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- 2021-05-28 发布
2018届高考数学（理）小题精练
专题12 导数
1．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
2．设函数（），为自然对数的底数，若曲线上存在点，使得，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】曲线y=sinx上存在点（x0，y0），
∴y0=sinx0[﹣1，1]．
函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]上单调递增．
下面证明f（y0）=y0．
假设f（y0）=c＞y0，则f（f（y0））=f（c）＞f（y0）=c＞y0，不满足f（f（y0））=y0．
同理假设f（y0）=c＜y0，则不满足f（f（y0））=y0．
综上可得：f（y0）=y0．
令函数f（x）=ex+2x﹣a=x，化为a=ex+x．
令g（x）=ex+x（x[﹣1，1]）．
g′（x）=ex+10，∴函数g（x）在x[﹣1，1]单调递增．
∴e﹣1﹣1≤g（x）≤e+1．
∴a的取值范围是．故选：A．
点睛：本题利用正弦函数的有界性明确y0∈[﹣1，1]，结合函数f（x）=ex+2x﹣a在[﹣1，1]
上单调递增， 等价于f（y0）=y0，从而问题转化为a=ex+x在[﹣1，1]上的值域问题．
3．设，若函数在区间有极值点，则取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
4．已知函数既存在极大值又存在极小值，则实数的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】函数既存在极大值，又存在极小值，， 方程 有两个不同的实数解，，解得或，实数的取值范围是，故选B．
【方法点睛】本题主要考查利用导数研究函数的极值、一元二次方程根与系数的关系及数学的转化与划归思想．属于中档题．转化与划归思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决知识点较多以及知识跨度较大的问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度．运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点．以便将问题转化为我们所熟悉的知识领域，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用于解题当中．解答本题的关键是将极值问题转化为一元二次方程根的问题．
5．函数 在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】在区间上单调递增，在区间上恒成立，则，即在区间上恒成立，而在上单调递增，，故选D．
6．若函数 在 上是增函数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
g′（x）=6x2+2ax=2x（3x+a），
当a=0时，g′（x）≥0，g（x）在R上为增函数，则有g（ ）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3（舍）；
当a＞0时，g（x）在（0，+∞）上为增函数，则g（）≥0，解得+﹣1≥0，a≥3；
当a＜0时，同理分析可知，满足函数f（x）=x2+ax+在（，+∞）是增函数的a的取值范围是a≥3（舍）．
故选：D．
点睛：求出函数f（x）的导函数，由导函数在（，+∞）大于等于0恒成立解答案
7．已知函数有三个不同的零点，，（其中），则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
当x∈（0，1）时，g′（x）＜0；当x∈（1，e）时，g′（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，g′（x）＜0．
即g（x）在（0，1），（e，+∞）上为减函数，在（1，e）上为增函数．
∴0＜x1＜1＜x2＜e＜x3，
a==，令μ=，
则a=﹣μ，即μ2+（a﹣1）μ+1﹣a=0，
μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，
对于μ=，μ′=
则当0＜x＜e时，μ′＞0；当x＞e时，μ′＜0．而当x＞e时，μ恒大于0．
画其简图，
不妨设μ1＜μ2，则μ1=，μ2===μ3，
∴（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=（1﹣μ1）2（1﹣μ2）（1﹣μ3）
=[（1﹣μ1）（1﹣μ2）]2=[1﹣（1﹣a）+（1﹣a）]2=1．
故选：D．
点睛：先分离变量得到a=，令g（x）=．求导后得其极值点，求得函数极值，则使g（x）恰有三个零点的实数a的取值范围由g（x）==，再令μ=，转化为关于μ的方程后由根与系数关系得到μ1+μ2=1﹣a＜0，μ1μ2=1﹣a＜0，再结合着μ=的图象可得到（1﹣）2（1﹣）（1﹣）=1．
8．已知函数，若对任意的，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
⇔恒成立，又在[1,2]上单调递增,∴，
∴．
则实数的取值范围是．本题选择B选项．
点睛：利用单调性求参数的一般方法：一是求出函数的单调区间，然后使所给区间是这个单调区间的子区间，建立关于参数的不等式组即可求得参数范围；二是直接利用函数单调性的定义：作差、变形，由f(x1)－f(x2)的符号确定参数的范围，另外也可分离参数转化为不等式恒成立问题．
9．已知定义域为的奇函数的图像是一条连续不断的曲线，当时，；当时，，且，则关于的不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
10．点是曲线上任意一点，则点到直线的最小距离为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【解析】
试题分析：点是曲线上任意一点，当过点到直线平行时，点到直线的距离最小，直线的斜率等于，令的导数或（舍去），所以曲线上和直线平行的切线经过的切点坐标，点到直线的距离等于，故选B．
考点：点到直线的距离公式、导数的几何意义．
11．设函数的导函数为，且，，则下列不等式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
考点：利用导数研究函数的单调性及其应用．
12．设曲线（为自然对数的底数）上任意一点处的切线为，总存在曲线上某点处的切线，使得，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
试题分析：由，得，因为，所以，由，得，又，所以，要使过曲线上任意一点的切线，总存在过曲线上一点处的切线，使得，则，解得，故选D．
考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．