专题5-3 数列的综合应用-2017年高考数学冲刺专题卷 17页

一、选择题 ‎1．已知数列满足，，则数列的前项和为（）‎ A． B．C．D．‎ ‎【答案】C 考点：等比数列前项和公式.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎2．已知数列的前项和，第项满足，则（）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【答案】C ‎【解析】时，；时，，，‎ ‎，解得，故选C.‎ 考点：数列通项.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎3．已知数列满足，，则（）‎ A． B．6 C. D．2‎ ‎【答案】D ‎【解析】，同理，，‎ ‎，.‎ 故选A.‎ 考点：数列的周期.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎4．若数列满足，则称为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（）‎ A．4 B．16 C．32 D．64‎ ‎【答案】C 考点：递推数列求值.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎5．已知正项数列中，，，，则（）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵，∴，又，，∴，，，∴数列是以为首项，以为公差的等差数列，由等差数列的通项公式可得，∴，∵，∴，故选D.‎ 考点：数列递推式.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎6．若数列满足，且，则数列的第100项为（）‎ A．2 B．3 C．D．‎ ‎【答案】B 考点：递推数列及数列求和.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎7．数列满足，对任意的都有，则（）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，则，‎ ‎，故选D．‎ 考点：递推关系求通项公式，裂项相消法的应用．‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎8．定义：为个正数，，…，的“均倒数”．若已知正数数列的前项的“均倒数”为，又，则（）‎ A．B． C．D．‎ ‎【答案】C 考点：与的关系，裂项相消数列求和.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较易 ‎9．已知正项数列中，，，，，记数列的前项和为，则的值是（）‎ A.B.C.D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】，∴数列为等差数列，首项为1，公差为，又，，，故，‎ 则.故选D．‎ 考点：等差数列的定义，通项公式，裂项求和法.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎10．若数列满足，且，则数列的前100项中，能被5整除的项数为（）‎ A．42 B．40 C．30 D．20‎ ‎【答案】B ‎【解析】数列满足，即，又，∴数列 是以为首项，为公差的等差数列，∴，∴，列表如下：‎ 项 个位数 ‎∴每项中有项能被整除，∴数列的前项中，能被整除的项数，故选B．‎ 考点：求通项公式的方法，等差数列通项公式，数列的周期性.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎11．已知数列的前项和，则数列的前项和为（）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】A 考点：数列的通项公式，裂项求和法.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎12．已知数列满足，，若，，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围为（）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】B 考点：等比数列的通项公式及其应用．‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎13．已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则等于（）‎ A．B． C．D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】当时，，即，即，∵正项数列的前项和为，∴，∴，∴数列是等比数列，首项为，公比为，∴．∴，，∴‎ ‎∴，故选A．‎ 考点：数列递推式.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎14．已知数列的通项为，我们把使乘积为整数的叫做“优数”，则在内所有“优数”的和为（）‎ A．1024 B．2012 C．2026 D．2036‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵，∴‎ ‎，要使为整数，则，内的所有正整数分别为，所有“优数”的和为．‎ 考点：数列递推式．‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎15．已知数列的通项公式为，其前项和为，将数列的前项抽去其中一项后，剩下三项按原来顺序恰为等比数列的前项，记前项和为，若存在，使对任意，总有恒成立，则实数的取值范围是（）‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D 考点：等差数列，等比数列综合.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎16．已知数列满足在直线上，如果函数，则函数的最小值为（）‎ A.B.C.D.‎ ‎【答案】C 考点：数列与函数结合求最值.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】一般 ‎17．数列满足，对任意的都有，则（）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】，，，所以当时，，时也成立，，则的前项和，‎ ‎，故选B.‎ 考点：累加法，裂项相消求和.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 ‎18．已知数列的前项和为，且，，则满足的的最小值为（）‎ A．B．C．D．‎ ‎【答案】A 考点：与的关系，等比数列的定义与性质，数列与不等式.‎ ‎【题型】选择题 ‎【难度】较难 二、填空题 ‎19．若数列满足，则等于______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ ‎.‎ 考点：递推公式，周期性.‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 ‎20．已知数列的前项和为，，则的最小值为．‎ ‎【答案】‎ 考点：数列前项和，等比数列，基本不等式. ‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 ‎21．已知数列满足，且，设，则数列的前50项和为．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，即，∴数列是以为首项，为公差的等差数列，则，∴，则 ‎，∴.‎ 考点：等差数列，数列的前项和，裂项相消法.‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 ‎22．数列满足，且数列的前项和为，若实数满足对于任意都有，则的取值范围是．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由，可得 ‎，两式相减得，又时，‎ 考点：函数与数列综合.‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 ‎23．用表示不超过的最大整数，例如，，．已知数列满足，，则．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，所以，因此数列是递增数列，且，由得，所以，所以.‎ 考点：数列的通项公式及推理论证能力等知识和能力的综合运用．‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 ‎24．已知数列与满足，若且对一切恒成立，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】将代入，化简得，‎ 故，故 可化为.当时，，当时，，当时，，当时，，时，单调递减，所以当时为最大值，故.‎ 考点：递推数列及不等式.‎ ‎【题型】填空题 ‎【难度】一般 三、解答题 ‎25．已知数列中，，其前项和满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式及前项和；‎ ‎（2）令，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1），（2）‎ 考点：递推公式，通项公式，数列前项和，裂项相消法.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎26．设数列的前项和为，且对任意正整数，满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 考点：1、递推公式；2、等比数列及其性质；3、错位相减法.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎27．已知数列中，，且点在直线上．‎ ‎(1)求数列的通项公式；‎ ‎(2)若函数（，且），求函数的最小值；‎ ‎(3)设，表示数列的前项和，试问：是否存在关于的整式，使得 对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由．‎ ‎【答案】(1)(2)(3)，证明见解析 考点：函数与数列综合.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎28．设数列的前项之积为，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项和为．若对任意的，总有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】(1)(2)‎ 考点：等比数列的通项公式和性质，等比数列求和.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎29．设各项均为正数的数列的前项和为，且满足：.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求数列的通项公式；‎ ‎（3）设，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）由可得，‎ ‎，又，所以.‎ ‎（2）由可得，，，‎ 又，所以，∴，‎ 当时，，‎ 由（1）可知，此式对也成立，∴.‎ ‎（3）由（2）可得，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴.‎ 考点：与关系，错位相减法求和.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎30．已知数列的前项和为.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，其中，求；‎ ‎（3）若存在，使得≥成立，求出实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ 考点：数列递推式，数列的求和.‎ ‎【题型】解答题 ‎【难度】一般 ‎ ‎