整理得y=x3-3x，由于函数y=x3-3x是奇函数，利用题设真命题知，函数g（x）图象对称中心．（2）设的对称中心为P（a，b），由题设知函数h（x+a）-b是奇函数，从而求出a，b的值，即可得出图象对称中心的坐标．
（3）此命题是假命题．举反例说明：函数f（x）=x的图象关于直线y=-x成轴对称图象，但是对任意实数a和b，函数y=f（x+a）-b，即y=x+a-b总不是偶函数．修改后的真命题：“函数y=f（x）的图象关于直线x=a成轴对称图象”的充要条件是“函数y=f（x+a）是偶函数”．
试题解析：(Ⅰ)平移后图象对应的函数解析式为,整理得,
由于函数是奇函数,
由题设真命题知,函数图象对称中心的坐标是．
(Ⅱ)设的对称中心为,由题设知函数是奇函数．
设,则,即
由不等式的解集关于原点对称,则,得．
此时．
任取,由,得,
所以函数图象对称中心的坐标是．
(Ⅲ)此命题是假命题．111]
举反例说明:函数的图象关于直线成轴对称图象,
但是对任意实数和,函数,即总不是偶函数．
修改后的真命题:“函数的图象关于直线成轴对称图象”的充要条件是“函数是偶函数”.
考点：命题的真假判断与应用；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断；对数函数的单调性与特殊点