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- 2021-05-28 发布
全*品*高*考*网， 用后离不了！2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高二（下）3月月考数学试卷（文科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（ ）
A．{x|3＜x≤5} B．{x|x≥5} C．{x|x＜3} D．R
2．命题：“∀x＞0，x2+x≥0”的否定形式是（ ）
A．∀x≤0，x2+x＞0 B．∀x＞0，x2+x≤0
C．∃x0＞0，x02+x0＜0 D．∃x0≤0，x02+x0＞0
3．“a＞”是“关于x的不等式ax2﹣x+1＞0恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数Z=2x+y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
6．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
A．4 B．3.15 C．4.5 D．3
7．已知A（1，﹣2），B（a，﹣1），C（﹣b，0）三点共线，其中a＞0，b＞0，则ab的最大值是（ ）
A． B． C． D．
8．如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图．侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（ ）
A．1+ B． + C． + D． +
9．已知函数f（x）=x2sinx+xcosx，则其导函数f′（x）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（ ）
A． B．π C． D．
11．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
12．已知函数 f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为 ．
14．在△ABC中，内角为A，B，C，若sinA=sinCcosB，则△ABC的形状一定是 ．
15．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为 ．
16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为 ．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn=（an﹣1）2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：
积极参加班级工作
不积极参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性不高
6
19
25
合计
24
26
50
（1）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？
（2）有多少的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系？请说明理由．
附：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=．
19．如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAD；
（2）求P到平面ADE的距离．
20．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2： =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．
21．设函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；
（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．
2016-2017学年广东省汕头市濠江区金山中学高二（下）3月月考数学试卷（文科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．已知集合A={x|y=lg（x﹣3）}，B={x|x≤5}，则A∪B=（ ）
A．{x|3＜x≤5} B．{x|x≥5} C．{x|x＜3} D．R
【考点】并集及其运算．
【分析】求出集合A，然后求解并集即可．
【解答】解：集合A={x|y=lg（x﹣3）}={x|x＞3}，
B={x|x≤5}，
则A∪B=R．
故选：D．
2．命题：“∀x＞0，x2+x≥0”的否定形式是（ ）
A．∀x≤0，x2+x＞0 B．∀x＞0，x2+x≤0
C．∃x0＞0，x02+x0＜0 D．∃x0≤0，x02+x0＞0
【考点】命题的否定．
【分析】根据全称命题的否定是特称命题进行求解．
【解答】解：全称命题的否定是特称命题，
则命题的否定是：∃x0∈R，x02+x0＜0，
故选：C
3．“a＞”是“关于x的不等式ax2﹣x+1＞0恒成立”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】先求出不等式ax2﹣x+1＞0恒成立的条件，再根据充分条件必要条件的定义进行判断确定两个条件的关系．
【解答】解：关于x的不等式ax2﹣x+1＞0恒成立条件是△=1﹣4a＜0，且a＞0，解得a＞，
∴a＞是不等式ax2﹣x+1＞0恒成立的充要条件
故选C
4．双曲线=1（m∈Z）的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】由双曲线方程求出三参数a，b，c，再根据离心率e=求出离心率．
【解答】解：由题意，m2﹣4＜0且m≠0，∵m∈Z，∴m=1
∵双曲线的方程是y2﹣x2=1
∴a2=1，b2=3，
∴c2=a2+b2=4
∴a=1，c=2，
∴离心率为e==2．
故选：B．
5．设变量x，y满足约束条件，则目标函数Z=2x+y的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．5 D．7
【考点】简单线性规划．
【分析】先画出约束条件的可行域，平移目标函数，找出目标函数2x+
y的最小值．
【解答】解：由约束条件得如图所示的阴影区域，
由目标函数可得：y=﹣2x+z，
显然当平行直线过点A（2，0）时，
z取得最小值为4；
故选B．
6．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为=0.7x+0.35，那么表中m值为（ ）
x
3
4
5
6
y
2.5
m
4
4.5
A．4 B．3.15 C．4.5 D．3
【考点】线性回归方程．
【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．
【解答】解：∵根据所给的表格可以求出==4.5， ==
∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，
∴=0.7×4.5+0.35，
∴m=3，
故选：D．
7．已知A（1，﹣2），B（a，﹣1），C（﹣b，0）三点共线，其中a＞0，b＞0，则ab的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【考点】基本不等式．
【分析】由题意利用向量可推出2a+b=1，再由基本不等式求最大值即可．
【解答】解：∵共线，
∴2a+b=1，
∴，
（当且仅当2a=b，即a=，b=时，等号成立）；
∴，
∴；
故ab的最大值是；
故选D．
8．如图，在各小正方形边长为1的网格上依次为某几何体的正视图．侧视图与俯视图，其中正视图为等边三角形，则此几何体的体积为（ ）
A．1+ B． + C． + D． +
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，利用体积公式，可得结论．
【解答】解：由题意，几何体是底面为等腰直角三角形（其直角边长为2）的三棱锥和一个半圆锥（圆锥底面半径为1）的组合体，体积V==，
故选C．
9．已知函数f（x）=x2sinx+xcosx，则其导函数f′（x）的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【分析】先求导，再根据函数的奇偶性排除A，C，再根据函数值得变化趋势得到答案．
【解答】解：∵f（x）=x2sinx+xcosx，
∴f′（x）=x2cosx+cosx，
∴f′（﹣x）=（﹣x）2cos（﹣x）+cos（﹣x）=x2cosx+cosx=f′（x），
∴其导函数f′（x）为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A，B，
当x→+∞时，f′（x）→+∞，故排除D，
故选：C．
10．将函数f（x）=3sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）的图象向右平移φ（φ＞0）个单位长度后得到函数g（x）的图象，若f（x），g（x）的图象都经过点P（0，），则φ的值不可能是（ ）
A． B．π C． D．
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由f（x）的图象经过点P（0，），且﹣＜θ＜，可得θ=，又由g（x）的图象也经过点P（0，），可求出满足条件的φ的值
【解答】函数f（x）=sin（2x+θ）（﹣＜θ＜）向右平移φ个单位，得到g（x）=sin（2x+θ﹣2φ），
因为两个函数都经过P（0，），
所以sinθ=，
又因为﹣＜θ＜，
所以θ=，
所以g（x）=sin（2x+﹣2φ），
sin（﹣2φ）=，
所以﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ，k∈Z，
或﹣2φ=2kπ+，k∈Z，此时φ=kπ﹣，k∈Z，
故选：C．
11．平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABB1A1=n，则m、n所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】画出图形，判断出m、n所成角，求解即可．
【解答】解：如图：α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD=m，α∩平面ABA1B1=n，
可知：n∥CD1，m∥B1D1，∵△CB1D1是正三角形．m、n所成角就是∠CD1B1=60°．
则m、n所成角的正弦值为：．
故选：A．
12．已知函数 f（x）=﹣5，若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，则a的取值范围是（ ）
A．（0，+∞） B．[1，+∞） C．（﹣∞，0） D．（﹣∞，﹣1]
【考点】利用导数研究函数的单调性；抽象函数及其应用．
【分析】根据不等式恒成立，利用参数分类法进行转化为a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，构造函数h（x）=x﹣x2lnx，求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系求出函数的最值即可．
【解答】解：函数g（x）的导数g′（x）=3x2﹣2x=x（3x﹣2），∴函数g（x）在[，]上递减，则[，2]上递增，
g（[）=，g（2）=8﹣4﹣5=﹣1，
若对任意的，都有f（x1）﹣g（x2）≥2成立，
即当≤x≤2时，f（x）≥1恒成立，
即恒成立，
即a≥x﹣x2lnx在≤x≤2上恒成立，
令h（x）=x﹣x2lnx，则h′（x）=1﹣2xlnx﹣x，h′′（x）=﹣3﹣2lnx，
当在≤x≤2时，h′′（x）=﹣3﹣2lnx＜0，
即h′（x）=1﹣2xlnx﹣x在≤x≤2上单调递减，
由于h′（1）=0，
∴当≤x≤1时，h′（x）＞0，
当1≤x≤2时，h′（x）＜0，
∴h（x）≤h（1）=1，
∴a≥1．
故选：B．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上
13．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的表面积为 25π ．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，可得直六棱柱的外接球的直径，即可求出外接球的体积．
【解答】解：直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，
∵一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，
∴直六棱柱的外接球的直径为5，
∴外接球的半径为，
∴外接球的表面积为=25π．
故答案为：25π．
14．在△ABC中，内角为A，B，C，若sinA=sinCcosB，则△ABC的形状一定是 直角三角形 ．
【考点】正弦定理．
【分析】利用两角和差的正弦公式将条件进行化简即可得到结论．
【解答】解：由sinA=sinCcosB，得sin（B+C）=sinCcosB，
即sinBcosC+cosBsinC=sinCcosB，
即cosCsinB=0，
在三角形中，sinB≠0，
则有cosC=0，即C=90°，
即三角形为直角三角形，
故答案为：直角三角形．
15．已知向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则向量与+2的夹角为 ．
【考点】数量积表示两个向量的夹角．
【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义求得的值，由此求得的值，可得||的值，再利用
两个向量的夹角公式求得向量与+2的夹角．
【解答】解：∵向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，则=||•||•cos60°=2×1×=1，
再由=+4+4=4+4+4=12，可得||==2．
设向量与+2的夹角为θ，则cosθ====．
再由 0≤θ≤π可得 θ=，
故答案为．
16．已知实数a，b满足ln（b+1）+a﹣3b=0，实数c，d满足，则（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值为 1 ．
【考点】基本不等式在最值问题中的应用．
【分析】（a﹣c）2+（b﹣d）2的几何意义是点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，而点（b，a）在曲线y=3x﹣ln（x+1）上，点（d，c）在直线y=2x+上．故（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．利用导数求出曲线上斜率为2的切线方程，再利用两平行直线的距离公式即可求出最小值．
【解答】解：由ln（b+1）+a﹣3b=0，得a=3b﹣ln（b+1），则点（b，a）是曲线y=3x﹣ln（x+1）上的任意一点，
由2d﹣c+=0，得c=2d+，则点（d，c）是直线y=2x+上的任意一点，
因为（a﹣c）2+（b﹣d）2表示点（b，a）到点（d，c）的距离的平方，即曲线上的一点与直线上一点的距离的平方，
所以（a﹣c）2+（b﹣d）2的最小值就是曲线上的点到直线距离的最小值的平方，即曲线上与直线y=2x+平行的切线到该直线的距离的平方．
y'=，令y'=2，得x=0，此时y=0，即过原点的切线方程为y=2x，
则曲线上的点到直线距离的最小值的平方=1．
故答案为：1．
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3=9，a1，a3，a7成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn=（an﹣1）2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；等差数列的通项公式．
【分析】（1）根据条件可知a32=a1a7，即（a1+2d）2=a1（a1+6d），d和a1的关系，S3=3a2，即可求得a1和d，数列{an}的通项公式；
（2）求得数列{bn}的通项公式，采用乘以公比“错位相减法”，即可求得数列{bn}的前n项和Tn．
【解答】解：（1）等差数列{an}公差为d，首项为a1，
∵a1，a3，a7成等比数列．
∴a32=a1a7，
即（a1+2d）2=a1（a1+6d），
化简得d=a1，或d=0（舍去）．
当d=a1，
由等差数列S3=3a2，
∴a2=3，得a1=2，d=1．
∴an=a1+（n﹣1）d=2+（n﹣1）=n+1，即an=n+1，
数列{an}的通项公式an=n+1；
（2）由（1）可知：an=n+1，
bn=（an﹣1）2n=（n+1﹣1）2n=n•2n，
∴bn=n•2n，
数列{bn}的前n项和Tn，Tn=2+2×22+3×23+…+n×2n，
2Tn=22+2×23+3×24+…+n×2n+1，
两式相减：得﹣Tn=2+22+22+…+2n﹣n×2n+1，
=2n+1﹣2﹣n×2n+1，
∴Tn=（n﹣1）2n+1+2．
数列{bn}的前n项和Tn，Tn=（n﹣1）2n+1+2．
18．某中学一位高三班主任对本班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行调查，得到的统计数据如表所示：
积极参加班级工作
不积极参加班级工作
合计
学习积极性高
18
7
25
学习积极性不高
6
19
25
合计
24
26
50
（1）若不积极参加班级工作且学习积极性高的7名学生中有两名男生，现从中抽取两名学生参加某项活动，问两名学生中有1名男生的概率是多少？
（2）有多少的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系？请说明理由．
附：
P（K2≥k0）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
K2=．
【考点】独立性检验的应用；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】
（1）利用列举法确定基本事件的个数，即可求出两名学生中有1名男生的概率；
（2）求出K2，与临界值比较，即可得出结论．
【解答】解：（1）设这7名学生为a，b，c，d，e，A，B（大写为男生），
则从中抽取两名学生的所有情况是：ab，ac，ad，ae，aA，aB，bc，bd，be，bA，Bb，cd，ce，cA，cB，de，dA，dB，eA，eB，AB共21种情况，其中含一名男生的有10种情况，∴P=．
（2）由题意得，K2=≈11.538＞10.828，
故有99.9%的把握认为“学生的学习积极性与对待班级工作的态度”有关系．
19．如图，四边形ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，PD∥BE，AD=PD=2BE=2，∠DAB=60°，点F为PA的中点．
（1）求证：EF⊥平面PAD；
（2）求P到平面ADE的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算；直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）取AD中点G，连接FG，BG，则可证四边形BGFE为平行四边形．故EF∥BG，由△ABD是等边三角形可得BG⊥AD，由PD⊥平面ABCD可得BG⊥PD，故BG⊥平面PAD，由EF∥BG可证EF⊥平面PAD，从而平面PAE⊥平面PAD；
（2）利用V棱锥P﹣ADE=V棱锥E﹣ADP，求P到平面ADE的距离．
【解答】（1）证明：取AD中点G，连接FG，BG，连接BD．
∵点F为PA的中点，
∴FG∥PD且FG=PD．
∵BE∥PD，且BE=PD，
∴BE∥FG，BE=FG，
∴四边形BGFE为平行四边形．
∴EF∥BG，∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，∴△ABD为等边三角形．
∵G为AD中点，∴BG⊥AD，
∵PD⊥平面ABCD，BG⊂平面ABCD，
∴PD⊥BG，又∵PD∩AD=D，AD⊂平面PAD，PD⊂平面PAD，
∴BG⊥平面PAD．
∵四边形BGFE为平行四边形，∴EF∥BG，
∴EF⊥平面PAD，又∵EF⊂平面PAE，
∴平面PAE⊥平面PAD．
（2）解：设P到平面ADE的距离为h，则
∵△ABD为等边三角形，AD=2，∴BG=，EG=2．
∵V棱锥P﹣ADE=V棱锥E﹣ADP，
∴=，
∴h=，
∴P到平面ADE的距离为．
20．已知抛物线C1：y2=2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上存在一点G到焦点的距离为3，且点G在圆C：x2+y2=9上．
（Ⅰ）求抛物线C1的方程；
（Ⅱ）已知椭圆C2： =1（m＞n＞0）的一个焦点与抛物线C1的焦点重合，且离心率为．直线l：y=kx﹣4交椭圆C2于A、B两个不同的点，若原点O在以线段AB为直径的圆的外部，求k的取值范围．
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的简单性质；抛物线的简单性质．
【分析】（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），列出关于x0，y0，p的方程组，即可求解抛物线方程．
（Ⅱ）利用已知条件推出m、n的关系，设（x1，y1）、B（x2，y2），联立直线与椭圆方程，利用韦达定理以及判别式大于0，求出K的范围，通过原点O在以线段AB为直径的圆的外部，推出，然后求解k的范围即可．
【解答】（本小题满分13分）
解：（Ⅰ）设点G的坐标为（x0，y0），由题意可知…
解得：，
所以抛物线C1的方程为：y2=8x…
（Ⅱ）由（Ⅰ）得抛物线C1的焦点F（2，0），
∵椭圆C2的一个焦点与抛物线C1的焦点重合∴椭圆C2半焦距c=2，m2﹣n2=c2=4，
∵椭圆C2的离心率为，∴，，
∴椭圆C2的方程为：…
设A（x1，y1）、B（x2，y2），
由得（4k2+3）x2﹣32kx+16=0
由韦达定理得：，…
由△＞0⇒（﹣32k）2﹣4×16（4k2+3）＞0或…①…
∵原点O在以线段AB为直径的圆的外部，则，
∴
=
=
=…②
由①、②得实数k的范围是或…
21．设函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y=f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y=0．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；
（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．
【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用；函数恒成立问题．
【分析】（Ⅰ）求出函数的f′（x），通过f′（1）=a+b=0，f（e）=e2﹣e+1，求出a，b．
（Ⅱ）求出f（x）的解析式，设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1），求出导数，二次求导，判断g′（x）的单调性，然后证明f（x）≥（x﹣1）2．
（Ⅲ）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求出h′（x），利用（Ⅱ） 中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），推出h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1），①当时，②当时，求解m的范围．
【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），可得f′（x）=2alnx+ax+b，
∵f′（1）=a+b=0，f（e）=ae2+b（e﹣1）=a（e2﹣e+1）=e2﹣e+1∴a=1，b=﹣1．…
（Ⅱ）f（x）=x2lnx﹣x+1，
设g（x）=x2lnx+x﹣x2，（x≥1），g′（x）=2xlnx﹣x+1，（g′（x））′=2lnx+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）=0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）=0．∴f（x）≥（x﹣1）2．…
（Ⅲ）设h（x）=x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）=2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，
（Ⅱ） 中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1=x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，∴h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1），
①当3﹣2m≥0即时，h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）单调递增，∴h（x）≥
h（1）=0，成立．
②当3﹣m＜0即时，h′（x）=2xlnx﹣（1﹣2m）（x﹣1），（h′（x））′=2lnx+3﹣2m，
令（h′（x））=0，得，
当x∈[1，x0）时，h′（x）＜h′（1）=0，∴h（x）在[1，x0）上单调递减∴h（x）＜h（1）=0，不成立．
综上，．…