2020版高中数学 第一章 不等式和绝对值不等式 8页

‎2.基本不等式 课后篇巩固探究 A组 ‎1.下列结论正确的是(　　)‎ A.若‎3a+3b≥2,则a>0,b>0‎ B.若≥2,则a>0,b>0‎ C.若a>0,b>0,且a+b=4,则≤1‎ D.若ab>0,则 解析当a,b∈R时,则‎3a>0,3b>0,所以‎3a+3b≥2(当且仅当a=b时,等号成立),故选项A错误.要使≥2成立,只要>0,>0即可,这时只要a,b同号,故选项B错误.当a>0,b>0,且a+b=4时,‎ 8‎ 则.因为ab≤=4,所以≥1(当且仅当a=b=2时,等号成立),故选项C错误.当a>0,b>0时,a+b≥2,所以.而当a<0,b<0时,显然有,所以当ab>0时,一定有(当且仅当a=b,且a,b>0时,等号成立),故选项D正确.‎ 答案D ‎2.若a<1,则a+的最大值是(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.3 B.a C.-1 D.‎ 解析因为a<1,所以a-1<0,所以a+=a-1++1≤-2+1=-1,当且仅当1-a=,即a=0时,取最大值-1,故选C.‎ 答案C ‎3.(2017全国模拟)已知x>0,y>0,lg 2x+lg 8y=lg 2,则的最小值是(　　)‎ A.2 B‎.2‎ C.4 D.2‎ 解析∵lg 2x+lg 8y=lg 2,‎ ‎∴lg(2x·8y)=lg 2,∴2x+3y=2,∴x+3y=1.‎ ‎∵x>0,y>0,‎ 8‎ ‎∴=(x+3y)‎ ‎=2+≥2+2=4,‎ 当且仅当x=3y=时,等号成立.故选C.‎ 答案C ‎4.函数f(x)=x+-1的值域是(　　)‎ A.(-∞,-3]∪[5,+∞) B.[3,+∞)‎ C.(-∞,-5]∪[3,+∞) D.(-∞,-4]∪[4,+∞)‎ 解析当x>0时,x+-1≥2-1=3(当且仅当x=2时,等号成立);当x<0时,x+-1=--1≤-2-1=-5(当且仅当x=-2时,等号成立),故函数f(x)的值域为(-∞,-5]∪[3,+∞).‎ 答案C ‎5.若正数x,y满足x+4y=4,则xy的最大值为　　　　　. ‎ 解析由基本不等式可得x+4y≥2=4(当且仅当x=4y时,等号成立),又x+4y=4,所以4≤4,即xy≤1,故xy的最大值为1.‎ 答案1‎ ‎6.(2017山东高考)若直线=1(a>0,b>0)过点(1,2),则‎2a+b的最小值为　　　　　. ‎ 8‎ 解析∵直线=1过点(1,2),∴=1.‎ ‎∵a>0,b>0,‎ ‎∴‎2a+b=(‎2a+b)=4+≥4+2=8.‎ 当且仅当b=‎2a时“=”成立.‎ 答案8‎ ‎7.(2017江苏高考)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是　　　　　. ‎ 解析一年的总运费与总存储费用之和为4x+×6=4≥4×2=240,当且仅当x=,即x=30时等号成立.‎ 答案30‎ ‎8.已知x>1,y>1,且xy=1 000,求lg x·lg y的最大值.‎ 解因为x>1,y>1,所以lg x>0,lg y>0,‎ 所以lg x·lg y≤‎ ‎=,‎ 当且仅当lg x=lg y,即x=y时,等号成立,‎ 故lg x·lg y的最大值等于.‎ ‎9.已知x>0,y>0,x+y=1,求证≥9.‎ 8‎ 证明左边=‎ ‎=‎ ‎==5+2≥5+4=9,‎ 当且仅当,即x=y=时,等号成立,所以≥9.‎ ‎10.某单位建造一间地面面积为12平方米的背面靠墙的长方体房屋,由于地理位置的限制,房屋侧面的长度x不得超过‎5米.房屋正面的造价为400元/平方米,房屋侧面的造价为150元/平方米,屋顶和地面的造价费用合计为5 800元.如果墙高为‎3米,且不计房屋背面的费用,当侧面的长度为多少时,总造价最低?‎ 解设侧面的长度为x米(0t2 B.t1h·=h·,‎ t2==h·t2.‎ 答案A ‎3.(2017天津高考)若a,b∈R,ab>0,则的最小值为　　　　　. ‎ 解析∵a,b∈R,且ab>0,‎ ‎∴=4ab+‎ ‎≥4.‎ 答案4‎ 8‎ ‎4.导学号26394006已知关于x的二次不等式ax2+2x+b>0的解集为,且a>b,则的最小值为　　　　　. ‎ 解析由已知可得关于x的方程ax2+2x+b=0有两个相等的实数根,于是Δ=4-4ab=0,则ab=1,所以=(a-b)+≥2=2,故的最小值为2.‎ 答案2‎ ‎5.已知a>2,求证log(a-1)a>loga(a+1).‎ 证明∵log(a-1)a-loga(a+1)=‎ ‎=,‎ 而lg(a-1)lg(a+1)<‎ ‎==lg‎2a,‎ 即lg‎2a-lg(a-1)lg(a+1)>0.‎ 又a>2,∴lg alg(a-1)>0,‎ ‎∴>0,‎ 8‎ 即log(a-1)a-loga(a+1)>0,‎ ‎∴log(a-1)a>loga(a+1).‎ ‎6.导学号26394007某水晶制品厂去年的年产量为10万件,每件水晶产品的销售价格为100元,固定成本为80元.从今年起,工厂投入100万元进行技术革新,并计划以后每年比上一年多投入100万元进行技术革新.预计产量每年递增1万件,每件水晶产品的固定成本g(n)(单位:元)与进行技术革新的投入次数n的关系是g(n)=.若水晶产品的销售价格不变,第n次投入后的年利润为f(n)万元.‎ ‎(1)求出f(n)的表达式;‎ ‎(2)求从今年算起第几年利润最高?最高利润为多少万元?‎ 解(1)第n次投入后,产量为(10+n)万件,销售价格为100元,固定成本为元,进行技术革新投入为100n万元.‎ 所以,年利润为f(n)=(10+n)-100n(n∈N+).‎ ‎(2)由(1)知f(n)=(10+n)-100n ‎=1 000-80≤520.‎ 当且仅当,‎ 即n=8时,利润最高,最高利润为520万元.‎ 所以,从今年算起第8年利润最高,最高利润为520万元.‎ 8‎